簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的COMSOL模擬

1、簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的 COMSOL模擬北京東之星 應用物理研究所伍 勇1. 引言COMSOL 攜帶的案例庫里，其中一篇 <Bandgap Analysis of a Photonic Crystal>(以下簡稱< Bandgap >)對砷化鎵簡單正方格子 2D 光子能帶進行了完整計算和研究。 本文將程序用于簡單六方結(jié)構(gòu)，并 將結(jié)果在此做一介紹。2. 關(guān)于Floquet (弗洛蓋) 波矢kF這是入門COMSOL光子晶體能帶模擬的重要概念，在另一案例 vPorous Absorber中，在 Floquet周期性邊界條件一段寫明： p( x) p( x d )e i

2、(kd)由此我判斷Floquet波矢就是Bloch (布 洛赫)波矢，但“幫助”文檔中有： kF k sin 1 (a1 cos 2 n a1 sin 2 )，以正格子基矢 a1 ,a2 表示(其文沒有任何幾何插圖和物理說明)，使我決定必須在六方格子中 選擇矩形單胞作為周期單元，以使計算機程序能夠運行我的幾何方 案。3. 幾何建模圖1作為試探選擇的幾何模型，圓形柱代表以GaAs作為格點材料,在空氣介質(zhì)中周期性排列，形成二維六方結(jié)構(gòu)人造晶體。a是晶格常數(shù)。?是z方向的單位 矢量以上根據(jù)倒格子基矢定義計算出b1, b2及其分量。由倒格子基矢b1， b2 ，構(gòu)建長方格子的布里淵區(qū)也是長方結(jié)構(gòu)如圖2:

3、4. 二維光子晶體主方程COMSOL在v Bandgap > 模型開發(fā)器”電磁波，頻域?qū)懗龇匠?形式如下：r1( E)烤(r丄疋0，0在v Bandgap >中，下面目錄波方程，電中直接簡化為，電磁波在光子晶體中的傳播遵從麥克斯韋方程，上述方程可由麥克 斯韋方程組出發(fā)導出介質(zhì)中的麥克斯韋方程組D E，B H，J E在電介質(zhì)中一般認為自由電荷，自由電流密度(電導率)為零。本文檔不考慮磁性質(zhì)，0 , J 0, r 1傳播模態(tài)電場函數(shù) COMSOL 表達為：ikzz i tE(x,y,z,t) E(x,y)e z ei t (5)，在周期結(jié)構(gòu)中，它應具有 Bloch波的性質(zhì)，不考慮衰減損

4、耗。注意 這里次上標的符號與我們習慣的教科書里正負符號相反。由(2)兩端取旋度，將(4)代入得:(E)2et2絕緣介質(zhì) k22k2c0kon2，折射率nk000ce為真空波數(shù)，應用(5)，如期得到前面提到的 Bandgap 中的假設波方程:利用(E)(E) 2E2Erv0 0r rE偏振時(又稱橫磁場模式TM )對應的二維光子晶體主方程 是：2 2(22)Ez(x,y) n2kEz(x,y)0 (6)這里電場方x y向平行于z軸，而磁場方向只分布在x-y平面內(nèi)。 二維光子晶體主方程(6)是計算光子能帶的出發(fā)點和源依據(jù)。5折射率色散函數(shù)n( f )n( f )是COMSOL計算能帶的第二個關(guān)鍵點

5、，描述折射率隨頻 率參量f的變化。格點材料砷化鎵的n( f )，在 Bandgap 有如下 定義n_GaAs= 3.3285e5s/ m*c_const/f+3.5031，參變量 f,單位 Hz;下限：0, 上限：1c_const 299792458( m/s表示真空光速，我在軟件Mathematica 上化簡這個函數(shù)，給出n_GaAs 3.5031 9.97884* 10"13/f，并繪制圖 3如下：經(jīng) COMSOL 計算機程序進行求解，得到 E 偏振情況下 2D 介質(zhì) (GaAs) 光子晶體能帶結(jié)構(gòu)。6. 光子能帶圖(選取能量最低的 5 個能帶)(1) 沿布里淵區(qū) 10方向(K

6、) (圖 2):(2) 沿布里淵區(qū) 01方向 (M ):(1)(2)7. 電場傳播模態(tài)Z分量Ez(x,y)的平面圖(1)和高度圖(2):A 10,band=1 (平移組合了 6 個單胞圖)(1)(2)B 01,band=5(1)(2)8. 討論作者又在文獻“ Bandgap And Field Propagation Analysis UsingPhotonic Crystal ”( International J ournal of Innovative Research in Computer and Communication EngineeringAn ISO 3297: 2007 Certified Organization Vol.3, Special Issue 1, February 2015)中，看到晶體周期單元適合計算機運行的相同本文的圖示 :受到啟發(fā)：計算機看自然可能不會拘于人類目光所決定的一種格式， 晶體狀態(tài)也會有它本身具有的所有高低不同對稱性和不同的能量范 圍的本征態(tài)。AlphaGc人機大戰(zhàn)挑戰(zhàn)人類的思維。如