八年級數(shù)學培優(yōu)——正方形(共9頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第22講 正方形考點·方法·破譯1有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形，即鄰邊相等的矩形或有一個角為直角的菱 形叫正方形2熟練掌握正方形的性質，并能在解決問題時將正方形與等腰直角三角形進行替換思考3掌握正方形的判斷方法，并應用它的對稱性質解決問題經典考題賞析ABDOCE【例1】如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是BD延長線上的點，且ACE是等邊三角形求證：四邊形ABCD是菱形；若AED2EAD，求證：四邊形ABCD是正方形 【變式題組】01如圖，已知正方形ABCD的對角線AC和BD相交于O，點M、N分別在OA

2、、OD上,且MNAD探究：線段DM和CN之間的數(shù)童關系，寫出結論并給出證明MADNCBOEADFCBP02如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上的點，PEAB，PFBC，E、F是垂足，問PD與EF有怎樣的關系？ 請說明理由03如圖，將正方形ABCD中的ABD繞對稱中心O旋轉至GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N請猜想BM與FN有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論GFCBADEMON04把一個正方形分成面積相等的四個三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四個三角形外，你還能用三種不同的方法將正方形分成面積相等的四個三角形嗎？請分別畫出示意圖EGDFCBOA【例2】如圖，正方形ABCD繞點

3、A逆時針旋轉n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點O以圖中已標有字母的點為端點連接兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連接的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為cm2，求旋轉的角度.【變式題組】01如圖，邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞點A順時針旋轉45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是02我們給定兩個全等的正方形ABCD、AEFG它們共頂點A(如圖1)，可以繞頂點A旋轉， CD、EF相交于點P連接BE、DG（如圖2），求證：BEDG，BEDG連接BG、CF(如圖

4、)，求證：BGCF【例3】數(shù)學課上，張老師提出了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊的中點AEF90°，且EF交正方形外角DCG的平分線CF于點F，求證：AEEF經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則似AMEC，易證AMEECF，所以AEEF 在此基礎上，同學們進一步的研究：小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B、C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“AEEF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2）小華提出：如圖3，點E是邊BC的延長線上(除C點外)的

5、任意一點，其他條件不變，結論“AEEF”仍然成立你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由【變式題組】01如圖，已知正方形ABCD在直線MN上方，BC在直線MN上；E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG連接GD，求證：ADGABE；連接FC，觀察并猜測FCN的度數(shù)，并說明理由02如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的點，且AE丄EF延長EF交正方形外角平分線CP于點P，試判斷AE與EP的大小關系，并說明理由；在AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由【例4】已知：正方形AB

6、CD中，MAN45°，MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別CB、DC(或它們的延長線)點M、N當MAN繞點A旋轉到BMDN時（如圖1），易證BMDNMN當MAN繞點A旋轉到BNDN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并加以證明；當MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想并 明圖1圖2圖3【變式題組】01如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E、F移動過程中： EAF的大小是否有變化？請說明理由； ECF的周長是否有變化？請說明理由02如圖，有四個

7、動點P、Q、E、F分別從邊長為1的正方形ABCD的四個頂點出發(fā)，沿AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點移動試判斷四邊形PQEF的形狀，并證明；PE是否總過某一定點，并說明理由；四邊形PQEF的頂點位于何處時，其面積最小和最大？各是多少？03在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點現(xiàn)將正方形OABC繞點O順時針旋轉，當A點第一次落在直線yx上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線yx于點M，BC邊交x軸于點N(如圖)旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數(shù)；設MBN的周長為p，在正方形OABC旋轉的過程中，

8、p值是否有變化？請證明你的結論【例5】小杰和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到了這樣一道題：“已知正方形ABCD，點E、F、G、H只分別在AB、BC、CD、DA上，若EG丄FH，則GEFH”經過思考，大家給出了以下兩個方案：(甲）過點A做AMHF交BC于點M，過點B作BNEG交CD于點N；(乙）過點A做AMHF交BC于點M，作ANEG交CD的延長線于點N；小杰和他的同學順利的解決了該題后，人家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；如果把條件中的“EG丄HF”改為“EG與HF的夾角為45°”，并假設正方形

9、ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為(如圖2)，試求EG的長度【變式題組】01若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，BE3，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BFAE，則BM的長為 02如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE1以點A為中心，把ADE順時針旋轉 90°，得ADE'，連接EE'，則EE'的長等于 03已知正方形ABCD中,點E在邊DC上，DE2，EC1(如圖所示)把線段AE繞點A旋轉，使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為 04小明嘗試著將矩形紙片ABCD(如圖，ADCD)沿過A點的直線折疊，使得

10、B點落在AD邊上的點F處,折痕為(如圖)；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG(如圖)如果第二次折疊后，M點正好在NDG的平分線上，矩形ABCD長與寬的比值為 05平面內有一等腰直角三角板（ACB90°）和一直線MN過點C作以CE丄MN于點E，過點B作BF丄MN于點F當點E與A重合時（如圖1），易證：AFBF2CE當三角板繞點A順時針旋轉至圖2、圖3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關系，清直接寫出你的猜想，并證明演練鞏固·反饋提高01順次連接菱形各邊中點所

11、得的四邊形一定是（ ）A等腰梯形 B正方形 C平行四邊形 D矩形02如圖，將n個邊長為1cm瓜的正方形按如圖所示的方法擺放，點A1，A2，An分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積為（ ）Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm203如圖，把一個長為m、寬為n的長方形（mn）沿虛線剪開，并拼成圖，成為在一角去掉一個小正方形后的一個大正方形，則去掉的小正方形的邊長為（ ）A Bmn C D04如圖，四邊形ABCD中，ABBC，ABCCDA90°，BE丄AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8， 則BE（ ）A2 BC3 D05如圖所示，正方形ABCD的面積為12，A

12、BE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC 有一點P，使PDPE的和最小，則這個最小值為（ ）A BC3 D06如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，E、F分別是BC、CD的中點，連接BF、DE，則圖中陰影部分的面積是 cm207如圖，四邊形ABCD是正方形，直線l1、l2、l3分別經過A、B、C三點，且l1l2l3，若l1與l2的距離為a，l2與l3的距離為b，則正方形ABCD的面積是 08如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線八AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點 A恰好與BD上的點F重合展開后，折痕DE分別交AB、AC于點E、G連接GF下列結論：ADG

13、1125°；AD2AE；SACG SOCD；四邊形AEFG是菱形；BE2OG，其中正確的結論序號是 09如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點，將紙片的一角沿過點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A，折痕交AD于點E，若M、N分別是AD、BC邊的中點，則AN ，若M、N分別是AD、BC邊上的距DC最近的n等分點（n2，且n為整數(shù)），則AN （用含有n的式子表示）10如圖1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，HAEBFCGD，連接EG、FH，交點為O如圖2，連接EF、FG、HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；將正方形ABCD沿線段EG、HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形，若正方形ABCD的邊長為3 cm，HAEBFCGD1cm，則圖3中陰影部分的面積為 cm211如圖，ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MNBC，設MN交BCA的平分線于點E， 交BCA的外角平分線于F探究線段OE與OF的數(shù)量關系并證明；當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；當點O運動到何處時，且ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？12如圖1，若四邊形ABCD、四邊形GFED