2020屆二輪復習第3招圖形向量當中畫幾何建系基底忙學案(江蘇專用)

1、圖形向量當中畫，幾何建系基底忙平面向量的考查重點為平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要條件、平面向量加減法及其幾何意義、實數(shù)與向量積的運算概念及運算性質(zhì)、平面向量基本定理、平面向量的坐標運算， 特別是平面向量平行與垂直的充要條件、運用平面向量的加減法、 實數(shù)與向量數(shù)量積及平面向量基本定理將未知向量用已知向量表示出來（基底法）、建立平面直角坐標系（建系法） 是考查的重點中的重點， 往往和解析幾何結(jié)合出題，三角函數(shù)等結(jié)合出 題，而對向量的數(shù)量積及運算律的考查多為填空題；平面向量的數(shù)量積作為C級考點，是高考中的必考點，考查題型中填空題、解答題都有涉及，分值在1015分左右，難度低，中檔題題

2、為主.平面向量的數(shù)量積有兩種不同的計算公式，運用時要根據(jù)實際情況來選擇，在 幾何圖形中如三角形和四邊形中研究向量的數(shù)量積問題時，可以選擇建立坐標系，也可以選擇用基底向量進行計算.本文就高考中數(shù)量積常用的兩種方法基底法和建系法進行講解以饗 讀者！一、基底法在平面向量中的運用（巧用基底）用基底法解決問題的一般思路是：當向量的?；驃A角不明確， 且建立直角坐標系后， 相關的點坐標不容易求出，此時，先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的 形式，再通過向量的運算來解決 .選擇的基底不同，往往決定了解決問題的繁瑣程度，因此 基底法的關鍵是選擇合適的基底，通常從條件中、問題中、圖形中、或從給定模

3、長的向量等幾個方面中選取一組基底，從而建立代數(shù)式或者方程來解決問題1.三角形在三角形中，我們一般選擇用一個頂點出發(fā)的兩條鄰邊所在直線上的向量為基底進行向 量的分解，并盡量把基向量放置已知的角或者已知的邊上12【2013江蘇，10】設D,E分別是AABC的邊AB,BC上的點，AD二AB, BE = -BC . 23T T T若DE = A AB +九2 AC （ %, %為實數(shù)），則%+%的值為.分析：本題的關鍵是將 DE用AB,AC表示出來，利用待定系數(shù)法得出入, %的值【答案】-21 2 r AB (AC - AB)23【解析】.在 AABC 中，DE=dB + BE =1 AB +-BC

4、231 T 2 T12=AB+ AC AB +hAC，九i =,12 =一.6363【2016江蘇，13如圖，在AABC中，D是BC的中點，E,F是AD上的兩個三等分點,r TT T TBC CA = 4 , BF CF = 1,則 BE CE 的值是分析：本題選取了以 DF,DB為基底，將條件中出現(xiàn)的 4個向量均用基底表示出來，列出方 程組，得到基底向量的模長， 再將問題中的2個向量用基底表示出來 ，從而進彳T求解.當然、人口生仃#T一心曰，- + BL j上這個題也可以選取其它基底，例如：AB,AC向量為基底也可以求解，有興趣的同學可以試試看!【答案】-8【解析】令 DF=a,DB=b,則

5、 DC = b,DE=2W,DA =3：,則 或=3?_b,CA=32+匕UK-icEW b,BF=a.b,cF=a +b ,2.2 一則 BA CAu9a -b ,BF _ 2.2 ,_22 2CF =a -b ,BE CE =4a -b ,由 BCCA=4,BF CF1242*22=1 可得 9a -b =4,a -b =一1,2 25 2因此a = 一，b8138，-4 T -2 24 5137因此 BE CE =4a -b =U _13 7L888總結(jié)：有時候基底的選擇不唯一，上述例題給出了常見選擇基底的常見方法和類型2.四邊形在四邊形中，無論是平行四邊形還是其他四邊形，一般地，我們選

6、用一個頂點出發(fā)的兩條鄰邊所在直線上的向量為基底進行向量的分解【2014江蘇，12如圖，在平行四邊形ABCD中，已知 AB =8,AD = 5 , cp=3pD,ap bP = 2,則 AB AD 的值是B分析：本題主要考查向量，向量的基底表示，向量的運算，本題關鍵在于選取哪兩個向量為基底，根據(jù)題目中已知的兩條邊長，選為基底最為合適【答案】22【解析】以 AB,AD為基底，因為 CP=3PD,AP EP=2,i 3 二AP =AD +DP =AD+AB , BP = BC+CP = AD - AB 44用 1 一 一 3一、 一2 13 一2則 AP BP =2 =(AD AB) (AD AB)

7、 = AD AD AB AB 4421631 一因為 AB =8, AD =5 則 2 =25 64AB AD ,故 AB AD =22162二、建（立平面直角坐標）系法在平面向量中的運用（妙用建系）圖形特殊可建系所謂的特殊圖形指的是一些規(guī)則圖形，如三角形（等腰三角形、等邊三角形、直角三角 形、等腰直角三角形等）、四邊形（平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、直角梯 形等）、扇形和圓形等，當我們見到這樣一些特殊圖形的時候可以嘗試這去建立平面直角坐 標系的方法解決.建系法的關鍵在于選才i合適的原點和x軸，原點和x軸的選取不同，也決定了計算的繁簡程度.下面就不同類型的圖形應當選擇什么為原點和坐

8、標軸可以簡化計算進 行舉例說明.等邊三角形1.12017課標II ,理12已知 MBC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則 T T PA （PB + PC）的最小是 .【解析】對于等邊三角形通常以三角形其中的一條邊為x軸，這邊上的中點為原點建立平面直角坐標系.如果是等腰三角形則通常以底邊為x軸，底邊上的中點為原點建立平面直角坐以BC為x軸，BC的垂直平分線 AD為y軸，D為坐標原點建立坐標，則 A(0, J3),PC“x,y),所以 PB + PCB(-1,0 ),C(1,0),設 P(x,y),所以 PA=(-xj3-y), PB=(-1-x,-y)-2x, -2y , PA P

9、B PC =2x2 -2y、.3 - y 二3 ，一一 3一,當P 0,時，所求的取小值為2-等腰直角三角形 2.【2015年高考模擬(南通市數(shù)學學科基地命題)(4)】在RtAABC中，CA=CB=2, M ,N是斜邊AB上的兩個動點，且 MN =J2,則CM CN的取值范圍為分析：對于直角三角形通常以直角頂點為原點，其中的一條直角邊為 x軸建立平面直角坐標系.【答案】-,2 ,2【解析】以 CA、CB所在直線為 x , y軸，建立平面直角坐標系，設x + y =2, y =2 -x,即 M (x,2 -x),又 MN =J2,所以點 N 的坐標為(x + 1,2 x 1),即 N(x+1,1

10、x),于CM CN=x x 12-x 1-x =2x2-2x 2=2x23+ -(0x1),所以1x = 一時,2IIIIIICM CN取最小值3, x=0或i時，CM CN取最大值2,因此CM CN的 2取值范圍為2,2扇形3.（2015徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，半徑為2的扇形的圓心角為120, M , N分別為線段OP, OQ的中點，A為弧PQ上任意一點，則 AM，AN的取值范圍是22if【解析】對于扇形和圓形通常以圓心為原點，其中的一條半徑為x軸建立平面直角坐標系.如圖，以點O為坐標原點，OQ所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則 MN(1,0 ),由題意可設點 A(2cos8,2si

11、n9 ),其中 0 Mle M所以AM =c”向1 一 ， 八 一-2cos9,2sinH , AN =(1 -2cos6,-2sin6 ),2 )所以AM AN二1 一一-2cos” J1 -2cos -尸2-2sin V I. 2 sin -2- cos- - - 3 sin 22 =- -2cos 8 -一JT,所以_一 a 一4一,1 匚 n 1 八 ,1 冗、，3 7c J n、 5所以Co cos 0 I E1 , 2 E 2 cos 0 11 1 , W 2 cos 0 | E ,23J3J 2 2131 2即AM AN的取值范圍是 3 - 1一22（三）基底、建系齊頭并進其實很

12、多能用基底法解決的數(shù)量積問題如果能夠合理建系，利用坐標求數(shù)量積，也不失為一種好辦法.我們仔細揣摩，不難發(fā)現(xiàn)，其實建系法不過是基底法的特殊化，有時一個向 量問題既可以用基底法解決也可以用建系法解決1.12012江蘇，9如圖，在矩形 ABCD中，AB=J2, BC =2,點E為BC的中點，點F 在邊CD上，若aB，aF = v12 ,則aE BF的值是.D F C分析：建立以AB, AD為坐標軸的直角坐標系，求出各點坐標后求解【答案】2解法一：: B(.、2,0), E(、.2,1),F(x,2),C(、,2,2) . AB -(,2,0), Af -(x,2), AB 7f =,5x =、2,解得 x=1.F(1,2),AE =(、.2l),BF =(1-.2,2) .AE BF = J2分析根據(jù)所給的圖形， 把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，作出要用的向量的模長的數(shù)量積，注意應用垂直的向量數(shù)量積等于0,得到結(jié)果解法二:A AF =AD +DF ,AB AF =AB (AD DF 戶 AB AD AB DF= x/2|df = 72AE BF = AB BE BC CF = AB CF BE BC = 2