兩角和與差的正弦余弦和正切公式教師版

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【最新考綱】1會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式3會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系4能利用兩角和(差)、二倍角 公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角 公式，但不要求記憶).奮勒落寒玄實(shí)趙基1I基礎(chǔ)梳理1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1) sin( a 士爺Sin a cos B 士 cos a sin _B ;(2) cos( a 士 B Cos_a cosj3 ?sin_a sin_B ；tan a

2、 士 tan B(3) tan( aBi；ta；; tan b .2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2a = 2sin a cos a ；(2) cos 2a = cos a Sin2 a = 2co a 1 = 1 2$亦 a ；(3)tan 2 a2tan a 2 tan a3. 有關(guān)公式的變形和逆用(1)公式T(卄的變形： tan a + tan 3 = tan( a B )(1- tan_ a tan_ 3 ); tan a tan 3 = tan( a- 3 )(+ tan a tan 3 ).公式C2a的變形:sini2 a = 1(1 一 cos 2 ); cog

3、 a = 2(1 + cos 2 ).(3)公式的逆用 1 sin 2a = (sin a cos a )2；sin a cos a =/2sinna4. 輔助角公式=b).asin a + bcos a =+ b2sin( + )其中 tan I學(xué)情自測(cè)1 .(質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“”，錯(cuò)誤的 打 “X” )(1)存在實(shí)數(shù)a,3，使等式 sin( + 3 =sin a + sin 3 成立.(2) 在銳角 ABC中，sin Asin B和cos Acos歐小不確定.()八亠tan a+ tan 3計(jì)“(3) 公式tan( a+ 3=可以變形為 tan a + tan1 t

4、an a tan 33 = tan( a+ 3 )( tan a tan 3 )，且對(duì)任意角 a, 3 都成立.()(4) 公式 asin x+ bcos x . a2+ b2sin(x+ 中 的取值與 a, b 的值無關(guān).()答案：(2)X (3)X (4)X2. (2015 課標(biāo)全國(guó) I 卷)sin 20 cos 10- cos 160 sin 10Di解析：sin 20 cos 10 cos 160 sin 10=sin 20cos 10 +12.cos 20 sin 10= sin(20o + 10 ) = sin 30答案：D3.(經(jīng)典再現(xiàn))已知sin 2a2=3,則 co$(n好；

5、4)=(AlB.1C.2解析：t sin 2a =23,n+ 4j1 sin 2a=13=12 6.n1 + cos2 a+ 22答案：A1 13, tan( a+ B )=2,貝S tanA.；B.6C.5D.f解析:tan. tan ( a+ tanB= tan( +B=a = 1 + tan (a+ tai1 =1 .1 + 2心1313_ 1=7.答案：A5 .若銳角 a B滿足(1 + /3tan a )(1 + (3tan 3) = 4,貝U a+ 3解析：由(1+ 3tan a )(1 + 3tan 3 ) = 4,可得=3,即 tan( 3= 3.tan a + tan 31

6、tan a tan 3n又 a+(0,n )，所以 a+ 3= 3 .答案:名師微博-通法領(lǐng)悟點(diǎn)注意三角函數(shù)是定義域到值域的多對(duì)一的映射， 時(shí)刻關(guān)注角的范圍是 防止增解的有效措施.兩個(gè)技巧1 .拆角、拼角技巧：2 a= ( + 3+( 3) a = ( + 33, 32.化簡(jiǎn)技巧：切化弦，“ 1”的代換等.三種變化1.變角:設(shè)法溝通所求角與已知角之間的關(guān)系.2.變名：盡可能減少函數(shù)名稱，其方法是“弦切互化”、“升幕與降幕”等.3. 變式：對(duì)式子變形要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.rH&u:- DC_3 J rk坯2.局卄計(jì)淫 COS a H(2 J 亠 A I B I 工 3 3DC 翔i

7、 COS a H 1 2SKS 嗨M C3sin 702 2co仝0a2 (3cos 20 )3-sin 7023-sin 70! (3-sin 70 )3 rasin a + COS aA00oo LOCD 100+4a+oosaII3 1II9 12aIII9 100o2一IIIIoo k4 .已知a,且 COS a4=5,則tan等于（1B7解析：因a3,2兀,且 cos a =45,所以sin av0,3即sin a=-5，所以tan1 3所以tan1 tan a4 11 + tan a* 3 7.1+4答案：B5 .已知sin=，sin( a B) _Jo10，a , B均為銳角,5

8、 n AA. 12nBnB均為銳角,n2 V a-nBv 2又 Sin(a B# 嚅，二 cos( BQ0.又sina=護(hù), cos a= ，B)53 10510Viq _遼10 廠 2 .B =冗4答案：CB= sin a- ( a- B )掃 sin a cos( B cos a sin( c.n!3廠6.右 sinQ + 01= 5，則 cos 20 =二 cos 20答案:解析:35,2coS 0 1 = 2X32-1 = 75125.7257 . （2014山東卷）函數(shù)y =sin 2x+ coSx的最小正周期為小丄廠 h 亠 31 + cos 2x n 1解析： 原式=3sin 2

9、x+2= sinjx + 石丿 + 2，2兀二周期 T = 2 =n .答案：n8.(2014 課標(biāo)全國(guó) H 卷)函數(shù) f(x) = sin(x+ 2)2sin cos(x ) 的最大值為.解析：丁 f(x) = sin(x+ 2 ) 2sin cos(x )sin(x + + 2sin cos(x ) sin(x+ cos + cos(x sin 2sin cos(x + ) sin(x+ cos cos(x sin = sin(x + sin x, f(x)的最大值為1.答案：19 .設(shè)函數(shù) f(x) = sin x+ cos x，(x)是 f(x)的導(dǎo)數(shù)，若 f(x) = 2f (x)s

10、ini2x sin 2x 則 cosx =解析：f (x) cos x- sin x,由 f(x) = 2f (得sin x+ cos x= 2cos x- 2sin x,. cos x= 3sin x22sin x sin 2x sin x 2sin xcos x 于疋coWxcoWxsix 6sinx9sin2x59.答案:三、解答題10 .已知 a且 sinya v6+ cos = 2(1)求 cosa的值;(2)若 sin(,求cos B的值.&， aa 6解：(1)因?yàn)?sin? + cos? = 2兩邊同時(shí)平方，得.1 nsin a= 2.又 2 VaVn,所以cosn因?yàn)? V

11、aVnn,2 V pVn所以一nV3Vn2，故2 V an2時(shí)3 4 5.2sin2x41 cos x11.(鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=(1) 求函數(shù)f(x)的定義域；4(2) 設(shè)a是第四象限的角，且tan a = 3，求f( a的值.解析：(1)要使f(x)有意義，則需cos爐0,f(x)的定義域是彳x|xm k n+ , k z1- 2(2)f(x)=cos x乎sin 2xcos12 21 + cos 2x- sin 2x 2cogx 2sin xcos xcos xcos x=2(cos x- sin x).4由 tan a= 3,得 sin4gcOS a.又sin2 a + cog a = 1,且a是第四象限角，