韓師2011《高代》專插本考試樣卷

1、韓山師范學院2011年專升本插班生考試樣卷數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 專業(yè) 高等代數(shù)A卷題號-一一二二二-三四五六七八九十總分評卷人得分、選擇題(每小題3分，共15分)題號12345答案1. m個方程n個未知量的線性方程組中，若其系數(shù)矩陣的秩等于 m,則() 成立。(A )方程組一定有解；(B )方程組一定有無窮多解；(C)方程組一定無解；(D)方程組一定有唯一解.2. 設(shè)E1E2Es A Es+1Et =I,其中Ei為初等矩陣，i = 1,2,t ,則A-1等于().(A)E1E2 Et ;( B)Et E2E1;(C)Es+1 Et E1Es;( D)E t E s+1 E1Es .A1、3. 設(shè)A1

2、, A2,As都是n階方陣，則對角線分塊矩陣比的秩等hq<As丿于()(A )秩(A1A2 As);( B)秩 A1X 秩 A2X-X 秩 As；(C)秩(A什A2As);( D)秩 A1 + 秩 A2+ 秩 As .4. 設(shè)a , a，,a與妝,倫，,伍均為線性相關(guān)的向量組，則下列結(jié)論正確的 是( )(A) a+乩a+免，a+伎線性相關(guān)；(B) a+®,a+儀,，a+伶線性無關(guān)；(C) a, a,as, 0,倫,，念線性相關(guān)；(D) a, a,a, 3,倫,，念線性無關(guān).5. = 2 , 2 , -81357246 是偶排列.（），2 = 2 , -1 , 2是R3的規(guī)范正交

3、組，添加()1333 丿 I 333 丿可以擴充為R4. 復(fù)數(shù)域C作為實數(shù)域R上的向量空間,維數(shù)是.5. mx n矩陣A的行向量組所生成的F n的子空間叫做A的.三、判斷題（每小題2分，共14分.你認為正確的，在題后圓括號內(nèi)打 V , 錯誤的打“X”。） 1 多項式x4 -2x3 2x -3在有理數(shù)域上是不可約的.（） 設(shè)A是n階方陣，那么 det （ - A ） = - det A .（）的規(guī)范正交基.(C)2323310100 '010與B=010<101<002丿7.矩陣A=可以看成某一線性變換關(guān)于兩個基的二、填空題（把答案填在題中橫線上。每小題3分，共15分）1.

4、在n元排列中，反序數(shù)最大的排列的反序數(shù)為 .2. 實數(shù)域上的不可約多項式的次數(shù)只能是 .3. f（x）=2x6. 復(fù)數(shù)域上兩個n元二次型等價的充分必要條件是它們的矩陣有相同的秩-10x在歐氏空間V中，當向量 -0, - 0時，有'/,.（）5. 設(shè)f : A-B,g : B-C是映射，又令h = g0 f .如果h是單射，那么g也是單射. 16x3-16x2 14X-6在 Qx內(nèi)的典型分解式為的矩陣.勺-63四、（8分）求矩陣A = 0 _5 <的逆矩陣.I。64五、（8分）求齊次線性方程組X| X2 +5x3 滄=0,Xi +x2 -2x3 +3x4 = 0,3xi -X2 8

5、x3 x4 = 0,Xi 3x2 -9x3 7x=0的一個基礎(chǔ)解系.六、（8分）計算行列式b +c + dc + d +ad +a +ba +b +cabcdD =2 ab22 cd2.3 ab33 cd32n七、（8分）證明：多項式f （x）= x+HI+-在復(fù)數(shù)域C內(nèi)沒有重根2!n!八、（8分）設(shè)向量組:-,:,線性無關(guān)，證明很亠；，：；/也線性無關(guān).九、（8分）設(shè)匚是數(shù)域F上向量空間V上的一個線性變換，：和是二的屬于 不同本征值的本征向量.證明：-匕F（k=0）,不是二的本征向量.十、（8分）設(shè)A與B都是n階方陣.證明：如果AB = O,那么秩A +秩B < n .-1所2種：一次

6、多項式,【自己得出來的答案】1. A2. C(由已知 A= (E1E2 EsF-1(Es+1 EtF以 AA-1= Es+1 Et E1E2-Es)3. D(r(A)=r(A1)+r(A2)+r(As)4. C (部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān))5. B(利用正交來做，再單位化)(屬于不同特征值的特征向量彼此正交，故( a 1) at * a 3=0,( a 2仟 a 3=0即解齊次線性方程組，其系數(shù)矩陣為2/3 2/3 -1/32/3 -1/3 2/3a 3=1 -2 -2/(1A2+(-2)A2+(-2)A2)=1/3 -2/3 -2/3(最后一步是標準化)1. n(n-1)/22

7、. 1 或 2(實數(shù)域上的不可約多項式類型有只含非實共軛復(fù)數(shù)根的二次多項式所以是1或2)3. f(x)=2(x-1)(x-3)(xA3-xA2+x-1)4. 25. 行空間1.錯(反序數(shù)為13,是奇排列)2.對3.錯(det(-A )(-1)a ndetA)4. 對5.(f 為單射)6. 對7. 錯(一個線性變換(T在兩個基下的矩陣A、B的關(guān)系是相似(即 B=Ta-1AT)，而相似矩陣必有相同的特征值，故有相等的行列式與跡)四1-3-3/20-2-3/2035/2五.-3/2-1E 1 =7/2E 2= -21001將第2行加到第1行第1行提出公因子a+b+c+d行列式化為范德蒙行列式故 D

8、= (a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)七.令 g(x)=f(x)=1+x+xA2/2!+xA3/3!+.+xA(n-1)/(n-1)!f(x)=g(x)+xA n/n!顯然g(x)不能整除xAn/n!(后者只有0為根。0顯然不是g(x)的根) 所以g(x)也不能整除f(x),所以f(x)無重根(多項式有重根的充要條件是能被導(dǎo)數(shù)整除)八.證明：假設(shè)a + B B +丫 丫 + a 線性相關(guān), 則存在一組不全為零的數(shù)kl, k2, k3,使得 k1( a + B )+k2( B + Y )+k3( 丫 + a )=0(k1+k3) a +(k1+k2)

9、B +(k2+k3) 丫=0又因為a B 丫線性無關(guān)所以 k1+k3=k1+k2=k2+k3=0解得k仁k2=k3=0與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立所以a + B B + 丫 丫 + a線性無關(guān)九.解：反證,設(shè)a +k B是線性變換(T的屬于本征值Z的本征向量則(T ( a +k B ) = Z ( a +k B ),所以(T ( a )+k(T ( B )= Z a +k Z B ,由已知，(a,B是分別屬于(T的兩個不同本征值 入、卩的本征向量)(T ( a )=入 a , t ( B )= uB ,所以入 a +k u B = Z a +k Z B ,所以(Z -入)a +k( Z - u) B = 0.由于屬于不同本征值的本征向量線性無關(guān)，所以(Z -入)=k( Z - u )=0.由于 kM 0,所以 Z = X = u .這與已知矛盾(題中X、u是不同的本征值).注：1.屬于不同本征值的本征向量線性無關(guān)(若a、B屬