萬有引力與航天專題復(fù)習(xí)

1、專題：萬有引力與航天一、 開普勒行星運(yùn)動定律（1） 所有的行星圍繞太陽運(yùn)動的軌道是 ,太陽處在_上，這就是開普勒第一定律，又稱橢圓 軌道定律。（2） 對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的.這就是開普勒第二定律，又稱面積定律。（3） 所有行星軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值_。這就是開普勒第三定律，又 稱周期定律。若用R表示橢圓軌道的半長軸，R 2T表示公轉(zhuǎn)周期，則 R2 =k （k是一個與行星無關(guān)的量）。T2二萬有引力定律1 .內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與 成正比，與它們之間成反比.2. 公式：F=，其中G=Nm2/kg2,叫引力常量.

2、3. 適用條件：公式適用于 間的相互作用當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)；均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是間的距離；一個均勻球體與球外一個質(zhì)點(diǎn)的萬有引力也適用，其中 r為球心到 間的距離.【例】1、（2009 浙江高考）在討論地球潮汐成因時(shí)，地球繞太陽運(yùn)行軌道與月球繞地球運(yùn)行軌道可視為圓軌道.已知太陽質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7 x 107倍，地球繞太陽運(yùn)行的軌道半徑約為月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑的400倍關(guān)于太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說法正確的是（）A. 太陽引力遠(yuǎn)大于月球引力B.太陽引力與月球引力相差不大C.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等D.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水

3、的吸引力大小有差異2、我國研制并成功發(fā)射的“嫦娥二號”探測衛(wèi)星，在距月球表面高度為h的軌道上做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行的周期為T。若以R表示月球的半徑，則A.衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的向心加速度為4 nRB.衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的線速度為C.物體在月球表面自由下落的加速度為D .月球的第一宇宙速度為2n.' R (R h)3TR三、人造衛(wèi)星1、三種宇宙速度宇宙 速度數(shù)值(km/s)意義第一宇 宙速度7.9衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動的最小發(fā)射速度（最大環(huán)繞速度）.若7.9 km/s <v<11.2 km/s，物體繞運(yùn)行（環(huán)繞速度）w R第二宇 宙速度11.2物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度.若11.2 km/

4、s < v<16.7 km/s ,物體繞運(yùn)行（脫離速度）v2 = 2GM =屈R第三宇 宙速度16.7物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.若v > 16.7 km/s，物體將脫離在于宙空間運(yùn)行（逃逸速度）補(bǔ)充：第一宇宙速度的理解和推導(dǎo)根據(jù)論述可推導(dǎo)如下： G=m乞，v1RR2V1VGM=7.9km/S 或叫咱,V1“麗 6km/s1 由于在人造衛(wèi)星的發(fā)射過程中，火箭要克服地球的引力做功，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道， 在地面上所需的發(fā)射速度就越大，故人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度對應(yīng)將衛(wèi)星發(fā)射到近地表面運(yùn)行，此時(shí)發(fā)射 時(shí)的動能全部轉(zhuǎn)化為繞行的動能而不需要重力勢能。其他天體的第一宇

5、宙速度可參照此方法推導(dǎo)，V1二g'R'注意（1）三個宇宙速度指的是發(fā)射速度，不能理解成運(yùn)行速度。（2）第一宇宙速度既是最小發(fā)射速度，又是最大運(yùn)行速度1【例】1、某星球質(zhì)量是地球質(zhì)量的 2倍，半徑是地球半徑的-，在該星球上發(fā)射衛(wèi)星，其第一宇宙速度是 多少？2、如圖是“嫦娥一號”奔月示意圖,衛(wèi)星發(fā)射后通過自帶的小型火箭多次變軌,進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開展對月球的探測下列說法正確的是A. 發(fā)射“嫦娥一號”的速度必須達(dá)到第三宇宙速度B. 在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān)C. 衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D. 在繞月圓軌道上，衛(wèi)星受

6、地球的引力大于受月球的引力2. 近地衛(wèi)星所謂近地衛(wèi)星，是指衛(wèi)星的運(yùn)行軌道半徑等于地球的半徑，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供。它的運(yùn)行速度為第一宇宙速度，也是衛(wèi)星的最大 的速度。3、同步衛(wèi)星（1） 軌道平面一定：軌道平面與 共面.（2） 周期一定：與 周期相同，即T= 24 h.（3） 角速度一定：與 的角速度相同.(4)Mm 4n （R+ h）得同步衛(wèi)星離地面的高度h= /R 7.56 x 107m(5)高度一定：由速率一定：v =(6)向心加速度大小一定an - v =:汀 R+h)【例】據(jù)報(bào)道，我國數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星“天鏈一號01星”于2008年4月25日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，經(jīng)

7、過4次變軌控制后，于5月1日成功定點(diǎn)在東經(jīng) 77°赤道上空的同步軌道. 關(guān)于成功定點(diǎn)后的“天鏈 號01星”,下列說法正確的是()A. 運(yùn)行速度大于 7.9 km/sB. 離地面高度一定，相對地面靜止C. 繞地球運(yùn)行的角速度比月球繞地球運(yùn)行的角速度大D. 向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度大小相等4、天體(如衛(wèi)星)運(yùn)動的線速度、角速度、周期與軌道半徑r的關(guān)系由gMIr2v=m 得 V =r,所以r越大，vr和周期T,4n 2r3gT .可得天體質(zhì)量為：M該中心天體密度為:Mp = VVM 3 n r3(R為中心天體的半徑)當(dāng)衛(wèi)星沿中心天體表面運(yùn)行時(shí),(2)利用天體表面的重力加速度

8、,十 Mm，十八十冃由于GRr = mg故天體質(zhì)量M M天體密度 p =-V 43-“ R【例】天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星. 知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的周期約為 1.4 平均密度約為()3333A. 1.8 x 10 kg/m B. 5.6 x 10 kg/m 考向二：衛(wèi)星的運(yùn)行和變軌問題g和天體半徑gR2* E，3g3 np = GT2.R.4 n GR這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍.已小時(shí)，引力常量 G= 6.67 x 1011Nm2/kg2,由此估算該行星的43C . 1.1 x 10 kg/m43D . 2.9 x 10 kg/m 由Gumer得灼=，所以r

9、越大，r 由GMm =m()1 2r得T=，所以r越大，TrT萬有引力定律應(yīng)用的基本方法：(1)把天體的運(yùn)動看成勻速圓周運(yùn)動，所需向心力由萬有引力提供.“萬能”連等式：Mmv222 n 22Gt2 - msn=mr - mw r -丁)r - n(2 n f) r(2)不考慮中心天體的自轉(zhuǎn)。黃金代換式：R2考向一：天體的質(zhì)量 M密度p的估算(1)測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑 ,Mm 2 n 2由 Gy =)r,(1)向心加速度a =卑!,r隨著軌道半徑的增加，衛(wèi)星的向心加速度減小。(2)(3)(4)隨著軌道半徑的增加，衛(wèi)星的線速度減小。隨著軌道半徑的增加，衛(wèi)星的角速度減小。隨著軌道半

10、徑的增加，衛(wèi)星的周期增大?！纠咳鐖D所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是 地球半徑).下列說法中正確的是()b的線速度大小之比是 寸2 :1b的周期之比是1 : 22b的角速度大小之比是 36： 4b的向心加速度大小之比是' 9 ： 4R和2R(R為A. a、B. a、C. a、D. a、3.衛(wèi)星的環(huán)繞速度和發(fā)射速度不同高度處的人造地球衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)行速度V=，其大小隨半徑的增大而減小.但是，由于在人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功，因此將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道，在地面上所需 的發(fā)射速度就越大，即發(fā)射速度環(huán)繞速度，所以近地人造地球衛(wèi)星

11、的速度是最大環(huán)繞速度，也是人造衛(wèi) 星的最小發(fā)射速度.4人造地球衛(wèi)星的超重和失重(1) 人造地球衛(wèi)星在發(fā)射升空時(shí)，有一段加速運(yùn)動；在返回地面時(shí)，有一段減速運(yùn)動這兩個過程加速度 方向均向上，因而都是超重狀態(tài).(2) 人造地球衛(wèi)星在沿圓軌道運(yùn)行時(shí)，由于萬有引力提供向心力，因此處于完全失重狀態(tài)在這種情況下 凡是與重力有關(guān)的力學(xué)現(xiàn)象都不會發(fā)生因此，在衛(wèi)星上的儀器，凡是制造原理與重力有關(guān)的均不能使 用同理，與重力有關(guān)的實(shí)驗(yàn)也將無法進(jìn)行(如：天平、水銀氣壓計(jì)等)5.衛(wèi)星的變軌衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動時(shí)滿足：gM? = ma = m = mr®2 = mR2* )2rr1當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因使向心力與所受地

12、球萬有引力不相等時(shí)，衛(wèi)星就會變軌，即當(dāng)2v “ F引 > m 時(shí),r2衛(wèi)星向近地心的軌道運(yùn)動，即做向心運(yùn)動；當(dāng)F引m 時(shí)，衛(wèi)星向遠(yuǎn)地心的軌道運(yùn)動，即做離心運(yùn)動。r變軌時(shí)應(yīng)從兩方面考慮：一是中心天體提供的引力亠MmF引=G 廠，在開始變軌時(shí)F引不變;r2二是飛船所需要的向心力F向=口匚，可以通過以改變飛船的速度來改變它所需要的向心力，從而達(dá)到r使其做向心運(yùn)動或離心運(yùn)動而變軌的目的。2(1)當(dāng)V增大時(shí)，所需向心力 咔增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進(jìn)入新的軌道運(yùn)行，由其運(yùn)行速度要減小，但重力勢能、v =機(jī)械能均增加.2(2)當(dāng)衛(wèi)星

13、的速度突然減小時(shí)，向心力羅減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此衛(wèi)星將做向心運(yùn)動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進(jìn)入新軌道運(yùn)行時(shí)由v =- 知運(yùn)行速度將增大，但重力勢能、機(jī)械能均減少.(衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用了這一原理)【例】1、如圖4 4 2所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)行的3顆人造衛(wèi)星，下列說法正確的是()A. b、c的線速度大小相等，且大于 a的線速度B. b、c的向心加速度大小相等，且大于 a的向心加速度C. c加速可追上同一軌道上的 b, b減速可等到同一軌道上的 cD. a衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將變大2、某人造地球衛(wèi)星因受高空稀薄空

14、氣的阻力作用，繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道會慢慢改變，某次測量衛(wèi)星的軌道半徑為 ri，后來變?yōu)?(2<1)，用氐、氐表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，Tl、T2表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的運(yùn)行周期，則 ()A.E(2<Eki,T2<TiB.E(2<Eki,T2>TiC.E<2>Eki,T2<TiD.E<2>Eki,T2>Ti3、人造衛(wèi)星首次進(jìn)入的是距地面高度近地點(diǎn)為200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)為340km的橢圓軌道，在飛行第五圈的時(shí)候，飛船從橢圓軌道運(yùn)行到以遠(yuǎn)地點(diǎn)為半徑的圓形軌道上，如圖所示，試處理以下幾個問題(地球半徑2R=6370km, g=9.8m/s

15、 )(1)飛船在橢圓軌道1上運(yùn)行，Q為近地點(diǎn)，P為遠(yuǎn)地點(diǎn)，當(dāng)飛船運(yùn)動到P點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火，使飛船沿圓軌道 2運(yùn)行，以下說法正確的是()A. 飛船在Q點(diǎn)的萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力B. 飛船在P點(diǎn)的萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力C. 飛船在軌道I上 P點(diǎn)的速度小于軌道n上P的速度D飛船在軌道I上 P點(diǎn)的加速度小于軌道n上P的加速度(2)假設(shè)由于飛船的特殊需要，中國的一艘原本在圓軌道運(yùn)行的飛船前往與之對接，則飛船一定是()A. 從較低軌道上加速B.從較高軌道上加速C.從同一軌道上加速D.從任意軌道上加速 考向三：“雙星模型”問題在天體模型中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下

16、，繞兩球連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動如圖(1) 雙星夾圓心，且始終在同一直線上，靠彼此間的萬有引力提供向心力(2) 具有相同的周期 T和角速度(3) 軌道半徑和質(zhì)量成反比 ri = m2 lj2= mi Lm1 +m2 '+m24江 2L3(4) 雙星總質(zhì)量 M總廠 (其中L為雙星間距，T為周期)總 GT2【例】如圖4 4 6，質(zhì)量分別為 m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞 O點(diǎn)做 勻速圓周運(yùn)動，星球 A和B兩者中心之間的距離為L.已知A B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)引力常量為 G/ 廠、(1) 求兩星球做圓周運(yùn)動的周期；(2) 在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球

17、的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為Ti.但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 X 102422kg和7.35 X 10 kg.求T2與Ti兩者平方之比.(結(jié)果保留3位小數(shù)):'考向四：赤道上、近地衛(wèi)星上、同步衛(wèi)星上的同物比較角速度周期線速度向心加速度向心力赤道 上的=炒自T1 =T 自V1 = co 1 R2 _=豹1 RF1 = ma近地 衛(wèi)星 上:GMT -怦2r32耳GM/GM匕='宇 RGM a2 = = g2 R2 aF2 = ma2 = mg同步

18、衛(wèi)星 上國3 =自T3 =T 自V3 =G)3(R + h)2a? =003 (R + h)GMa3 2(R + h)F3 = ma3r gm磯 _”(R+h)3T/®2(R+h)3GM3 一 *GM物較 同比創(chuàng)=國3T1 = T3 A T2V £ V3 £ V2 = V宇.a1 £ a3 £ a2 = gF1 c F3 V F2 = mg【例】如圖，地球赤道上的山丘 e,近地資源衛(wèi)星p和同步通信衛(wèi)星 q均在赤道平面上繞 地心做勻速圓周運(yùn)動.設(shè) e、p、q的圓周運(yùn)動速率分別為 vi、V2、V3，向心加速度分別為 a、比、a3,貝U ()A. v

19、i>V2>V3B. vi<V2<V3C. ai>a2>a3D. ai<a3<a2考向五：萬有引力與拋體運(yùn)動的綜合(萬有引力與牛頓運(yùn)動定律的綜合) 關(guān)鍵是：重力加速度 g(1)由黃金代換得g (2 )由拋體運(yùn)動或牛頓運(yùn)動定律得g【例】我國在2010年實(shí)現(xiàn)探月計(jì)劃一一“嫦娥工程”.同學(xué)們也對月球有了更多的關(guān)注.(1) 若已知地球半徑為 R地球表面的重力加速度為g,月球繞地球運(yùn)動的周期為 T,月球繞地球的運(yùn)動近似看成勻速圓周運(yùn)動，試求出月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑.(2) 若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度Vo豎直向上拋出一個小球，考向六：

20、環(huán)繞同一中心天體的星際相距最遠(yuǎn)和最近問題經(jīng)過時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn).已知月球半徑為r,萬有引力常量為 G,試求出月球的質(zhì)1、從相距最近(兩星在中心天體的同側(cè)且三星共線)至U再次相距最近所需最短時(shí)間:據(jù)大小2 二'大一 小T大T小T大_T小2、從相距最近(兩星在中心天體的同側(cè)且三星共線)至躺距最遠(yuǎn)(兩星在中心天體的兩側(cè)且三星共線)R a衛(wèi)星離地面的高度等于 R b所需最短時(shí)間：據(jù)大小t =恵則t =-'大小T大T小2T大 -T小【例10】兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運(yùn)動，地球半徑為衛(wèi)星離地面高度為 3R貝(1) a、b兩衛(wèi)星周期之比 Ta : Tb是多少？(2) 若某時(shí)

21、刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點(diǎn)的正上方，則 a至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)?【課時(shí)訓(xùn)練】i 對萬有引力定律的表達(dá)式f=Gm?，下列說法正確的是()A. 公式中G為常量，沒有單位，是人為規(guī)定的B. r趨向于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大C. 兩物體之間的萬有引力總是大小相等，與m、m2是否相等無關(guān)D. 兩個物體間的萬有引力總是大小相等，方向相反的，是一對平衡力2.已知地球同步衛(wèi)星離地面的高度約為地球半徑的6倍.若某行星的平均密度為地球平均密度的一半,它的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的2.5倍，則該行星的自轉(zhuǎn)周期約為(A. 6小時(shí) B. 12小時(shí) C . 24小時(shí) D . 36小時(shí)3 .在圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動的國際空間站里，一宇航員手拿一只小球相對于太 空艙靜止“站立”于艙內(nèi)朝向地球一側(cè)的“地面”上，如圖4 4 7所示.下列說法正確的是()A. 宇航員相對于地球的速度介于7.9 km/s 與11.2 km/s 之間B. 若宇航員相對于太空艙無初速釋放小球，小球?qū)⒙涞健暗孛妗鄙螩. 宇航員將不受地球的引力作用圖 4 4 7D. 宇航員對“地面”的壓力等于零4. “嫦娥一號”月球探測器在環(huán)繞月球運(yùn)行過程中，設(shè)探測器運(yùn)行的軌道半徑為r,運(yùn)行速率為v,當(dāng)探測器在飛越月球上一些環(huán)形