裂紋擴(kuò)展的擴(kuò)展有限元(xfem)模擬實(shí)例詳解

1、基于ABAQUS 擴(kuò)展有限元的裂紋模擬化工過(guò)程機(jī)械 622080706010 李建1 引言1.1 ABAQUS 斷裂力學(xué)問(wèn)題模擬方法在abaqus中求解斷裂問(wèn)題有兩種方法（途徑）：一種是基于經(jīng)典斷裂力學(xué)的模型；一種是基于損傷力學(xué)的模型。斷裂力學(xué)模型就是基于線彈性斷裂力學(xué)及其基礎(chǔ)上發(fā)展的彈塑性斷裂力學(xué)等。如果不考慮裂紋的擴(kuò)展，abaqus可采用seam型裂紋來(lái)分析(也可以不建seam，如notch型裂紋)，這就是基于斷裂力學(xué)的方法。這種方法可以計(jì)算裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，J積分及T-應(yīng)力等。損傷力學(xué)模型是指基于損傷力學(xué)發(fā)展而來(lái)的方法，單元在達(dá)到失效的條件后，剛度不斷折減，并可能達(dá)到完全失效，最后形成

2、斷裂帶。這兩個(gè)模型是為解決不同的問(wèn)題而提出來(lái)的，當(dāng)然他們所處理的問(wèn)題也有交叉的地方。1.2 ABAQUS 裂紋擴(kuò)展數(shù)值模擬方法考慮模擬裂紋擴(kuò)展，目前abaqus有兩種技術(shù)：一種是基于debond的技術(shù)（包括VCCT）；一種是基于cohesive技術(shù)。debond即節(jié)點(diǎn)松綁，或者稱為節(jié)點(diǎn)釋放，當(dāng)滿足一定得釋放條件后（COD等，目前abaqus提供了5種斷裂準(zhǔn)則），節(jié)點(diǎn)釋放即裂紋擴(kuò)展，采用這種方法時(shí)也可以計(jì)算出圍線積分。cohesive有人把它譯為粘聚區(qū)模型，或帶屈曲模型，多用于模擬film、裂紋擴(kuò)展及復(fù)合材料層間開(kāi)裂等。cohesive模型屬于損傷力學(xué)模型，最先由Barenblatt引入，使用拉

3、伸-張開(kāi)法則（traction-separation law）來(lái)模擬原子晶格的減聚力。這樣就避免了裂紋尖端的奇異性。Cohesive 模型與有限元方法結(jié)合首先被用于混凝土計(jì)算和模擬，后來(lái)也被引入金屬及復(fù)合材料。Cohesive界面單元要服從cohesive 分離法則，法則范圍可包括粘塑性、粘彈性、破裂、纖維斷裂、動(dòng)力學(xué)失效及循環(huán)載荷失效等行為。此外，從abaqus6.9版本開(kāi)始還引入了擴(kuò)展有限元法（XFEM），它既可以模擬靜態(tài)裂紋，計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子和J積分等參量，也可以模擬裂紋的開(kāi)裂過(guò)程。被譽(yù)為最具有前途的裂紋數(shù)值模擬方法。本文將利用abaqus6.9版本中的擴(kuò)展有限元法功能模擬常見(jiàn)的型裂紋的

4、擴(kuò)展。2 型裂紋的擴(kuò)展有限元分析本文針對(duì)斷裂力學(xué)中的平面型裂紋擴(kuò)展問(wèn)題用abaqus中的擴(kuò)展有限元方法進(jìn)行數(shù)值模擬，獲得了裂紋擴(kuò)展的整個(gè)過(guò)程，裂尖單元的應(yīng)力變化曲線，以及裂紋尖端塑性區(qū)的形狀。在此基礎(chǔ)上繪制裂紋擴(kuò)展的能量歷史曲線變化趨勢(shì)圖。2.1 平面裂紋的幾何模型幾何模型的尺寸參數(shù)如圖1所示，其中a=1.5m，b=3m，L=10m，厚度為1m。上下兩端分別承受25.32MPa的拉力。 圖1 裂紋的幾何示意圖2.2 有限元模型有限元程序采用大型通用ABAQUS6.9軟件，選用8節(jié)點(diǎn)六面體減縮單元（C3D8R）。網(wǎng)格劃分的模型如圖2所示。圖2 網(wǎng)格圖2.3 材料性能在有限元分析中假定材料為理想線

5、彈性的，彈性模量E為2.1×105MPa，泊松比為0.3。本文采用的是基于損傷力學(xué)演化的失效準(zhǔn)則。具體的參數(shù)設(shè)置如下。損傷判據(jù)為最大主應(yīng)力失效準(zhǔn)則作為損傷起始的判據(jù)，最大主應(yīng)力為84.4MPa。損傷演化選取基于能量的、線性軟化的、混合模式的指數(shù)損傷演化規(guī)律，有關(guān)參數(shù)為G1C= G2C= G3C=42200N/m，=1。2.4 邊界條件和初始條件對(duì)于含有裂紋的平板，我們僅僅需要約束住它的剛體位移，保證在在平板兩個(gè)斷面施加應(yīng)力載荷時(shí)，平板不會(huì)出現(xiàn)意外的剛體運(yùn)動(dòng)。設(shè)置裂紋類型為擴(kuò)展有限元裂紋，擴(kuò)展區(qū)域是整個(gè)平板，擴(kuò)展路徑為任意路徑。由于計(jì)算裂紋擴(kuò)展實(shí)際上是一個(gè)大變形問(wèn)題，所以分析步驟的幾何

6、非線性一定要打開(kāi)。由于裂紋擴(kuò)展本身是一個(gè)強(qiáng)烈的非連續(xù)問(wèn)題，它將導(dǎo)致求解過(guò)程的迭代有可能出現(xiàn)不收斂的情況，另外，求解的增量步也會(huì)要求很小，這會(huì)導(dǎo)致求解時(shí)間很長(zhǎng)。因此非常有必要對(duì)求解過(guò)程做一些參數(shù)控制，以避免迭代不收斂導(dǎo)致的求解失敗的情況的出現(xiàn)。圖3 裂紋體及其擴(kuò)展區(qū)域圖4 載荷及邊界條件3 結(jié)果分析3.1 靜態(tài)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子及J積分的驗(yàn)證計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子及J積分時(shí)，需要設(shè)置裂紋不能擴(kuò)展，從而計(jì)算靜態(tài)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，同時(shí)還要在歷史變量輸出中做相關(guān)的設(shè)置。另外分析步也需要將幾何非線性去除，因?yàn)榱鸭y沒(méi)有擴(kuò)展。由此計(jì)算得到了裂尖在25.32MPa載荷下的型應(yīng)力強(qiáng)度因子。同時(shí)，我們根據(jù)斷裂力學(xué)理論

7、中關(guān)于此模型的理論解如公式（1），計(jì)算理論的應(yīng)力強(qiáng)度因子。最后得到的結(jié)果列于表1。 (1)上式中a，b分別是裂紋體的幾何尺寸，F(xiàn)為關(guān)于a和b比值的函數(shù)，可以查表得到，本文中a與b的比值為0.5，查表得到F的函數(shù)值為1.50。表1 應(yīng)力強(qiáng)度因子的對(duì)比表本文計(jì)算值理論計(jì)算值58.6958.28由此可以計(jì)算相對(duì)誤差為：1.06%，此誤差顯然屬于5%的允許誤差范圍之內(nèi)。所以本文計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子是可信的。此外，本文還利用此模型計(jì)算了靜態(tài)裂紋的J積分值，由于材料是理想線彈性的，所以J積分與應(yīng)力強(qiáng)度因子之間存在這樣關(guān)系，如公式（2）。 (2)本文在這里列出J積分的變化趨勢(shì)圖,圖中對(duì)比了公式（2）的理論

8、解以及有限元結(jié)果。從圖中可以看出，兩者是吻合的，說(shuō)明了有限元模擬是正確的。J積分隨加載的變化趨勢(shì)圖如圖5所示。紅色實(shí)線表示的是理論結(jié)果，黑色點(diǎn)表示有限元結(jié)果。圖5 J積分歷史曲線圖3.2 裂紋擴(kuò)展過(guò)程展示Step time=0.1143Step time=0.3943Step time=0.6743Step time=0.7976Step time=0.8708Step time=0.9551Step time=0.9994Step time=0.9998Step time=1圖6 裂紋擴(kuò)展過(guò)程從上述的裂紋擴(kuò)展過(guò)程的應(yīng)力分布圖，我們可以得到如下幾點(diǎn)結(jié)論，證明我們的數(shù)值模擬具有一定的正確性。首先

9、，在裂紋尖端出現(xiàn)了應(yīng)力集中，這是和斷裂力學(xué)理論符合的。其次，觀察裂紋附近的應(yīng)力分布，我們可以看到應(yīng)力分布的趨勢(shì)是與理論計(jì)算的塑性區(qū)的形狀大致相同的，理論計(jì)算的塑性區(qū)形狀如圖7所示。圖7 理論上的塑形區(qū)形狀圖3.3 裂尖單元應(yīng)力變化其次，考察裂尖單元的應(yīng)力隨載荷增加的變化。實(shí)際上裂尖單元應(yīng)力值的具體大小并沒(méi)有意義，因?yàn)楸碚鲾嗔秧g強(qiáng)度的是應(yīng)力強(qiáng)度因子和J積分。而單元應(yīng)力隨載荷增加導(dǎo)致的變化可以幫助我們理解裂尖單元在起裂到完全斷裂的整個(gè)過(guò)程。觀察圖8，我們可以大致得到這個(gè)裂尖單元參與斷裂過(guò)程的整個(gè)歷史。首先，在應(yīng)力加載的早些時(shí)候，裂尖單元的應(yīng)力隨著載荷的增加而增加，此時(shí)裂尖單元的應(yīng)力并沒(méi)有達(dá)到損傷判

10、據(jù)的臨界應(yīng)力，所以單元沒(méi)有起裂。隨著載荷的繼續(xù)增加，應(yīng)力值繼續(xù)增加，當(dāng)?shù)酱蟾?.7976左右時(shí)，裂尖的最大主應(yīng)力達(dá)到了最大主應(yīng)力損傷判據(jù)的臨界值，于是裂紋起裂，直至完全裂開(kāi)，單元的應(yīng)力奇異性消失，裂尖單元轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)普通的非裂尖單元。這個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)于圖8中的右邊應(yīng)力增大后有急劇減小的曲線。之后，由于載荷還沒(méi)有完全加載完畢，所以裂尖單元在轉(zhuǎn)變?yōu)槠胀▎卧箅S著載荷的繼續(xù)增加，其單元應(yīng)力又會(huì)隨之在增加。以上就是一個(gè)裂尖單元在整個(gè)加載過(guò)程中的單元應(yīng)力歷史變化的三個(gè)階段。圖8 裂紋尖端單元應(yīng)力歷史曲線3.4 裂紋擴(kuò)展分析如圖9所示，載荷從零開(kāi)始不斷加載。隨著載荷的增加，裂尖處的單元應(yīng)力也不斷增加。當(dāng)裂尖處

11、的最大主應(yīng)力值達(dá)到臨界值時(shí)，裂尖處的單元開(kāi)始失效，裂紋開(kāi)始穿過(guò)單元擴(kuò)展，時(shí)間步大概是0.7976左右，此時(shí)裂尖處開(kāi)始形成粘結(jié)裂紋(cohesive crack)。從0-0.7976這個(gè)過(guò)程可以認(rèn)為是裂紋孕育期。之后隨著裂尖處的能量釋放率達(dá)到裂紋擴(kuò)展阻力率GC時(shí)，裂尖處的粘結(jié)裂紋開(kāi)始擴(kuò)展成真實(shí)裂紋，裂尖單元的XFEM值達(dá)到1。裂尖處的單元損傷值達(dá)到臨界值，時(shí)間步大概是0.9996左右。此時(shí)認(rèn)為這一結(jié)構(gòu)開(kāi)始失效，裂紋失去平衡，開(kāi)始失穩(wěn)擴(kuò)展，真實(shí)裂紋開(kāi)始形成并不斷擴(kuò)展。從0.7976-0.9996這個(gè)過(guò)程可以認(rèn)為是裂紋的萌生過(guò)程。0.9996以后裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展，結(jié)構(gòu)失效。從圖中可以看出初始裂紋長(zhǎng)度為1

12、2個(gè)單元距離，到最終加載結(jié)束時(shí)，真實(shí)裂紋長(zhǎng)度為15個(gè)單元長(zhǎng)度，粘結(jié)裂紋長(zhǎng)度為7個(gè)單元長(zhǎng)度。圖9 隨加載歷史擴(kuò)展的動(dòng)態(tài)裂紋圖3.5 裂紋擴(kuò)展的能量歷史曲線繪出整個(gè)模型的總能量，動(dòng)能，內(nèi)能和外力功隨計(jì)算過(guò)程的歷史曲線如圖10所示。由圖可以看出，總能量和動(dòng)能在整個(gè)過(guò)程中并沒(méi)有發(fā)生顯著的增加，可以表明整個(gè)計(jì)算過(guò)程基本是穩(wěn)定的。而偽應(yīng)變能在計(jì)算過(guò)程中有稍微的增長(zhǎng)。圖10 裂紋擴(kuò)展的能量歷史曲線4 結(jié)論本文的工作是基于abaqus6.9版本的擴(kuò)展有限元功能計(jì)算了型裂紋的擴(kuò)展。得到如下幾點(diǎn)結(jié)論。首先，本文計(jì)算了型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，結(jié)構(gòu)表明計(jì)算值與理論值的誤差在5%以內(nèi)，結(jié)果可靠有效。同時(shí)計(jì)算了裂紋的J積分值，獲得了J積分的歷史曲線，有限元結(jié)果與理論結(jié)果