數(shù)列中裂項相消的常見策略

1、211數(shù)列中裂項相消的常見策略化娟（甘肅省臨澤一中734000 ）裂項相消是數(shù)列中常見的求解策略，裂項的本質(zhì)是把數(shù)列中的乘積形式變成2 項差的形式.近幾年的數(shù)學(xué)高考試題頻頻用到此法， 本文就解決這類問題的策略結(jié)合常見的試題給予概括總結(jié)，以供參考1 利用分式的通分進行裂項通分在小學(xué)和初中階段都是常見的內(nèi)容，而裂項主要是逆用通分，把乘積式轉(zhuǎn)化為+- 十一 +-123123川n2 式的差.例如可以利用n(n k)1 1k(n11）進行裂項.k分析因為123：；川nn(n 2)所以 原式=212n從而因此例 2 2已知等差數(shù)列（1） 求 a4及 Sn（2）令 b1令bn一2an -分析（1 ）略bnT

2、na3=7,a5+a7=26,，an匚的前 n 項和為 Sn（n N”），求數(shù)列bj的前 n 項和為 Tn.oa 2n 1，得a*1二4n(n 1),1 1 1 (- 4n(n 1)4 nn 1），丄1丄-丄)=丄(1-丄)=23 n n 14n 1 n(n 1)利用根式的分母有理化進行裂項 分母有理化可以把分母中的根式去掉，從而轉(zhuǎn)化為差的形式進行裂項.例如可以利用分式=1( n k _ . n)等.n n k k例 3已知數(shù)列an滿足an=-壬- :，求Sn.(n +1)J n +nJn +1an?滿足:由tan tan P變形為tan tan1或者其他形式，從而解決問題 .tan(口- P

3、)例 5 在數(shù) 1 和 100 之間插入 n 個實數(shù)，使得這 n+2 個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這的乘積記作Tn,n _ 1.(1)求數(shù)列、an1的通項公式；(2)設(shè)bn=tanan，tana* 1，求數(shù)列b 2),貝y Cn卅一Cn = - = 2(- -).(n -1)nn(n -1) n n -1bb從而cn= (CnCn)(Cn- Cnd)GQ=2(11_ 1n 2bn=Cn1 1 1 11) C2=2(- 1)+n -2 n -32n -1n(n -1) = (2)n(n -1) =2n2.n 1b2=22，2 n 1利用兩角差的正切公式進行裂項把兩角差的正切公式進行恒等變形，例如t

4、an (：；I)=tan：- -tan：可以n+2 個數(shù)（2）由題意和第（1 ）小題的計算結(jié)果，知bn=tan(n 2) tan(n3)(n _1)另一方面，利用tan仁tank 1 -kan(k 1)tank,得1 - tan(k +1) tan k5 利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行裂項對數(shù)運算有性質(zhì)logaM= log M -log N，有些試題則可以構(gòu)造這種形式進行裂項N例 6 各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an滿足an=1（ N），當(dāng)n_2時，證明：111n -1-+- + -Igajga2lg a?Ig a3Iganlganlg a1lg a.分析a(q0)，由= q，得Igan Igan=lgq，

5、an*6利用排列數(shù)或組合數(shù)的性質(zhì)進行裂項排列數(shù)有性質(zhì)n n （n 1）! -n!，組合數(shù)有這樣的性質(zhì)cn= dCn，都可以作為裂項的依據(jù)例7求和:11+2 2+ n -n! =分析 直接利用n n!=（n，1）!-n!可得結(jié)果是（n T）!-1.例 8 求和：12nSn2!3!(n 1)!tan(k 1) tan k =tan(k 1) - tan kta n1-1,于是&b：2tan(k 1) tank；2吋 TWJi =1i =3i =3 _tan(n + 3) - tan 3nntan 1tan1設(shè)等比數(shù)列Bn 的公比為 q從而,1lg a.lgan1Ig q(lgan 41lg an因此,左邊=Ig q 1 lg a1Ig a2)(lg a21 1一) (一lg a3lg an 4H-)llg an一1)=1Ig an- lg a11 (n - 1)lg qIg q Ig a1Iga2Igq右式.Ig anIg a1Ig a.Ig a.Ig a1Ig a.Ig印例 9 求和：Sn -C2C3Cn.分析 利用組合數(shù)性