質(zhì)量工程師中級(jí)學(xué)習(xí)筆記

1、質(zhì)量工程師理論與實(shí)務(wù)一 概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)1.1概率基礎(chǔ)知識(shí)1.1.1基本概念1.隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，并不是總是出現(xiàn)相同的結(jié)果的現(xiàn)象。其特點(diǎn)為：隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；至于那個(gè)一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道。2.事件的關(guān)系包含，記作： 或；互不相容；相等，記作：3.事件的運(yùn)算對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，是樣本空間，為事件，在由在中而不在中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為的對(duì)立事件；記作：。事件與的并：由事件與中所有樣本點(diǎn)（相同的只記入一次）組成的新事件稱為事件與的并；記作：。并事件發(fā)生意味著“事件與” 中至少發(fā)生一個(gè)發(fā)生。事件與的交：由事件與中公共的樣本點(diǎn)（相同的只記入一次）組成的新事件稱為事件與的交，

2、記作：或。交事件發(fā)生意味著“事件與必同時(shí)發(fā)生”。事件與的差：由事件中而不在中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件與的差，記作：。4.事件的概率概率公理化定義：在一個(gè)隨機(jī)變量中，用來表示任一隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的實(shí)數(shù)成為該事件的概率，記作：，并要求滿足如下公理：非負(fù)性公理：正則性公理：可加性公理：如是個(gè)互不相容事件，則有：1.1.2概率確定的方法1.古典方法確定概率的古典方法的要點(diǎn)：所涉及的隨機(jī)變量只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，如個(gè)樣本點(diǎn)；每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）；假如被考慮的事件含有個(gè)樣本點(diǎn)，則事件的概率定義為： （1.1-1）2.統(tǒng)計(jì)方法確定概率的統(tǒng)計(jì)方法的要點(diǎn)如下：與考慮事件有關(guān)的隨機(jī)變量

3、是只允許大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的；若在重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生次，則事件發(fā)生的概率為： （1.1-2）頻率卻能反應(yīng)事件發(fā)生可能性大??；頻率將會(huì)在重復(fù)發(fā)生次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率值就是。3.概率的性質(zhì)性質(zhì)1 （可從）導(dǎo)出）。性質(zhì)2 （可從“必然事件與不可能事件互為對(duì)立事件”導(dǎo)出。性質(zhì)3 若，則。性質(zhì)4 。性質(zhì)5 。性質(zhì)6 假設(shè)兩個(gè)事件與相互獨(dú)立，則與同時(shí)發(fā)生的概率為：性質(zhì)7 假設(shè)兩個(gè)事件與相互獨(dú)立，則在事件發(fā)生的條件下，事件條件概率等于事件的（無條件）概率。1.2 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量隨機(jī)變量：用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量，常用大寫字母、等表示隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的取值常用小寫字母、等表示

4、。隨機(jī)變量的分布1.離散隨機(jī)變量的分布離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，隨機(jī)變量?jī)H取個(gè)值：，并且知道，取的概率為，取的概率為，取的概率為。或用一個(gè)簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)式子表示出來：，（1）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布滿足如下條件：重復(fù)進(jìn)行次隨機(jī)試驗(yàn)。次試驗(yàn)間相互獨(dú)立，即每一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果不對(duì)其他實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。每次試驗(yàn)僅有兩種可能結(jié)果。每次試驗(yàn)中成功的概率均為，失敗的概率均為。二項(xiàng)分布有，等個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的離散分布為：，其中：二項(xiàng)分布記為，其均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,（2）泊松分布泊松分布總與計(jì)點(diǎn)過程相關(guān)聯(lián)，并且計(jì)點(diǎn)是在一定時(shí)間內(nèi)、或在一定區(qū)域內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進(jìn)行的。取的概率為：，泊松分布記為，

5、其中。其均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,（3）超幾何分布設(shè)有個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有個(gè)不合格。若從中隨機(jī)不放回地抽取個(gè)產(chǎn)品，則其中不合格的個(gè)數(shù)是一個(gè)離散隨機(jī)變量，假如，則可能取，；，則可能取，由古典方法求得的概率是： ，其中，超幾何分布記為。,2.連續(xù)隨機(jī)變量的分布連續(xù)隨機(jī)變量的分布要用概率密度函數(shù)表示。圖上的縱軸原是“單位長(zhǎng)度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長(zhǎng)度上的概率”，這就是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線。概率密度曲線一定在軸上方（即），且與軸鎖甲面積恰好為1。而在區(qū)間上取值的概率為區(qū)間上的面積。（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為。分

6、位數(shù)是一個(gè)基本概念對(duì)任意介于0與1之間的實(shí)數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為，它的右側(cè)面積恰好為。（2）正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，正態(tài)分布常記為。分布函數(shù)其均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,不合格品率與不合格率定義為產(chǎn)品的質(zhì)量特性超過出規(guī)范限的概率：、產(chǎn)品的質(zhì)量特性的分布，在過程受控情況下，的分布為正態(tài)，這是過程現(xiàn)狀的概括。、產(chǎn)品的規(guī)范限：上規(guī)范限和下規(guī)范限。不合格品率有兩種情況：、超出上規(guī)范限的概率，記為；、低于下規(guī)范限的概率，記為。的不合格品率對(duì)，對(duì)，其中可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得，就是總不合格率。不合格率可以用百分點(diǎn)（%）、千分點(diǎn)（），但對(duì)于高質(zhì)量產(chǎn)品，用%和還嫌大，引

7、出了百萬分點(diǎn)（10-6）記作。（3）均勻分布隨機(jī)變量的概率密度為：則服從區(qū)間上的均勻分布，簡(jiǎn)記為。其分布函數(shù)為：其均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,（4）指數(shù)分布隨機(jī)變量的概率密度為：則服從參數(shù)為指數(shù)分布，簡(jiǎn)記為。其分布函數(shù)為：其均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,3.中心極限定理（1）隨機(jī)變量的獨(dú)立性1），是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；2），有相同的分布，且分布中所含的參數(shù)相同。（2）正態(tài)樣本均值的分布定理1設(shè)，是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，假如其共同分布為正態(tài)分布，則樣本均值仍為正態(tài)分布，其均值不變?nèi)詾?，而其方差縮小倍，若把的方差記為，則有。（3)非正態(tài)樣本均值分布定理2（中心極限定理）設(shè)，是個(gè)相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變

8、量，其共同分布未知，但其均值和方差都存在，則在較大時(shí)，其樣本均值近似值服從正態(tài)分布。1.3統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)1.樣本與統(tǒng)計(jì)量總體與個(gè)體：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，把研究對(duì)象的全體稱為總體，構(gòu)成總體的每個(gè)成員成為個(gè)體?？傮w表示為：?？傮w用隨機(jī)變量表示，隨機(jī)變量的分布就是總體的分布，常常用分布表示總體。樣本：從總體中抽出的部分個(gè)體組成的集合稱為樣本，樣本中所含的個(gè)體稱為樣品，樣本中樣品的個(gè)數(shù)稱為樣本容量或樣本量，常用表示。容量為記為，。若，是從總體中獲得的樣本，那么，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。樣本的觀察值用，表示，為了方便起見，不分大小寫，樣本及觀察值都用，表示。把不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布成

9、為抽象分布。2.常用統(tǒng)計(jì)量（1）有序樣本：設(shè)，是從總體中獲得的容量為的樣本，將他們從小到大排列為，則稱為有序樣本。（2）描述樣本的中心位置的統(tǒng)計(jì)量樣本均值：樣本均值處于樣本的中間位置，可以反映總體的分布的均值。對(duì)分組數(shù)據(jù)來講，樣本均值的近似值為，其中是分組數(shù)，是第組中值，是組的頻次，。樣本中位數(shù)：眾數(shù)：數(shù)據(jù)中常出現(xiàn)的值，記為。（3）描述樣本數(shù)據(jù)分散成都的統(tǒng)計(jì)量樣本極差：樣本（無偏）方差：對(duì)分組數(shù)據(jù)來講，樣本方差的近似值為簡(jiǎn)化的計(jì)算公式：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：變異系數(shù)：3.正態(tài)概率紙首先，將數(shù)據(jù)按從小到大的次序排列：，；將點(diǎn)（），注意點(diǎn)在正態(tài)概率紙上；觀察上述個(gè)點(diǎn)的分布，若在一條直線附近，則認(rèn)為其分布是正

10、態(tài)的。1.4參數(shù)估計(jì)1.點(diǎn)估計(jì)1）點(diǎn)估計(jì)的概念：設(shè)是一個(gè)未知數(shù)，從總體中獲得容量為的樣本是，那么用來估計(jì)未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量，稱為的估計(jì)量，或稱為的估計(jì)。常用的點(diǎn)估計(jì)方法2）矩法估計(jì)：用樣本矩估計(jì)總體相應(yīng)的矩，用樣本矩的函數(shù)估計(jì)總體相應(yīng)矩的函數(shù)。通俗說法是用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本方差估計(jì)總體方差，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差等。矩法估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是不要求知道總體的分布，缺點(diǎn)是估計(jì)不唯一。極大似然估計(jì)：設(shè)總體的分布已知，含未知參數(shù)，對(duì)連續(xù)總體，假定其密度函數(shù)為；對(duì)離散總體，假定其分布列為為估計(jì)參數(shù)，從總體中獲得樣本，將樣本的聯(lián)合密度（概率）函數(shù)看成未知參數(shù)的函數(shù)，即似然函數(shù)，則可寫出似然函數(shù)：如果滿

11、足，則是的極大似然估計(jì)。當(dāng)對(duì)的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，可用求導(dǎo)的方法獲得的極大似然估計(jì)。求似然函數(shù)的對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù),假定有個(gè)分量，則將對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的每一個(gè)分量求導(dǎo)并令其為0，得到似然方程組：個(gè)分量，解該似然方程組得到其解，并經(jīng)過驗(yàn)證，可以獲得的極大似然估計(jì)。極大似然估計(jì)的不變?cè)瓌t：如果是的極大似然估計(jì)，是的連續(xù)函數(shù)，則是的極大似然估計(jì)。3）點(diǎn)估計(jì)優(yōu)劣的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)a.無偏性設(shè)是參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量，如果，則稱是參數(shù)的無偏估計(jì)。在正態(tài)分布中的極大似然估計(jì)不是的無偏估計(jì)。b.有效性設(shè)、都是參數(shù)的無偏估計(jì)，如果對(duì)于一切的可能取值有：且至少有一個(gè)，嚴(yán)格不等號(hào)成立，則比有效。2.區(qū)間估計(jì)1）區(qū)間估計(jì)的概念設(shè)是總體

12、的一個(gè)待估參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為，從總體中獲得容量為的樣本是，對(duì)給定的，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：與若對(duì)任意有，則稱為隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為的置信區(qū)間，簡(jiǎn)稱是的的置信區(qū)間，、分別稱為的置信下限與置信上限。的置信區(qū)間的含義是：所構(gòu)造的一個(gè)隨機(jī)區(qū)間能蓋住未知數(shù)的概率為。2）正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間總體均值的置信區(qū)間的求法總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，利用正態(tài)分布可得的置信區(qū)間為：總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，用其估計(jì)代替，用分布，可得的置信區(qū)間為：，其中表示自由度是的分布的分位數(shù)。總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間的求法的估計(jì)常用樣本方差，用的分布構(gòu)造置信區(qū)間。利用分布可以得到總體方差的置信區(qū)間為：標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為。其中與分別是

13、分布的分位數(shù)與分位數(shù)。一個(gè)正態(tài)總體均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間參數(shù)條件置信區(qū)間已知未知未知未知設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立總體，從總體中抽取的樣本為，樣本均值為，樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，從總體中抽取的樣本為，樣本均值為，樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為。a.兩個(gè)總體均值差的置信區(qū)間的求法：估計(jì)常用，所以從去構(gòu)造置信區(qū)間。當(dāng)已知時(shí)，利用正態(tài)分布可得的的置信區(qū)間為：當(dāng)未知，但時(shí)，利用分布可得的置信區(qū)間為：其中未知，且，充分大時(shí)，利用近似正態(tài)分布，可得的的置信區(qū)間為：b.兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間的求法：的估計(jì)通常用，獲得置信區(qū)間，利用分布可得的置信區(qū)間為:其中與分別為分布的分位數(shù)與分位數(shù)。當(dāng)時(shí)，的置信區(qū)間為：兩個(gè)正態(tài)總體

14、均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間參數(shù)條件置信區(qū)間已知未知但時(shí)未知，充分大，未知，未知1.5假設(shè)檢驗(yàn)1.基本概念（1）建立假設(shè)建立兩個(gè)假設(shè)：原假設(shè)和備擇假設(shè)，在對(duì)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有三類假設(shè)：（1）：（或），：（2）：（或），：（3）：，：前兩個(gè)位單邊假設(shè)檢驗(yàn)，后一個(gè)為雙邊假設(shè)試驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)的任務(wù)是根據(jù)樣本，來判斷原假設(shè)是否為真。（2）尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)量，確定拒絕域的形成若對(duì)總體的均值進(jìn)行檢驗(yàn)，我們將從樣本均值 引出檢驗(yàn)計(jì)量。若對(duì)總體的方差進(jìn)行檢驗(yàn)，我們將從樣本均值 引出檢驗(yàn)計(jì)量。根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的值把整個(gè)樣本空間分成兩部分，拒絕域與接受域 。當(dāng)樣本落在拒絕域中拒絕原假設(shè)，否則就保留原假設(shè)。（3）給出顯著

15、水平 在對(duì)原假設(shè)的真?zhèn)芜M(jìn)行判斷時(shí)，由于樣本隨機(jī)性可能產(chǎn)生兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是原假設(shè)為真，由于樣本的隨機(jī)性，使樣本觀察值落在拒絕域中，從而作出拒絕原假設(shè)的決定，這類錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤，其發(fā)生的概率成為犯第一類錯(cuò)誤的概率，也稱為拒真概率，記為，即。第二類錯(cuò)誤是原假設(shè)為假，由于樣本的隨機(jī)性，使樣本觀察值落在接受域中，從而作出保留原假設(shè)的決定，這類錯(cuò)誤稱為第二類錯(cuò)誤，其發(fā)生的概率成為犯第二類錯(cuò)誤的概率，也稱為取偽概率，記為，即。 若犯第二類錯(cuò)誤的概率超過，給出的檢驗(yàn)稱為水平為 的檢驗(yàn)，稱為顯著水平。為使犯第二類錯(cuò)誤概率不過大，常取 、 等。（4）給出臨界值，確定拒絕域有了顯著性水平后，根據(jù)給定的檢驗(yàn)

16、統(tǒng)計(jì)量的分布，查表得到臨界值。從而確定具體的拒絕域。（5）根據(jù)樣本觀察值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值，根據(jù)觀察值是否落在拒絕域中作出判斷。當(dāng)它落在拒絕域中就作出拒絕原假設(shè)的結(jié)論，否則就作出保留原假設(shè)的結(jié)論。2.有關(guān)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（1）設(shè)總體分布，從總體中抽出的樣本為，樣本均值為，樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為。關(guān)于的顯著水平為的檢驗(yàn)當(dāng)已知時(shí)，采用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在不同的檢驗(yàn)中拒絕域如下確定：若原假設(shè)與備擇假設(shè)：（或），：，那么拒絕域?yàn)?。若原假設(shè)與備擇假設(shè)：（或），：，那么拒絕域?yàn)椤Ｈ粼僭O(shè)與備擇假設(shè)：，：，那么拒絕域?yàn)?。?dāng)未知時(shí)，用的估計(jì)代替，采用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在不同的檢驗(yàn)中拒絕域如下確定：若原

17、假設(shè)與備擇假設(shè)：（或），：，那么拒絕域?yàn)?。若原假設(shè)與備擇假設(shè)：（或），：，那么拒絕域?yàn)?。若原假設(shè)與備擇假設(shè)：，：，那么拒絕域?yàn)椤ｊP(guān)于顯著水平為的檢驗(yàn)采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在不同的檢驗(yàn)中拒絕域如下確定：若原假設(shè)與備擇假設(shè)：（或），：，那么拒絕域?yàn)椤Ｈ粼僭O(shè)與備擇假設(shè)：（或），：，那么拒絕域?yàn)椤Ｈ粼僭O(shè)與備擇假設(shè)：，：，那么拒絕域?yàn)榛?。是自由度的分布的分位?shù)。一個(gè)正態(tài)總體均值、方差的顯著性水平為的檢驗(yàn)檢驗(yàn)法條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域檢驗(yàn)已知檢驗(yàn)已知檢驗(yàn)未知或（2）設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立總體，從總體中抽取的樣本為，樣本均值為，樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，從總體中抽取的樣本為，樣本均值為，樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為。關(guān)于的顯著水平為的檢驗(yàn)當(dāng)、已知時(shí)，采用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在不同的檢驗(yàn)中拒絕域如下確定：對(duì)檢驗(yàn)問題：（或），：，那么拒絕域?yàn)椤?duì)檢驗(yàn)問題：（或），：，那么拒絕域?yàn)?。若原假設(shè)與備擇假設(shè)：，：，那么拒絕域?yàn)?。?dāng)、未知時(shí)，但時(shí)，采用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（其中），在不同的檢驗(yàn)中拒絕域如下確定：對(duì)檢驗(yàn)問題：（或），：，那么拒絕域?yàn)?。?duì)