中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練：二次函數(shù)

1、2019年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練：二次函數(shù)1如圖，已知拋物線yx2xn（n0）與x軸交于A，B兩點（A點在B點的左邊），與y軸交于點C（1）若AB4，求n的值；（2）如圖，若ABC為直角三角形，求n的值；（3）如圖，在（2）的條件下，若點P在拋物線上，點Q在拋物線的對稱軸上，是否存在以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求P點的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）當(dāng)y0時， x2xn0，解得：x1，x2，點A的坐標為（，0），點B的坐標為（，0）AB4，4，整理，得：9+8n16，解得：n（2）當(dāng)x0時，yx2xnn，點C的坐標為（0，n）ABC為直角三角形，ACB90

2、76;，ACO+BCO90°，CBO+BCO90°，ACOCBO又AOCCOB90°，AOCCOB，OAOBOC2，即n2，整理，得：n22n0，解得：n10（舍去），n22（3）由（2）可知，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，2），拋物線的對稱軸為直線x設(shè)點P的坐標為（m， m2m2），分兩種情況考慮，如圖2所示：若BC為邊，當(dāng)四邊形BCP1Q1為平行四邊形時，m40，解得：m，點P1的坐標為（，）；當(dāng)四邊形BCQ2P2為平行四邊形時，m40，解得：m，點P2的坐標為（，）若BC為對角線，設(shè)BC，P3Q3的交點為M，點B的坐標為（

3、4，0），點C的坐標為（0，2），點M的坐標為（2，1），+m2×2，解得：m，點P3的坐標為（，）綜上所述：存在以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標為（，），（，）或（，）2如圖，拋物線yax2+bx+5（a0）交直線ykx+n（k0）于A（1，1），B兩點，交y軸于點C，直線AB交y軸于點D已知該拋物線的對稱軸為直線x（1）求a，b的值；（2）記直線AB與拋物線的對稱軸的交點為E，連結(jié)CE，CB若CEB的面積為，求k，n的值解：（1）由題意，得，解得，故所求a的值為1，b的值為5；（2）如圖，設(shè)點B（m，m25m+5），過A作AGy軸于G，過B作BFx軸于F，

4、延長GA交BF于HDGBF，即，DGm4，CDmSCEBSCDBSCDE，m2m×，解得m1（舍去），m26把A（1，1），B（6，11）代入ykx+n，得，解得故所求k的值為2，n的值為13如圖，已知直線2x+m與拋物線yax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，4）為拋物線的頂點，點B在x軸上（1）求m的值；（2）求拋物線的解析式；（3）若點P是x軸上一點，當(dāng)ABP為直角三角形時直接寫出點P的坐標解：（1）將點A坐標代入y2x+m得：42+m，解得：m6；（2）y2x+6，令y0，則x3，故點B（3，0），則二次函數(shù)表達式為：ya（x1）2+4，將點B的坐標代入上式得：0a（

5、31）2+4，解得：a1，故拋物線的表達式為：y（x1）2+4x2+2x+3；（3）當(dāng)ABP90°時，直線AB的表達式為：y2x+6，則直線PB的表達式中的k值為，設(shè)直線PB的表達式為：yx+b，將點B的坐標代入上式得：03+b，解得：b，即直線PB的表達式為：yx，當(dāng)x1時，y1，即點P（1，1）；當(dāng)AP（P）B90°時，點P（1，0）；故點P的坐標為（1，1）或（1，0）4在平面直角坐標系xOy中拋物線yax2+bx+c（a0）與y軸交于點C（0，2），它的頂點為D（1，m）且tanCOD（1）求m的值及拋物線的表達式；（2）將此拋物線向上平移后與x軸正半軸交于點A，與

6、y軸交于點B，且OAOB若點A是由原拋物線上的點E平移所得，求點E的坐標解：（1）頂點為D（1，m），且tanCOD，則m3，則拋物線的表達式為：ya（x1）2+3，即：a+32，解得：a1，故拋物線的表達式為：yx2+2x+2；（2）設(shè)：拋物線向上平移n個單位，則函數(shù)表達式為：yx2+2x+2+n，令y0，則x1+，令x0，則y2+n，OAOB，1+2+n，解得：n1或2（舍去2），則點A的坐標為（3，0），故點E（3，1）5如圖，拋物線yax2bx+3交x軸于B（1，0），C（3，0）兩點，交y軸于A點，連接AB，點P為拋物線上一動點（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點P到直線AB的距離為時

7、，求點P的橫坐標；（3）當(dāng)ACP和ABC的面積相等時，請直接寫出點P的坐標解：（1）用交點式拋物線表達式得：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即3a3，解得：a1，故拋物線的表達式為：yx24x+3，則點A（0，3）；（2）過點P作PHAB于點H，過點H作HGx軸交過點P平行于y軸的直線于點G，則ABOHPG，在AOB中，tanABO3tan，設(shè)PGn，則HG3n，PH，即：n2+9n2（）2，解得：n，則直線直線AB的表達式為：y3x+3，設(shè)點H（m，33m），則點P（m+，3m），將點P坐標代入式并整理得：3m2+11m140，解得：m1或，故點P的橫坐標為：或；（3）參考（2）作P

8、GH，過點O作OMAC于點M，ACP和ABC的面積相等，PHOM，OAOB，ACO45°，OM，即：PHOM，按照（2）的方法，同理可得：點P的坐標為（，）或（，）6如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yx+2與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點A，拋物線的頂點為D連接AB，點E是第二象限內(nèi)的拋物線上的一動點，過點E作EPBC于點P，交線段AB于點F（1）連接EA、EB，取線段AC的中點Q，當(dāng)EAB面積最大時，在x軸上找一點R使得|RE一RQ|值最大，請求出R點的坐標及|RERQ|的最大值；（2）如圖2，在（1）的條件下，將PED繞E點旋轉(zhuǎn)得EDP，當(dāng)APP是以AP為直角邊的直角三角形時

9、，求點P的坐標解：（1）y0時，x2x+20，解得：x13，x21B（3，0），C（1，0）x0時，y2，A（0，2）設(shè)直線AB的解析式為ykx+b 解得：直線AB的解析式為：yx+2設(shè)點E（e，e2e+2），則點F（e， e+2）EFe2e+2（e+2）e22eSEABOBEF×3（e22e）e23e（e+）2+3e0當(dāng)e時，EAB的面積最大，e2e+2此時點E坐標為（，）如圖1，連接并延長EQ，交x軸于點R，則此時|RERQ|EQ值最大Q是AC中點Q（，1）設(shè)直線EQ解析式為：yax+c 解得：直線EQ解析式為：yx+當(dāng)y0時， x+0，解得：xR（，0）此時|RERQ|的最大值

10、EQ（2）設(shè)點P'坐標為（m，n）EPx軸，E（，）P（，0），EP，APi）當(dāng)P'PA90°時，如圖2，過點P'作P'Mx軸于點M，P'MPPOA90°，PP'M+P'PMP'PM+APO90°PP'MAPOPP'MAPO 即：整理得：4n+3mEP'EP（m+）2+（n）2（）2聯(lián)立解方程組得：（舍去）P'（，）ii）當(dāng)PAP'90°時，如圖3，過點P'作P'Ny軸于點N，由P'ANAPO得 即：整理得：3m+4n8EP&#

11、39;EP（m+）2+（n）2（）2聯(lián)立解方程組得： P'（，）或（，）綜上所述，當(dāng)APP是以AP為直角邊的直角三角形時，點P的坐標為（，）或（，）或（，）7如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線yx2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線yx3經(jīng)過B、C兩點（1）求拋物線的解析式；（2）過點C作直線CDy軸交拋物線于另一點D，過點D作DEx軸于點E，連接BD，求tanBDE的值 （1）解：直線yx3經(jīng)過B、C兩點，B（3，0），C（0，3），yx2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，解得，故拋物線的解析式為yx22x3；（2）解：如圖，過點C作直線CDy軸交拋物線于點D，過

12、點D作DEx軸于點E，連接BD，拋物線yx22x3的對稱軸是直線x1，C（0，3）D（2，3）從而得CDOE2，DE3B（3，0），BE1在RtDEB中，DEB90°tanBDE8如圖，對稱軸為直線x1的拋物線yx2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，0），C為拋物線與y軸的交點（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在拋物線上，且SPOC2SBOC，求點P的坐標解：（1）拋物線的對稱軸為x1，A點的坐標為（3，0），點B的坐標為（1，0）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得：解得：b2，c3，拋物線的解析式為yx2+2x3（2）將x0代yx2+2x3入，得y3，點

13、C的坐標為（0，3）OC3點B的坐標為（1，0），OB1設(shè)點P的坐標為（a，a2+2a3），則點P到OC的距離為|a|SPOC4SBOC，OC|a|OCOB，即×3×|a|2××3×1，解得a±2當(dāng)a2時，點P的坐標為（2，5）；當(dāng)a2時，點P的坐標為（2，3）點P的坐標為（2，5）或（2，3）9定義：若拋物線的頂點和與x軸的兩個交點所組成的三角形為等邊三角形時則稱此拋物線為正拋物線概念理解：（1）如圖，在ABC中，BAC90°，點D是BC的中點試證明：以點A為頂點，且與x軸交于D、C兩點的拋物線是正拋物線；問題探究：（2）

14、已知一條拋物線經(jīng)過x軸的兩點E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；應(yīng)用拓展：（3）將拋物線y1x2+2x+9向下平移9個單位后得新的拋物線y2拋物線y2的頂點為P，與x軸的兩個交點分別為M、N（M在N左側(cè)），把PMN沿x軸正半軸無滑動翻滾，當(dāng)邊PN與x軸重合時記為第1次翻滾，當(dāng)邊PM與x軸重合時記為第2次翻滾，依此類推，請求出當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點P的對應(yīng)點坐標解：（1）證明：BAC90°，點D是BC的中點ADBDCDBC拋物線以A為頂點與x軸交于D、C兩點ADACADACCDACD是等邊三角形以A為頂點與x軸交于D、

15、C兩點的拋物線是正拋物線（2）E（1，0）且EF2，點F在x軸上且E在F的左邊F（3，0）一條經(jīng)過x軸的兩點E、F的拋物線為正拋物線，設(shè)頂點為GEFG是等邊三角形xG，|yG|當(dāng)G（2，）時，設(shè)拋物線解析式為ya（x2）2+把點E（1，0）代入得：a+0ay（x2）2+當(dāng)G（2，）時，設(shè)拋物線解析式為ya（x2）2把點E（1，0）代入得：a0ay（x2）2綜上所述，這條拋物線的解析式為y（x2）2+或y（x2）2（3）拋物線y1x2+2x+9（x）2+12y1向下平移9個單位后得拋物線y2（x）2+3P（，3），M（0，0），N（2，0）PMMNPN2PMN是等邊三角形第一次翻滾頂點P的坐標變

16、為P1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）即每翻滾3次為一個周期，當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時，點P縱坐標為3，橫坐標為： +n×2（2n+1）2019÷3673（2×2019+1）×4039當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點P的對應(yīng)點坐標為（4039，3）10如圖，直線l：y3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線yax22ax3a（a0）經(jīng)過點B（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點M的橫坐標為m，ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S

17、的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時，動點M相應(yīng)的位置記為點M將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l，當(dāng)直線l與直線AM重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l與線段BM交于點C，設(shè)點B、M到直線l的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時，求直線l旋轉(zhuǎn)的角度（即BAC的度數(shù)）解：（1）令x0代入y3x+3，y3，B（0，3），把B（0，3）代入yax22ax3a，33a，a1，二次函數(shù)解析式為：yx2+2x+3；（2）令y0代入yx2+2x+3，0x2+2x+3，x1或3，拋物線與x軸的交點橫坐標為1和3，M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，0m3，令y0代入y3x+3，x1，A的坐標

18、為（1，0），由題意知：M的坐標為（m，m2+2m+3），SS四邊形OAMBSAOBSOBM+SOAMSAOB×m×3+×1×（m2+2m+3）×1×3（m）2+，當(dāng)m時，S取得最大值（3）由（2）可知：M的坐標為（，）；過點M作直線l1l，過點B作BFl1于點F，根據(jù)題意知：d1+d2BF，此時只要求出BF的最大值即可，BFM90°，點F在以BM為直徑的圓上，設(shè)直線AM與該圓相交于點H，點C在線段BM上，F(xiàn)在優(yōu)弧上，當(dāng)F與M重合時，BF可取得最大值，此時BMl1，A（1，0），B（0，3），M（，），由勾股定理可求得：AB

19、，MB，MA，過點M作MGAB于點G，設(shè)BGx，由勾股定理可得：MB2BG2MA2AG2，（x）2x2，x，cosMBG，l1l，BCA90°，BAC45°；方法二：過B點作BD垂直于l于D點，過M點作ME垂直于l于E點，則BDd1，MEd2，SABM×AC×（d1+d2）當(dāng)d1+d2取得最大值時，AC應(yīng)該取得最小值，當(dāng)ACBM時取得最小值根據(jù)B（0，3）和M（，）可得BM，SABM×AC×BM，AC，當(dāng)ACBM時，cosBAC，BAC45°11如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)yx3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點

20、B關(guān)于x軸的對稱點是C，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象經(jīng)過點A和點C（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，平移線段AC，點A的對應(yīng)點D落在二次函數(shù)在第四象限的圖象上，點C的對應(yīng)點E落在直線AB上，求此時點D的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CD，交CD軸于點M，點P為直線AC上方拋物線上一動點，過點P作PFAC，垂足為點F，連接PC，是否存在點P，使得以點P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與COM相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由解：一次函數(shù)yx3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，A（3，0），B（0，3），點B關(guān)于x軸的對稱點是C，C（0，3），二次函數(shù)yx2+bx+

21、c的圖象經(jīng)過點A、點C，b2，c3，二次函數(shù)的解析式為：yx2+2x+3（2）A（3，0），C（0，3），平移線段AC，點A的對應(yīng)為點D，點C的對應(yīng)點為E，設(shè)E（m，m3），則D（m+3，m6），D落在二次函數(shù)在第四象限的圖象上，（m+3）2+2（m+3）+3m6，m11，m26（舍去），D（4，5），（3）C（0，3），D（4，5），解得，直線CD的解析式為y2x+3，令y0，則x，M（，0），一次函數(shù)yx3的圖象與x軸交于A（3，0），C （0，3），AO3，OC3，OAC45°，過點P作PFAC，點P作PNOA交AC于點E，連PC，PEF和AEN都是等腰直角三角形，設(shè)P（m，m

22、2+2m+3），E（m，m+3），PEPNENm2+2m+3（m+3）m2+3m，ENm+3，AE，F(xiàn)E，CFACAEEF，當(dāng)COMPFC，解得m10，舍去，當(dāng)COMCFP時，解得m10（舍去），綜合可得P點的橫坐標為或12如圖1，將拋物線P1：y1x23右移m個單位長度得到新拋物線P2：y2a（x+h）2+k，拋物線P1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線P2與x軸交于A1，B1兩點，與y軸交于點C1（1）當(dāng)m1時，a，h1，k3；（2）在（1）的條件下，當(dāng)y1y20時，求x的取值范圍；（3）如圖2，過點C1作y軸的垂線，分別交拋物線P1，P2于D、E兩點，當(dāng)四邊形A1DEB是矩形時

23、，求m的值解：（1）拋物線P1：y1x23右移m個單位長度得到新拋物線解析式為：y2（xm）23y2a（x+h）2+k（xm）23又m1hm1故答案為：；1，3（2）當(dāng)y2（x1）230時，解得：x12，x24由圖象可知，當(dāng)2x4時，y20當(dāng)y1y2時， x23（x1）23解得：x，由圖象可知，當(dāng)x時，y1y2當(dāng)y1y20時，x的取值范圍是2x（3）當(dāng)y1x230時，解得：x±3A（3，0），OA3根據(jù)平移性質(zhì)得：AA1DC1m四邊形A1DEB是矩形A1DEDA1B90°四邊形A1DC1O是矩形OA1DC1mOAAA1+OA12m3m13已知：如圖，拋物線的頂點為A（0，2

24、），與x軸交于B（2，0）、C（2，0）兩點（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設(shè)點P是拋物線y上的一個動點，連接PO并延長至點Q，使OQ2OP若點Q正好落在該拋物線上，求點P的坐標；（3）設(shè)點P是拋物線y上的一個動點，連接PO并延長至點Q，使OQmOP（m為常數(shù)）；證明點Q一定落在拋物線上；設(shè)有一個邊長為m+1的正方形（其中m3），它的一組對邊垂直于x軸，另一組對邊垂直于y軸，并且該正方形四個頂點正好落在拋物線和組成的封閉圖形上，求線段PQ被該正方形的兩條邊截得線段長最大時點Q的坐標解：（1）由條件可設(shè)拋物線y1ax2+2，將C（2，0）代入可得拋物線；（2）如圖，作PEx軸，F(xiàn)Qx軸設(shè)點P（

25、t，），利用PEOOFQ可求得點Q（2t，t24）把Q（2t，t24）代入中，得：t24，3t26，（3）證明：設(shè)點P（t，），利用相似可求得點Q（mt，）將xmt代入中，得：點Q一定落在拋物線上；如圖所示正方形的邊長為m+1，由拋物線的對稱性可知正方形右邊兩個頂點橫坐標為，將x代入拋物線解析式可得兩點縱坐標分別為：和，m+1，解得：m3，正方形右邊兩個頂點橫坐標為，將x代入得：，正方形右下頂點的縱坐標為（）正方形右下頂點的坐標為（，），同理，正方形左下頂點的坐標為（，）設(shè)PQ與y軸所成的角為，當(dāng)PQ與正方形上下兩邊相交時，PQ被正方形上下兩邊所截線段的長，當(dāng)增大時，cos減小，增大，當(dāng)PQ經(jīng)

26、過正方形右下頂點時，最大，PQ被正方形上下兩邊所截線段最大，此時點Q與正方形右下或左下頂點重合；當(dāng)PQ與正方形上右兩邊（或上左兩邊）相交時，由圖形可知隨著的增大，PQ被正方形上下兩邊所截線段的長減小，綜上所述，當(dāng)點Q與正方形右下或左下頂點重合時，PQ被正方形上下兩邊所截線段最長，此時點Q的坐標為（，）或（，）14如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，6），并與x軸交于點B（1，0）和點C，頂點為點P（1）求這個二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)D為x軸上一點，滿足DPCBAC，求點D的坐標；（3）作直線AP，在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，在直線AP上是否存在點N，使AM+MN的值最??？若存在，求出M

27、、N的坐標：若不存在，請說明理由解：（1）將點A、B坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故：拋物線的表達式為：yx2x，令y0，則x1或3，令x0，則y，故點C坐標為（3，0），點P（1，2）；（2）過點B作BHAC交于點H，過點P作PGx軸交于點G，設(shè)：DPCBAC，由題意得：AB2，AC6，BC4，PC2，SABC×AC×BH×BC×yA，解得：BH2，sin，則tan，由題意得：GC2PG，故PCB45°，延長PC，過點D作DMPC交于點M，則MDMCx，在PMD中，tan，解得：x2，則CDx4，故點P（7，0）；（3）作點A關(guān)于對稱軸

28、的對稱點A（5，6），過點A作ANAP分別交對稱軸與點M、交AP于點N，此時AM+MN最小，直線AP表達式中的k值為：2，則直線AN表達式中的k值為，設(shè)直線AN的表達式為：yx+b，將點A坐標代入上式并求解得：b，故直線AN的表達式為：yx+，當(dāng)x1時，y4，故點M（1，4），同理直線AP的表達式為：y2x，聯(lián)立兩個方程并求解得：x，故點N（，）15在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點為A（1，4），且經(jīng)過點B（2，3），與x軸分別交于C、D兩點（點C在點D的左側(cè)）（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點M是拋物線上的一個動點，且在直線OB的上方，過點M作x軸的平行線與直線OB交于點

29、N，連接OM求MN的最大值；當(dāng)OMN為直角三角形時，直接寫出點M的坐標；（3）如圖2，過點A的直線交x軸于點E，且AEy軸，點P是拋物線上A、D之間的一個動點，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點當(dāng)點P運動時，EF+EG的和是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由解：（1）拋物線的頂點為A（1，4），設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為ya（x+1）2+4將B（2，3）代入ya（x+1）2+4，得：3a+4，解得：a1，拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y（x+1）2+4，即yx22x+3（2）設(shè)直線OB對應(yīng)的函數(shù)表達式為ykx（k0），將B（2，3）代入ykx，得：32k，解得：k，直線OB對應(yīng)的函數(shù)表達式為yx聯(lián)立直線OB和拋物線的函數(shù)表達式成方程組，得：，解得：，設(shè)點M的坐標為（m，m22m+3）（2m），則點N的坐標為（m2+m2，m22m+3），MNm（m2+m2）m2m+2（m+）2+0，當(dāng)m時，MN最大，最大值為MNx軸，ONM90°，分兩種情況考慮（如圖3所述）：（i）當(dāng)OMN90°時，線段OM在y軸上當(dāng)m0時，ym22m+33，點M的坐標為（0，3）；（ii）當(dāng)MON90°時，OMOB，點B的坐標為（2，3），點（3，2）在直線OM上，直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達式為yx