解析函數(shù)的孤立奇點類型判斷及應(yīng)用

1、解析函數(shù)的孤立奇點類型判斷及應(yīng)用 摘 要 孤立奇點的應(yīng)用在解析函數(shù)的學(xué)習(xí)和對其性質(zhì)分析研究中有著重要作用，而留數(shù)計算是復(fù)變函數(shù)中經(jīng)常碰到的問題。解析函數(shù)在不同類型的孤立奇點處的計算方法不同，關(guān)鍵我們要先判斷其類型。本文在分析整理了相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，首先給出了孤立奇點的定義、分類及其類型的判別定理和相關(guān)推及引理，其中在考慮極點處的留數(shù)求法時，又根據(jù)單極點、二階極點，m階極點的求法不同，結(jié)合例子給出極點階數(shù)的判斷方法。并通過有限孤立奇點的判別對解析函數(shù)無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)進(jìn)行研究，分析能否把有限孤立奇點的特征應(yīng)用到無窮遠(yuǎn)點，進(jìn)而探討了孤立奇點在留數(shù)計算中的應(yīng)用，使得孤立奇點的知識更加系統(tǒng)、全面。關(guān)鍵詞

2、孤立奇點 可去奇點 極點 本質(zhì)奇點 判斷 留數(shù)計算前言在復(fù)變函數(shù)論中，留數(shù)是非常重要的，而解析函數(shù)的孤立奇點是學(xué)習(xí)留數(shù)的基礎(chǔ)，只有掌握了孤立奇點的相關(guān)性質(zhì)，才能更好的學(xué)好留數(shù)。目前，在相關(guān)資料中，對孤立奇點的判別及應(yīng)用已較為完備，如在許多版本的復(fù)變函數(shù)論中對孤立奇點的判別做了詳細(xì)的說明和解釋，使我們對孤立奇點的了解更透徹。但在現(xiàn)實中有時我們遇到的留數(shù)計算具體例子，運用定理判別會比較麻煩，還需要前后知識的銜接，這為留數(shù)計算增加了障礙。本文就是在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步的探討，將判斷這一工作拿出來單獨討論，通過對論文的撰寫，將把孤立奇點類型的判別及在留數(shù)運算中的應(yīng)用更全面化、系統(tǒng)化。此項研究內(nèi)容可以對以后

3、學(xué)習(xí)此部分內(nèi)容的同學(xué)提供一定的幫助，使其對孤立奇點的理解更加清晰，應(yīng)用得更加自如。在復(fù)變函數(shù)課程上我們已學(xué)過了孤立奇點的分類及其類型的判別和其在留數(shù)計算中的應(yīng)用，為對其作進(jìn)一步的研究奠定了基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上查閱大量書籍，搜集相關(guān)資料，并對所搜集資料進(jìn)行分析、研究、篩選和處理。通過指導(dǎo)教師的耐心指導(dǎo)，已具備了研究解析函數(shù)類型的判別及其在留數(shù)計算中的應(yīng)用這一課題的初步能力，并能解決現(xiàn)實生活中的相關(guān)例題，使理論和實踐達(dá)到真正的結(jié)合和統(tǒng)一。本文通過對已學(xué)知識的回顧總結(jié)，和相關(guān)資料的查閱，在老師的指導(dǎo)下自擬題目，將對孤立奇點的類型判別及應(yīng)用進(jìn)行說明，通過分析、整理、歸納、總結(jié)，對其進(jìn)行更深入的研究。正文一

4、、孤立奇點的定義及類型（一）定義如果函數(shù)在點的某一去心鄰域(即除去圓心a的某圓)內(nèi)解析，點是的奇點，則稱為的一個孤立奇點。如果為函數(shù)的一個孤立奇點，則必存在正數(shù) ，使得在點的去心鄰域 內(nèi)可展成洛朗級數(shù)。（二）孤立奇點的類型如為的孤立奇點，則在點的去心鄰域 內(nèi)可展成洛朗級數(shù)。其中稱負(fù)冪部分為在點的主要部分。 孤立奇點按函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式中負(fù)冪項的個數(shù)分類： 1.可去奇點：展開式中不含的負(fù)冪項；2.極點：展開式中含有限項的負(fù)冪項； 其中在解析，且；3.本性奇點：展開式中含無窮多項的負(fù)冪項；二、孤立奇點類型的判別方法（一）可去奇點如果在的洛朗級數(shù)中不含的負(fù)冪項，則稱孤立奇點是的可去奇點。

5、以下三個條件是等價的：（1）是的可去奇點在的洛朗級數(shù)不含的負(fù)冪項；（2）是的可去奇點存在；（3）是的可去奇點在的某去心鄰域內(nèi)有界.（二）極點如果在的洛朗級數(shù)中只有（）的有限個負(fù)冪項，則孤立奇點稱為極點。若負(fù)冪的最高項為，則稱為級極點。與之等價的條件是：是的極點.零點和極點的關(guān)系： 不恒等于零的解析函數(shù)若能表示為 ，其中在解析，且，為一正整數(shù)，則稱為的級零點.（1） 若在解析，則為的級零點的充要條件是 ， ；.（2） 一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.（3） 若是的級極點，則是的級零點.反之也成立.下面的定理說明了怎樣由級零點得到級極點.定理1 假設(shè) （i）兩個函數(shù)和在點解析； （ii）,是

6、的級零點. 則是 的級極點.定理2 設(shè)兩個函數(shù)和在解析.如果 ， 和 ， 則是商的簡單極點且 .（三）本質(zhì)奇點如果在的洛朗級數(shù)中含有（）的無窮多個負(fù)冪項，則孤立奇點稱為本質(zhì)奇點。與之等價的條件是：是的本質(zhì)奇點不存在且不等于.在本質(zhì)奇點的鄰域內(nèi)，復(fù)變函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）維爾斯特拉斯定理 若是的本質(zhì)奇點，則對于任一復(fù)數(shù)及任給的，任意的，在區(qū)域中必存在一點，使得.推論 在任意一個圓環(huán)域中，必存在序列，使得.（2）皮卡定理 解析函數(shù)在本質(zhì)奇點的任何鄰域內(nèi)，能夠取任意一個有限值（復(fù)數(shù)）無窮次，至多有一個值例外.（四）函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)如果在無窮遠(yuǎn)點的去心鄰域內(nèi)解析，則稱點是的孤立奇點.作變換（規(guī)定

7、把擴充z平面上的無窮遠(yuǎn)點映射為擴充t平面上的點），把擴充z平面上的鄰域映射成擴充t平面的去心鄰域，且有=.于是，可以把在上對的研究化為在內(nèi)對的研究.（1）如果是的可去奇點、級極點或本質(zhì)奇點，則是的可去奇點、級極點或本質(zhì)奇點.（2）若在內(nèi)可以展開為洛朗級數(shù)，那么，在的洛朗級數(shù)中，如果：不含正冪項，則為的可去奇點；含有限個正冪項，則為的極點；含無窮多正冪項，則為的本質(zhì)奇點.三、留數(shù)定理及留數(shù)計算方法（一）留數(shù)定義 若是解析函數(shù)的一個孤立奇點，在的去心鄰域內(nèi)解析，為鄰域內(nèi)任一簡單閉曲線，則稱為在處的留數(shù)，記作，即 .是在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中項的系數(shù).（二）留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個孤

8、立奇點，外處處解析，是內(nèi)包圍諸奇點的一條簡單閉曲線，則 .利用定理，可以將求沿封閉曲線的積分，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).（三）留數(shù)的計算與極點處留數(shù)的計算規(guī)則.計算留數(shù)最基礎(chǔ)的依據(jù)是定義 ,為某去心鄰域內(nèi)一條簡單閉曲線，是以為中心某鄰域內(nèi)洛朗級數(shù)項的系數(shù).即，可通過求積分的值或求洛朗級數(shù)項系數(shù)來計算留數(shù)，所以若為的可去奇點，則.若為的本質(zhì)奇點，則.若為的極點，則有以下規(guī)則：規(guī)則I 若是的一級極點，有 .規(guī)則II 若是的級極點，有 .規(guī)則III 當(dāng)，和都在解析，如果，則為的一級極點，且有 .實際計算時，可以用規(guī)則，也可以用定義求洛朗級數(shù)的，或計算.（四）若函數(shù)在解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞原

9、點的任何一條正向簡單閉曲線，則稱積分為在點的留數(shù)，記為 .定理 如果函數(shù)在擴充的復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點，則在所有各奇點（包括點）的留數(shù)總和比等于零.規(guī)則IV .以上定理和規(guī)則提供了計算復(fù)變函數(shù)沿閉曲線積分的一種方法，這些方法使用恰當(dāng)?shù)脑挄褂嬎愀啽?四、孤立奇點類型的判別及其在留數(shù)計算中的應(yīng)用相關(guān)例題例1 指出下列函數(shù)在零點z=0的級：（1） （2）. 解（1）用求導(dǎo)數(shù)驗證：記，不難計算即 故為函數(shù)的四階零點.由泰勒展式：由展開式可知 其中內(nèi)解析，.故為函數(shù)的四階零點.（2）由展開式 可知 其中 在內(nèi)解析，.故是函數(shù)的15階零點.例2 判斷下列函數(shù)的奇點類型？如果是極點，指出它的級數(shù).（

10、1） ； （2）； （3）；（4） ； （5）； （6）；（7） ； （8）（n為正整數(shù)）.解 （1）令，得。因函數(shù)在點及處無定義，所以是此函數(shù)的奇點，且都是孤立奇點。又由分別是函數(shù)的一級零點，二級零點，故與分別是的一級極點與二級極點。 （2）顯然是的孤立奇點。 由于在點處的洛朗展開式為故是的二級極點。 （3）令，即，得為的奇點，且均為孤立奇點。由于與分別是函數(shù)的一級與二級零點，故與分別為的一級與二級極點。（4） 顯然是的孤立奇點。且由知，是的可去奇點。另外，也是的奇點，但它不是孤立奇點。因為在負(fù)實軸（的左側(cè)）上處處不解析（即在的無論多小的鄰域內(nèi)總有的不解析點）。（5） 令，即或，得 （）。故

11、的奇點分別為（）。對于，由于是的零點，且所以是的一級零點，從而可知是的二級零點，故是的二級極點。對于，用類似的方法可知，它也是的二級極點。對于（），由于所以（）都是的一級零點，故它們都是的一級極點。（6）顯然只有一個奇點。由于在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式為其中含有無數(shù)多個的負(fù)冪項，故是的本質(zhì)奇點。（7）令，得因此，的奇點分別是，且是孤立奇點。對于，由于它是的零點，且所以是的一級零點，從而可知是的三級零點，故是的三級極點。（8） 令，即，得 ，故共有個孤立奇點。 由于它們都是函數(shù)的零點，且易知所以它們都是的一級零點，因此可知它們都是的一級極點。例3 證明不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.即若不恒為

12、零的函數(shù)在內(nèi)解析，則必有a的一個領(lǐng)域，使得在其中無異于a的零點（解析函數(shù)零點的孤立性）. 分析 由于解析函數(shù)不恒為零且，所以利用在點a的泰勒展開式可知，總存在自然數(shù)，使，（否則獨所有m，由泰勒定理矛盾）.于是可設(shè)a為的m階零點，然后由零點的特征來討論. 證 （不妨設(shè)）a為的m階零點，其中內(nèi)解析，. 因在a 處解析，則有，可取，存在著，當(dāng)時，由三角不等式 便知當(dāng)時即有，故在a的鄰域內(nèi)使.例4 判斷點是不是下列函數(shù)的奇點：（1） ； （2）； （3）； （4）.解 （1），（）是的一級極點.當(dāng)時，所以是的極點的極限點，不是孤立奇點.（2） 函數(shù)在復(fù)平面除去，和連接它們的線段外單值解析.又，所以是的

13、可去奇點.（3） 是的本質(zhì)奇點，又是的可去奇點，所以是的本質(zhì)奇點.（4） 因為不存在，所以是的本質(zhì)奇點.例5 求下列函數(shù)的有限奇點處的留數(shù)：（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解： （1）因為，所以為的一級極點，故依規(guī)則I，有 ， . (2)是分母四級零點，分子一級零點，因而是的三級極點，于是依規(guī)則II，有 . (3)因，所以為的三級極點，于是，依規(guī)則II，有 . (4)是一級零點，所以是的一級極點，于是依規(guī)則III，有 . (5)因為，在內(nèi)，有 ，故 . (6)因為，在內(nèi)，有 ,故 . （7）是二級極點，是一級極點.依規(guī)則II和規(guī)則III，有 ， （8）為一級極

14、點，依規(guī)則III，有 .例6 用多種方法求的留數(shù).解 和是的一級極點.方法1 用洛朗展開法.，. ，. ，.所以 ， ， .方法2 用極限法（規(guī)則I）. ， .由留數(shù)和定理知 .方法3 用柯西公式（積分）.， .同極限法，有.注意，內(nèi)只有一個奇點.方法4 用求導(dǎo)法（規(guī)則III）. ， .同極限法，有.例7 求下列函數(shù)在的留數(shù).（1） ； （2）； （3）； （4）；（5） .解 （1），不含正冪項，因而點是可去奇點，所以 （2），含無窮多正冪項，所以點本質(zhì)奇點，有（3） ，.所以 .（4） 因為是的一級極點，且 ， ，所以 .（5） 只有三個有限遠(yuǎn)奇點，是一級極點，是四級極點，其留數(shù)分別為故結(jié)論本文通過對資料，及相關(guān)文獻(xiàn)的研究分析，總結(jié)了解析函數(shù)孤立奇點的判別方法并對函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性態(tài)進(jìn)行分析，并通過對具體實例的研究分析進(jìn)一步論述了孤立奇點在留數(shù)計算中的應(yīng)用使得孤立奇點的知識更加系統(tǒng)、全面，對以后學(xué)習(xí)此部分內(nèi)容的同學(xué)提供一定的幫助，使其對孤立奇點的理解更加清晰，應(yīng)用得更加自如。但本文中的例題并未包含此部分的全部類型，如不能求出極