中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：二次函數(shù)

1、2019年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：二次函數(shù)1如圖，已知拋物線yx2xn（n0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（1）若AB4，求n的值；（2）如圖，若ABC為直角三角形，求n的值；（3）如圖，在（2）的條件下，若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）當(dāng)y0時(shí)， x2xn0，解得：x1，x2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）AB4，4，整理，得：9+8n16，解得：n（2）當(dāng)x0時(shí)，yx2xnn，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，n）ABC為直角三角形，ACB90

2、76;，ACO+BCO90°，CBO+BCO90°，ACOCBO又AOCCOB90°，AOCCOB，OAOBOC2，即n2，整理，得：n22n0，解得：n10（舍去），n22（3）由（2）可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），拋物線的對(duì)稱軸為直線x設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， m2m2），分兩種情況考慮，如圖2所示：若BC為邊，當(dāng)四邊形BCP1Q1為平行四邊形時(shí)，m40，解得：m，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)四邊形BCQ2P2為平行四邊形時(shí)，m40，解得：m，點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（，）若BC為對(duì)角線，設(shè)BC，P3Q3的交點(diǎn)為M，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3、4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），+m2×2，解得：m，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（，）綜上所述：存在以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），（，）或（，）2如圖，拋物線yax2+bx+5（a0）交直線ykx+n（k0）于A（1，1），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線AB交y軸于點(diǎn)D已知該拋物線的對(duì)稱軸為直線x（1）求a，b的值；（2）記直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，連結(jié)CE，CB若CEB的面積為，求k，n的值解：（1）由題意，得，解得，故所求a的值為1，b的值為5；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)B（m，m25m+5），過A作AGy軸于G，過B作BFx軸于F，

4、延長(zhǎng)GA交BF于HDGBF，即，DGm4，CDmSCEBSCDBSCDE，m2m×，解得m1（舍去），m26把A（1，1），B（6，11）代入ykx+n，得，解得故所求k的值為2，n的值為13如圖，已知直線2x+m與拋物線yax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上（1）求m的值；（2）求拋物線的解析式；（3）若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)ABP為直角三角形時(shí)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入y2x+m得：42+m，解得：m6；（2）y2x+6，令y0，則x3，故點(diǎn)B（3，0），則二次函數(shù)表達(dá)式為：ya（x1）2+4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0a（

5、31）2+4，解得：a1，故拋物線的表達(dá)式為：y（x1）2+4x2+2x+3；（3）當(dāng)ABP90°時(shí)，直線AB的表達(dá)式為：y2x+6，則直線PB的表達(dá)式中的k值為，設(shè)直線PB的表達(dá)式為：yx+b，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：03+b，解得：b，即直線PB的表達(dá)式為：yx，當(dāng)x1時(shí)，y1，即點(diǎn)P（1，1）；當(dāng)AP（P）B90°時(shí)，點(diǎn)P（1，0）；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（1，0）4在平面直角坐標(biāo)系xOy中拋物線yax2+bx+c（a0）與y軸交于點(diǎn)C（0，2），它的頂點(diǎn)為D（1，m）且tanCOD（1）求m的值及拋物線的表達(dá)式；（2）將此拋物線向上平移后與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與

6、y軸交于點(diǎn)B，且OAOB若點(diǎn)A是由原拋物線上的點(diǎn)E平移所得，求點(diǎn)E的坐標(biāo)解：（1）頂點(diǎn)為D（1，m），且tanCOD，則m3，則拋物線的表達(dá)式為：ya（x1）2+3，即：a+32，解得：a1，故拋物線的表達(dá)式為：yx2+2x+2；（2）設(shè)：拋物線向上平移n個(gè)單位，則函數(shù)表達(dá)式為：yx2+2x+2+n，令y0，則x1+，令x0，則y2+n，OAOB，1+2+n，解得：n1或2（舍去2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），故點(diǎn)E（3，1）5如圖，拋物線yax2bx+3交x軸于B（1，0），C（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于A點(diǎn)，連接AB，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P到直線AB的距離為時(shí)

7、，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）當(dāng)ACP和ABC的面積相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）用交點(diǎn)式拋物線表達(dá)式得：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即3a3，解得：a1，故拋物線的表達(dá)式為：yx24x+3，則點(diǎn)A（0，3）；（2）過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HGx軸交過點(diǎn)P平行于y軸的直線于點(diǎn)G，則ABOHPG，在AOB中，tanABO3tan，設(shè)PGn，則HG3n，PH，即：n2+9n2（）2，解得：n，則直線直線AB的表達(dá)式為：y3x+3，設(shè)點(diǎn)H（m，33m），則點(diǎn)P（m+，3m），將點(diǎn)P坐標(biāo)代入式并整理得：3m2+11m140，解得：m1或，故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：或；（3）參考（2）作P

8、GH，過點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M，ACP和ABC的面積相等，PHOM，OAOB，ACO45°，OM，即：PHOM，按照（2）的方法，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）6如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx+2與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D連接AB，點(diǎn)E是第二象限內(nèi)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)F（1）連接EA、EB，取線段AC的中點(diǎn)Q，當(dāng)EAB面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)R使得|RE一RQ|值最大，請(qǐng)求出R點(diǎn)的坐標(biāo)及|RERQ|的最大值；（2）如圖2，在（1）的條件下，將PED繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得EDP，當(dāng)APP是以AP為直角邊的直角三角形時(shí)

9、，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）y0時(shí)，x2x+20，解得：x13，x21B（3，0），C（1，0）x0時(shí)，y2，A（0，2）設(shè)直線AB的解析式為ykx+b 解得：直線AB的解析式為：yx+2設(shè)點(diǎn)E（e，e2e+2），則點(diǎn)F（e， e+2）EFe2e+2（e+2）e22eSEABOBEF×3（e22e）e23e（e+）2+3e0當(dāng)e時(shí)，EAB的面積最大，e2e+2此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）如圖1，連接并延長(zhǎng)EQ，交x軸于點(diǎn)R，則此時(shí)|RERQ|EQ值最大Q是AC中點(diǎn)Q（，1）設(shè)直線EQ解析式為：yax+c 解得：直線EQ解析式為：yx+當(dāng)y0時(shí)， x+0，解得：xR（，0）此時(shí)|RERQ|的最大值

10、EQ（2）設(shè)點(diǎn)P'坐標(biāo)為（m，n）EPx軸，E（，）P（，0），EP，APi）當(dāng)P'PA90°時(shí)，如圖2，過點(diǎn)P'作P'Mx軸于點(diǎn)M，P'MPPOA90°，PP'M+P'PMP'PM+APO90°PP'MAPOPP'MAPO 即：整理得：4n+3mEP'EP（m+）2+（n）2（）2聯(lián)立解方程組得：（舍去）P'（，）ii）當(dāng)PAP'90°時(shí)，如圖3，過點(diǎn)P'作P'Ny軸于點(diǎn)N，由P'ANAPO得 即：整理得：3m+4n8EP&#

11、39;EP（m+）2+（n）2（）2聯(lián)立解方程組得： P'（，）或（，）綜上所述，當(dāng)APP是以AP為直角邊的直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）7如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線yx2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線yx3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)C作直線CDy軸交拋物線于另一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEx軸于點(diǎn)E，連接BD，求tanBDE的值 （1）解：直線yx3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，B（3，0），C（0，3），yx2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，解得，故拋物線的解析式為yx22x3；（2）解：如圖，過點(diǎn)C作直線CDy軸交拋物線于點(diǎn)D，過

12、點(diǎn)D作DEx軸于點(diǎn)E，連接BD，拋物線yx22x3的對(duì)稱軸是直線x1，C（0，3）D（2，3）從而得CDOE2，DE3B（3，0），BE1在RtDEB中，DEB90°tanBDE8如圖，對(duì)稱軸為直線x1的拋物線yx2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C為拋物線與y軸的交點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且SPOC2SBOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為x1，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：解得：b2，c3，拋物線的解析式為yx2+2x3（2）將x0代yx2+2x3入，得y3，點(diǎn)

13、C的坐標(biāo)為（0，3）OC3點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OB1設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2+2a3），則點(diǎn)P到OC的距離為|a|SPOC4SBOC，OC|a|OCOB，即×3×|a|2××3×1，解得a±2當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）；當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）或（2，3）9定義：若拋物線的頂點(diǎn)和與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形為等邊三角形時(shí)則稱此拋物線為正拋物線概念理解：（1）如圖，在ABC中，BAC90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)試證明：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線；問題探究：（2）

14、已知一條拋物線經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；應(yīng)用拓展：（3）將拋物線y1x2+2x+9向下平移9個(gè)單位后得新的拋物線y2拋物線y2的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N（M在N左側(cè)），把PMN沿x軸正半軸無滑動(dòng)翻滾，當(dāng)邊PN與x軸重合時(shí)記為第1次翻滾，當(dāng)邊PM與x軸重合時(shí)記為第2次翻滾，依此類推，請(qǐng)求出當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)解：（1）證明：BAC90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)ADBDCDBC拋物線以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)ADACADACCDACD是等邊三角形以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、

15、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線（2）E（1，0）且EF2，點(diǎn)F在x軸上且E在F的左邊F（3，0）一條經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F的拋物線為正拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為GEFG是等邊三角形xG，|yG|當(dāng)G（2，）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為ya（x2）2+把點(diǎn)E（1，0）代入得：a+0ay（x2）2+當(dāng)G（2，）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為ya（x2）2把點(diǎn)E（1，0）代入得：a0ay（x2）2綜上所述，這條拋物線的解析式為y（x2）2+或y（x2）2（3）拋物線y1x2+2x+9（x）2+12y1向下平移9個(gè)單位后得拋物線y2（x）2+3P（，3），M（0，0），N（2，0）PMMNPN2PMN是等邊三角形第一次翻滾頂點(diǎn)P的坐標(biāo)變

16、為P1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）即每翻滾3次為一個(gè)周期，當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為： +n×2（2n+1）2019÷3673（2×2019+1）×4039當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）10如圖，直線l：y3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線yax22ax3a（a0）經(jīng)過點(diǎn)B（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S

17、的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l，當(dāng)直線l與直線AM重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l與線段BM交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M到直線l的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l旋轉(zhuǎn)的角度（即BAC的度數(shù)）解：（1）令x0代入y3x+3，y3，B（0，3），把B（0，3）代入yax22ax3a，33a，a1，二次函數(shù)解析式為：yx2+2x+3；（2）令y0代入yx2+2x+3，0x2+2x+3，x1或3，拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1和3，M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，0m3，令y0代入y3x+3，x1，A的坐標(biāo)

18、為（1，0），由題意知：M的坐標(biāo)為（m，m2+2m+3），SS四邊形OAMBSAOBSOBM+SOAMSAOB×m×3+×1×（m2+2m+3）×1×3（m）2+，當(dāng)m時(shí)，S取得最大值（3）由（2）可知：M的坐標(biāo)為（，）；過點(diǎn)M作直線l1l，過點(diǎn)B作BFl1于點(diǎn)F，根據(jù)題意知：d1+d2BF，此時(shí)只要求出BF的最大值即可，BFM90°，點(diǎn)F在以BM為直徑的圓上，設(shè)直線AM與該圓相交于點(diǎn)H，點(diǎn)C在線段BM上，F(xiàn)在優(yōu)弧上，當(dāng)F與M重合時(shí)，BF可取得最大值，此時(shí)BMl1，A（1，0），B（0，3），M（，），由勾股定理可求得：AB

19、，MB，MA，過點(diǎn)M作MGAB于點(diǎn)G，設(shè)BGx，由勾股定理可得：MB2BG2MA2AG2，（x）2x2，x，cosMBG，l1l，BCA90°，BAC45°；方法二：過B點(diǎn)作BD垂直于l于D點(diǎn)，過M點(diǎn)作ME垂直于l于E點(diǎn)，則BDd1，MEd2，SABM×AC×（d1+d2）當(dāng)d1+d2取得最大值時(shí)，AC應(yīng)該取得最小值，當(dāng)ACBM時(shí)取得最小值根據(jù)B（0，3）和M（，）可得BM，SABM×AC×BM，AC，當(dāng)ACBM時(shí)，cosBAC，BAC45°11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)

20、B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是C，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，平移線段AC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在二次函數(shù)在第四象限的圖象上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在直線AB上，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CD，交CD軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFAC，垂足為點(diǎn)F，連接PC，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與COM相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：一次函數(shù)yx3的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，A（3，0），B（0，3），點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是C，C（0，3），二次函數(shù)yx2+bx+

21、c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)C，b2，c3，二次函數(shù)的解析式為：yx2+2x+3（2）A（3，0），C（0，3），平移線段AC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，設(shè)E（m，m3），則D（m+3，m6），D落在二次函數(shù)在第四象限的圖象上，（m+3）2+2（m+3）+3m6，m11，m26（舍去），D（4，5），（3）C（0，3），D（4，5），解得，直線CD的解析式為y2x+3，令y0，則x，M（，0），一次函數(shù)yx3的圖象與x軸交于A（3，0），C （0，3），AO3，OC3，OAC45°，過點(diǎn)P作PFAC，點(diǎn)P作PNOA交AC于點(diǎn)E，連PC，PEF和AEN都是等腰直角三角形，設(shè)P（m，m

22、2+2m+3），E（m，m+3），PEPNENm2+2m+3（m+3）m2+3m，ENm+3，AE，F(xiàn)E，CFACAEEF，當(dāng)COMPFC，解得m10，舍去，當(dāng)COMCFP時(shí)，解得m10（舍去），綜合可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或12如圖1，將拋物線P1：y1x23右移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線P2：y2a（x+h）2+k，拋物線P1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線P2與x軸交于A1，B1兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C1（1）當(dāng)m1時(shí)，a，h1，k3；（2）在（1）的條件下，當(dāng)y1y20時(shí)，求x的取值范圍；（3）如圖2，過點(diǎn)C1作y軸的垂線，分別交拋物線P1，P2于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形A1DEB是矩形時(shí)

23、，求m的值解：（1）拋物線P1：y1x23右移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線解析式為：y2（xm）23y2a（x+h）2+k（xm）23又m1hm1故答案為：；1，3（2）當(dāng)y2（x1）230時(shí)，解得：x12，x24由圖象可知，當(dāng)2x4時(shí)，y20當(dāng)y1y2時(shí)， x23（x1）23解得：x，由圖象可知，當(dāng)x時(shí)，y1y2當(dāng)y1y20時(shí)，x的取值范圍是2x（3）當(dāng)y1x230時(shí)，解得：x±3A（3，0），OA3根據(jù)平移性質(zhì)得：AA1DC1m四邊形A1DEB是矩形A1DEDA1B90°四邊形A1DC1O是矩形OA1DC1mOAAA1+OA12m3m13已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（0，2

24、），與x軸交于B（2，0）、C（2，0）兩點(diǎn)（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線y上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使OQ2OP若點(diǎn)Q正好落在該拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線y上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使OQmOP（m為常數(shù)）；證明點(diǎn)Q一定落在拋物線上；設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為m+1的正方形（其中m3），它的一組對(duì)邊垂直于x軸，另一組對(duì)邊垂直于y軸，并且該正方形四個(gè)頂點(diǎn)正好落在拋物線和組成的封閉圖形上，求線段PQ被該正方形的兩條邊截得線段長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：（1）由條件可設(shè)拋物線y1ax2+2，將C（2，0）代入可得拋物線；（2）如圖，作PEx軸，F(xiàn)Qx軸設(shè)點(diǎn)P（

25、t，），利用PEOOFQ可求得點(diǎn)Q（2t，t24）把Q（2t，t24）代入中，得：t24，3t26，（3）證明：設(shè)點(diǎn)P（t，），利用相似可求得點(diǎn)Q（mt，）將xmt代入中，得：點(diǎn)Q一定落在拋物線上；如圖所示正方形的邊長(zhǎng)為m+1，由拋物線的對(duì)稱性可知正方形右邊兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將x代入拋物線解析式可得兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為：和，m+1，解得：m3，正方形右邊兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將x代入得：，正方形右下頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）正方形右下頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），同理，正方形左下頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）設(shè)PQ與y軸所成的角為，當(dāng)PQ與正方形上下兩邊相交時(shí)，PQ被正方形上下兩邊所截線段的長(zhǎng)，當(dāng)增大時(shí)，cos減小，增大，當(dāng)PQ經(jīng)

26、過正方形右下頂點(diǎn)時(shí)，最大，PQ被正方形上下兩邊所截線段最大，此時(shí)點(diǎn)Q與正方形右下或左下頂點(diǎn)重合；當(dāng)PQ與正方形上右兩邊（或上左兩邊）相交時(shí)，由圖形可知隨著的增大，PQ被正方形上下兩邊所截線段的長(zhǎng)減小，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q與正方形右下或左下頂點(diǎn)重合時(shí)，PQ被正方形上下兩邊所截線段最長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）14如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P（1）求這個(gè)二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)D為x軸上一點(diǎn)，滿足DPCBAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）作直線AP，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，在直線AP上是否存在點(diǎn)N，使AM+MN的值最?。咳舸嬖冢蟪鯩

27、、N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故：拋物線的表達(dá)式為：yx2x，令y0，則x1或3，令x0，則y，故點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（1，2）；（2）過點(diǎn)B作BHAC交于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PGx軸交于點(diǎn)G，設(shè)：DPCBAC，由題意得：AB2，AC6，BC4，PC2，SABC×AC×BH×BC×yA，解得：BH2，sin，則tan，由題意得：GC2PG，故PCB45°，延長(zhǎng)PC，過點(diǎn)D作DMPC交于點(diǎn)M，則MDMCx，在PMD中，tan，解得：x2，則CDx4，故點(diǎn)P（7，0）；（3）作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸

28、的對(duì)稱點(diǎn)A（5，6），過點(diǎn)A作ANAP分別交對(duì)稱軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N，此時(shí)AM+MN最小，直線AP表達(dá)式中的k值為：2，則直線AN表達(dá)式中的k值為，設(shè)直線AN的表達(dá)式為：yx+b，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并求解得：b，故直線AN的表達(dá)式為：yx+，當(dāng)x1時(shí)，y4，故點(diǎn)M（1，4），同理直線AP的表達(dá)式為：y2x，聯(lián)立兩個(gè)方程并求解得：x，故點(diǎn)N（，）15在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），且經(jīng)過點(diǎn)B（2，3），與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線OB的上方，過點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)

29、N，連接OM求MN的最大值；當(dāng)OMN為直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，過點(diǎn)A的直線交x軸于點(diǎn)E，且AEy軸，點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG的和是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為ya（x+1）2+4將B（2，3）代入ya（x+1）2+4，得：3a+4，解得：a1，拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y（x+1）2+4，即yx22x+3（2）設(shè)直線OB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為ykx（k0），將B（2，3）代入ykx，得：32k，解得：k，直線OB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yx聯(lián)立直線OB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組，得：，解得：，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m22m+3）（2m），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m2+m2，m22m+3），MNm（m2+m2）m2m+2（m+）2+0，當(dāng)m時(shí)，MN最大，最大值為MNx軸，ONM90°，分兩種情況考慮（如圖3所述）：（i）當(dāng)OMN90°時(shí)，線段OM在y軸上當(dāng)m0時(shí)，ym22m+33，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（ii）當(dāng)MON90°時(shí)，OMOB，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)（3，2）在直線OM上，直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yx