第十七章勾股定理在最短路徑中的應用

1、開放周校本課程公開課最短路徑中的勾股定理A.cm B . 5cm3 5 cm D . 7 cm開課時間：2016年4月19日 星期二開課地點：龍巖初級中學主考辦公室 開課人：郭小蔚開課班級：八年級（10 ）班一、教學目標1、知識與技能體驗最短路徑中的勾股定理的應用過程，會運用勾股定理解決簡單最短路徑相關問題。2、過程與方法通過最短路徑中勾股定理的學習，能夠比較熟練地用轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學思想分析解決問題， 以形助數(shù)，以數(shù)解形，將數(shù)量關系和空間形式巧妙結(jié)合 ，使復雜問題簡單化 抽象問題具體化，能分析圖象，從圖象中提取有用信息，進一步提高分析能力、歸納能力與數(shù)形結(jié) 合能力。3、情

2、感、態(tài)度與價值觀在分析探索中，讓學生體驗掌握知識的快樂與體驗成功的喜悅，感受數(shù)學之美，探究之趣，進 一步提高學生的數(shù)學學習積極性。二、教學重點利用勾股定理解決最短路徑的 解題過程中，正確地把握數(shù)學思想方法三、教學難點轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合等思想的滲透與領悟， 三、教學方法 探究，領悟 四、復習過程：（一）舊知引入，復習回顧：如圖，圓柱的底面周長為 6cm, AC是底面圓的直徑，高BC=6cm點P是母線BC上一2點，且PC= -BC. 一只螞蟻從 A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點 P的最短距離是3（）師生共同分析：先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)高BC =6cm, PC=f BC,求出PC =| x 6

3、=4cm,在Rt AC P中，根據(jù)勾股定理求出 AP的長.B解：側(cè)面展開圖如圖所示，圓柱的底面周長為 6cm,/ AC =3cm,/ PC =3 BC , PC' =3 x6=4cm,在 Rt ACP中，3cmlcmaf2=ac 2+ch, AP- 3242 =5.故選B.練習一：如圖是一個三級臺階， 它的每一級的長、寬、高分別為20dm 3dm2dm A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點 B/ /lx處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為dm.點評：轉(zhuǎn)化思想，由立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，曲線轉(zhuǎn)化為直線。本質(zhì):最短問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短。-1（

4、二）延伸拓展，范例研討例：一圓柱形 的油罐，如圖，要從點 A起環(huán)繞油罐 一圈建梯子，正好到 A點的正上方B點，若油罐底 面周長是12m高是5m問梯子最短是多少米？ 解：如圖，將圓柱體展開，連接A、B,根據(jù)兩點之間線段最短，梯子最短是：在 Rt ABC中：AB= J2252B=13m.答：梯子最短是13米練習二：1、如圖，在棱長為 1的正方體ABCD-A B' C D'的表面上，求頂點 A到頂 點C'的最短 距離是多少？1、如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達點B,那么所用細線最短需要（）cm.師生共同分析：要求所

5、用細線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進 而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果.3、如圖，長方體的底面是邊長為1cm的正方形，高為3cm（1）如果用一根細線從 點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B,請利用側(cè)面展開圖計算所用細線最短需要多少cm?（2）如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達點B,那么所用細線最短需要 cm（直接填空）點評：考查了平面展開一一最短路徑問題，本題就是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，用勾 股定理解決.（三）變式拓展，熟練技能例：在底面直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為cm.（結(jié)果保留n ）解：如

6、圖所示，無彈性的絲帶從A至C,v AB=2 n cm,絲帶繞圓柱一圈 半，展開后相當于 AB ' =3 n , BC=3cm由勾股定理得：AC AB 2 B C2AC=（3二）232=3 .二 21 cm.點評：由立體到平面，由曲線到直線，由整數(shù)圈到一圈半的轉(zhuǎn)化。練習三：如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（ 與墻面廠I 1.II 廠 ILIJ.I L和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 面爬到柜角C處.A處沿著木柜表Wfiiia（1）請你在備用圖中畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑;（2）當AB=4, BC=4, CG=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長.（四）能力拓展，解決問題.1如圖

7、，一個牧童在小河的南 4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？2、2015資陽中考）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部 3 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點A處,則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A.13cm B. 2 61cm c. . 61cm D. 2.34cm3、如圖，A, B是筆直公路l同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到公路的距離分別是300m和500m兩村莊之間的距離為 d （已知d2

8、=400000nf）,現(xiàn)要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離 之和最小，問最小值是多少?點評：軸對稱作圖；平面展開最短路徑問題；勾股定理（五）變換拓展，升華變式（2015自貢中考） 如圖，在矩形 ABCD中，AB=4, AD=6,E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動點，將 EBF沿EF所在直線折疊得到 EB'F ,連接B'D ,則B'D 的最小值是（）A. 2 10 -2B.6 C.2.J3 _2D.4點評：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，翻折前后圖形大小不發(fā)生變化， DEB中兩邊一定，要使 DB'的長度最小即要使 ZDEB'最?。ㄒ簿褪鞘蛊浣嵌葹?0° ）,此時點B'落在DE上，即E，B' ,D在同一條 直線上，利用勾股定理，即可求出答案。（六）總結(jié)反思，情意發(fā)展:實際問咂抽繚數(shù)學問題解決|利用勾 _已知兩邊求第.迪股定理 已知一邊設未11方程|歸類 直箱三翔 形的問題學生思考并歸納：借助勾股定理解決幾何體表面的最短路線問題，本質(zhì)：最短問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短?；舅悸肥菍⒘Ⅲw圖形轉(zhuǎn)化為