排列組合公式(全)

1、排列定義 從 n 個(gè)不同的元素中，取 r 個(gè)不重復(fù)的元素，按次序排列，稱 為從 n 個(gè)中取 r 個(gè)的無重排列。排列的全體組成的集合用 P(n,r) 表示。排列的 個(gè)數(shù)用 P(n,r) 表示。當(dāng) r=n 時(shí)稱為全排列。一般不說可重即無重?？芍嘏帕械?相應(yīng)記號(hào)為 P(n,r),P(n,r) 。組合定義 從 n 個(gè)不同元素中取 r 個(gè)不重復(fù)的元素組成一個(gè)子集，而不考慮其元 素的順序，稱為從 n 個(gè)中取 r 個(gè)的無重組合。組合的全體組成的集合用 C(n,r) 表示，組合的個(gè)數(shù)用 C(n,r) 表示，對(duì)應(yīng)于可重 組合有記號(hào) C(n,r),C(n,r) 。一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，原因在于(

2、1) 從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型， 需要較強(qiáng)的抽象 思維能力；(2) 限制條件有時(shí)比較隱晦， 需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性詞 ( 特別是邏輯關(guān)聯(lián) 詞和量詞 ) 準(zhǔn)確理解；(3) 計(jì)算手段簡單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的 思維量較大；(4) 計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、 原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。二、兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用(1) 加法原理和分類計(jì)數(shù)法1加法原理2加法原理的集合形式3分類的要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)； 兩類不同辦法中的具體方 法，互不相同 （ 即分類不重 ） ；完成此任務(wù)的任何一種方法，都

3、屬于某一類 （ 即分 類不漏）（2） 乘法原理和分步計(jì)數(shù)法1乘法原理2合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)， 必須且只須連續(xù)完成這 n 步才能完 成此任務(wù)； 各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立； 只要有一步中所采取的方法不同， 則對(duì)應(yīng)的完成 此事的方法也不同例 1：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)集合 A 為數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)的集合， S（A）=9！集合 B 為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。把集合 A 分為子集的集合，規(guī)則為前 6 位數(shù)相同的元素構(gòu)成一個(gè)子集。顯然各子 集沒有共同元素。每個(gè)子集元素的個(gè)數(shù)，等于剩余的 3 個(gè)數(shù)的全排列，即 3！ 這時(shí)集合 B的元素與 A 的子

4、集存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！這就是我們用以前的方法求出的 P（9，6）例 2 ：從編號(hào)為 1-9 的隊(duì)員中選 6 人組成一個(gè)隊(duì)，問有多少種選法？設(shè)不同選法構(gòu)成的集合為 C,集合 B 為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。把集合 B 分 為子集的集合， 規(guī)則為全部由相同數(shù)字組成的數(shù)組成一個(gè)子集， 則每個(gè)子集都是 某 6 個(gè)數(shù)的全排列， 即每個(gè)子集有 6!個(gè)元素。 這時(shí)集合 C 的元素與 B 的子集存 在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,則S（B）=S（C）*6!S（ C）=9 ! /3! /6!這就是我們用以前的方法求出的 C（9, 6）以上都是簡單的例子, 似乎不用弄得這么復(fù)雜。 但是

5、集合的觀念才是排列組合公 式的來源, 也是對(duì)公式更深刻的認(rèn)識(shí)。 大家可能沒有意識(shí)到, 在我們平時(shí)數(shù)物品 的數(shù) 量時(shí),說 1, 2, 3, 4, 5,一共有 5 個(gè),這時(shí)我們就是在把物品的集合與 集合（1, 2, 3, 4,5）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,正是因?yàn)槲锲窋?shù)量與集合（ 1, 2 , 3, 4, 5）的元素個(gè)數(shù)相等,所以我們才說物品共有 5 個(gè)。我寫這篇文章的目的 是把這些潛在的思路變得清晰,從而能用它解決更復(fù)雜的問題。例 3：9 個(gè)人坐成一圈,問不同坐法有多少種？9 個(gè)人排成一排,不同排法有 9!種,對(duì)應(yīng)集合為前面的集合 A9 個(gè)人坐成一圈的不同之處在于，沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分。設(shè)集合 D 為坐

6、成一圈的 坐法的集合。以任何人為起點(diǎn)，把圈展開成直線，在集合 A 中都對(duì)應(yīng)不同元素， 但在集合D 中相當(dāng)于同一種坐法，所以集合 D 中每個(gè)元素對(duì)應(yīng)集合 A 中 9 個(gè)元素， 所以 S（D）=9! /9我在另一篇帖子中說的方法是先固定一個(gè)人，再排其他人，結(jié)果為8！。這個(gè)方法實(shí)際上是找到了一種集合 A 與集合 D 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。用集合的思路解決問題 的關(guān)鍵就是尋找集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 使一個(gè)集合的子集與另一個(gè)集合的元素形 成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例 4：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 組成數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)，但要求 1 排在 2 前面，求符合要求的九位數(shù)的個(gè)數(shù)。集合 A 為 9 個(gè)數(shù)的全排列，

7、把集合 A 分為兩個(gè)集合 B、C,集合 B 中 1 排在 2 前面，集合 C 中 1 排在 2 后面。則 S（ B）+S（ C）=S（ A）在集合 B C 之間建立以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：集合 B 中任一元素 1 和 2 位置對(duì)調(diào)形成的 數(shù)字，對(duì)應(yīng)集合 C 中相同數(shù)字。則這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系為一一對(duì)應(yīng)。因此 S（B）=S（C） =9！/2以同樣的思路可解出下題：從 1、2、3，9 這九個(gè)數(shù)中選出 3 個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù) y=ax*x+bx+c 的系數(shù)，且要求abc,問這樣的函數(shù)共有多少個(gè)？例 5: M 個(gè)球裝入 N 個(gè)盒子的不同裝法，盒子按順序排列。 這題我們已經(jīng)討論過了，我再用更形象的方法說說。假設(shè)我們把 M

8、 個(gè)球用細(xì)線連成一排，再用 N-1 把刀去砍斷細(xì)線，就可以把 M 個(gè)球 按順序分為 N 組。則 M 個(gè)球裝入 N 個(gè)盒子的每一種裝法都對(duì)應(yīng)一種砍線的方法。 而 砍線的方法等于 M 個(gè)球與 N-1 把刀的排列方式（如兩把刀排在一起，就表示 相應(yīng)的盒子里球數(shù)為 0）。所以方法總數(shù)為 C（M+N-1， N-1）例 6： 7 人坐成一排照像 , 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰 , 則共 有_排法.解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設(shè)四部分人數(shù)分別為X1，X2， X3，X4,其中 X1, X4=0, X2, X30先把其余 4 人看作一樣，則不同排法為方程X1+X2+X3+X4=4解的個(gè)數(shù)，令 X2=Y2+1 X3=Y3+1化