圖形變換相似三角形綜合應(yīng)用

1、相似三角形綜合應(yīng)用2014年中考怎么考內(nèi)容基本要求略高要求相似三角形了解兩個三角形相似的概念會利用相似三角形的性質(zhì)與判定進行簡單的推理和計算；會利用三角形的相似解決一些實際問題自檢自查必考點模型一 角分線模型1、內(nèi)角平分線是的角平分線，則【證明】過作交直線于.，又平分，由可得：，2、外角平分線的外角平分線交對邊的延長線于，則【證明】過作交直線于.，又平分，由可得：，模型二 梯形模型若，則中考滿分必做題考點一 與公共邊有關(guān)的相似問題【例1】 如圖，在矩形中，對角線、相交于點，為的中點，連接交于，連接，若，則下列四對三角形：與；與；與；與，其中相似的為（ ）A B C D【答案】D【解析】，故【例

2、2】 如圖，矩形中，于，恰是的中點，下列式子成立的是（ ）A B C D【答案】A【例3】 如圖，中，于，于，于，交于，、的延長線交于點，求證：.【解析】可通過射影定理轉(zhuǎn)化成證明，證明即可.【例4】 如圖，中，于為的中點，的延長線交于求證：【答案】，為中點，又，又，又，【鞏固】在中，過直角頂點作斜邊的垂線，取的中點，連接并延長交的延長于點，求證：【解析】，【例5】 如圖，在中，平分，的垂直平分線交于，交的延長線于，求證：【答案】連接垂直平分，即，又，平分，又，又，【鞏固】如上圖，在中，的垂直平分線交于，交的延長線于，求證：平分【答案】連接，垂直平分，又，即平分【例6】 已知，如圖，為等邊三角形

3、，且的兩邊交直線于兩點，求證：【解析】，又，即，考點二 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的相似問題【例7】 如圖，直角梯形中，為梯形內(nèi)一點，且，將繞點旋轉(zhuǎn)使與重合，得到，連交于已知，則的值為（ ）A B C D 【答案】C【例8】 如圖，四邊形和均為正方形，求.【答案】連接。，【例9】 （1）如圖1，等邊中，為邊上的動點，以為一邊，向上作等邊，連接，求證：（2）如圖2，將（1）中的等邊改為以為底邊的等腰三角形，所作的改成相似于，請問：是否有？證明你的結(jié)論【答案】（1）由，得，故（2）由，得，故考點三 與三角形有關(guān)的相似綜合題【例10】 如圖，內(nèi)有一點，過作各邊的平行線，把分成三個三角形和三個平行四邊形若三個三角形的

4、面積分別為，則的面積是【解析】設(shè)的面積為，則，故【答案】【例11】 如圖所示，是一個凸六邊形，、分別是直線與、與、 與的交點，、分別是與、與、與的交點，如果，求證：【答案】本題的條件和結(jié)論都是三個線段之比的連等式，且、構(gòu)成一個與相似的三角形的三邊，因而可以考慮通過平移變換將、集中到一起構(gòu)成一個與相似的三角形如圖所示，將平移至位置，則，且，所以，且，因此，從而，且這說明，且，進而，且又因為，于是，所以，注意到，故【例12】 已知：的高所在直線與高所在直線相交于點（1）如圖l，若為銳角三角形，且，過點作，交直線于點，求證：；（2）如圖 2，若，過點作，交直線于點，則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（

5、2）的條件下，若，將一個角的頂點與點重合并繞點旋轉(zhuǎn)，這個角的兩邊分別交線段于兩點（如圖3），連接，線段分別與線段、線段相交于兩點，若，求線段的長【答案】（1）證明：，（2）（3）如圖，由（2）知，為等腰直角三角形分別過，作于點 于點四邊形為矩形， ，考點四 與相似有關(guān)的動點問題【例13】 如圖，中，點從出發(fā)，沿方向以的速度移動，點從出發(fā)，沿方向也以的速度移動，若分別從出發(fā)，經(jīng)過多少時間與相似？【答案】，設(shè)，即，解得（負值已舍去）設(shè)經(jīng)過后與相似此時本題需分兩種情況：（1）當(dāng)時，即，解得（2）當(dāng)時，即，解得綜上，當(dāng)秒或秒時，與相似【例14】 如圖，在矩形中，點沿邊從點開始向點以秒的速度移動，點沿邊

6、以秒的速度從點開始移動，如果同時出發(fā)，用（秒）表示移動的時間（1）當(dāng)為何值時，為等腰直角三角形？（2）求四邊形面積，提出一個與計算結(jié)果相關(guān)的正確結(jié)論（3）當(dāng)為何值時，以點為頂點的三角形與相似【答案】（1）當(dāng)為等腰直角三角形時，（2），即四邊形的面積為定值（3）分2種情況當(dāng)時，即，解得 當(dāng)時，即，解得綜上當(dāng)或時，以點為頂點的三角形與相似中考滿分必做題【例1】 如圖，已知在等腰中，AB30°，過點C作交于點D若過A，D，C三點的圓的半徑為，則線段上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與相似，若存在，則的長為BACDBACDOP1P2（09年浙江麗江中考試題）【解析】120

7、76;90°30°B，又在中，·30°，過點D作1，交于點P1，則P1，1·×過點D作2，交于點P2，則2，32·×1【例2】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2，2），點P是線段上的一個動點（不與O，A重合），過點P作x軸于Q，以為邊向右作正方形連接并延長交x軸于點B，連接設(shè)t，與相似時，則的面積為BMQOPNAyxBMQOPNAyxH圖2（09年甘肅中考試題）【答案】或【解析】當(dāng)0 t 1時，如圖1若，則即，t，S ·××當(dāng)1 t 2時，如圖2若，則即，t，S ·

8、××【例3】 如圖，90°，是的平分線，點P在上，將三角板的直角頂點放置在點P處，繞著點P旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線交于點E，另一條直角邊與直線、直線分別交于點F、點G（1）當(dāng)點F在射線上時求證：設(shè)x，y，求y與x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域（2）連接，當(dāng)與相似時，求的長ACBPD備用圖ACBFPDGE（12年中考模擬試題）【解析】（1）證明：過點P作，垂足分別為M、N是的平分線，ACBFPDEMN21G由90°，得90°190°290°，12，解：，1x，1x2x， ，即 ACBFPGE1D y 2x（0 x1）（2

9、）當(dāng)與相似時，點F的位置有兩種情況：當(dāng)點F在射線上時90°，1G1，在中，22ACBMPFGNE15234D當(dāng)點F在延長線上時90°，12，32145°+5，145°+2，52易證34，可得54，1易證，1， ，即 11 12【例4】 如圖，在中，90°，是斜邊上的中線，10， 點P是延長線上的一動點，過點P作，交延長線于點Q設(shè)x，y（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；（2）連接，當(dāng)平分時，求的長；（3）過點B作交于F，當(dāng)和相似時，求x的值A(chǔ)PCQEBABCE備用圖ABCE備用圖（2012年上海模擬試題）【解析】（1）在中，90°，

10、10， 6，8是斜邊上的中線， 5ABPCQEH又90°， ，即 y x4（x 5）（2）過點B作于H平分，y ， x4 ABPCQEFx11（3）90°，A當(dāng)和相似時，則和也相似有兩種情況：當(dāng)A時在中，90°，5， yABPCQEF（ x4） ×5，解得x10當(dāng)時在中，90°，5， y（ x4） ×5，解得x 當(dāng)和相似時，求x的值為10或 【例5】 如圖1，在中，點B在邊上，6，12，C90°，動點M和N分別在線段和邊上（1）求證：，并求的值；（2）當(dāng)4時，與相似，求與的面積之比；（3）如圖2，當(dāng)時，以所在直線為對稱軸將作

11、軸對稱變換得設(shè)x，與四邊形重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍AONECBM圖2AONCBM圖1（2012年上海模擬試題）【解析】（1），90°C90°，C， : : 6，12，6 : : 18AONBC圖1M612 （2） ，C30° ，60°30°，12AONBC圖2M當(dāng)時（如圖1），4，S : S 2 : 24 2 : 12 21 : 9當(dāng)C時（如圖2），4，S : S 2 : 24 2 :（12）21 : 27（3）易得S · ×12×636，S : S 2 : 2，S :

12、36x 2 : 12 2S x 2AONECBM圖3F當(dāng)與線段相交時，設(shè)與交于點F（如圖3），C30°，x以所在直線為對稱軸將作軸對稱變換得30°，90° xS : S : y : x 2 x : x1 : 2AONECBM圖4Gy x 2（0x 8）當(dāng)與線段不相交時，設(shè)與交于點G（如圖4）， : : : 12（12x ）: 12，12 x，S : S 2 : 2S : 36（12 x ）2 : 12 2S （12 x ）2S陰影S S S 36 x 2 （12 x ）2即y x 218x72（8x 12）【例6】 如圖，中，90°，4，點O為邊的中點，

13、點M是邊上一動點（不與點B、C重合），垂足為點A連接，將沿直線翻折，點B落在點B1處，直線1與、分別交于點F、N（1）當(dāng)120° 時，求的長；（2）設(shè)x，y ，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。并寫出自變量x的取值范圍；（3）連接，與邊交于點E，當(dāng)時，求的長DACBNOFMB1（2012年上海模擬試題）【解析】（1）120° ，60° DACBNOFMB130°中，·30°2 （2）連接，1，B1，B1，B1N又1，90°1MB90°，1O1N，DACBNOMB1(F)E12B1M·B1N又B1Mx，122 2x&

14、#183;B1N，B1N ， ，90°又B90°，y x 2x即y x 2x（0x 4）（3）由題意知：C45°若，則有兩種情況：或DACBNOFMB1E當(dāng)時，有由（2）知B1，C45°中，·45°2當(dāng)時，60°中，·60° 綜上所述，當(dāng)時，求的長為2或 【例7】 在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（0，4），A（t，0）是x軸上一動點，M是線段的中點把線段繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，過點B作x軸的垂線，過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D，直線交x軸于點E（1）若t3，則點B的坐標(biāo)為，

15、若t3，則點B的坐標(biāo)為；（2）若t 0，當(dāng)t為何值時，的面積等于6 ？OCyx備用圖BEAOMDCyx（3）是否存在t，使得以B、C、D為頂點的三角形與相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由（2012年江蘇模擬試題）【解析】（1）（5，），（1， ）BEAOMDCyx圖1（2）當(dāng)0t 8時，如圖190°，90°90°，又90°， ，即 2， t，B（t2， t）S · （ t2）（ 4 t ）6解得t2或t4當(dāng)t 8時，如圖2BEAOMDCyx圖2S · （ t2）（ t4 ）6解得t10或t4（舍去）當(dāng)t2或t4或t10時

16、，的面積等于6（3）當(dāng)0t 8時，如圖1若，則 即 ，t無實數(shù)解BEAOMDCyx圖3若，同理，解得t2 2（舍去）或t2 2當(dāng)t 8時，如圖2若，則 即 ，解得t4 8（舍去）或t4 8若，同理，t無實數(shù)解當(dāng)2t 0時，如圖3若，則 BEAOMDCyx圖4即 ，t4 8或t4 8（舍去）若，同理，t無實數(shù)解當(dāng)t 2時，如圖4，則 即 ，t無實數(shù)解若，同理，解得t4或t4（舍去）存在t2 2或4 8或4 8或4，使得以B、C、D為頂點的三角形與相似【例8】 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與坐標(biāo)軸相交于A（2，0），B（0，）兩點，將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到A（1）求直線l的解析式；（2）若，

17、垂足為D，求點D的坐標(biāo)；yBFlAxOBA圖2yBDlAxOBA圖1（3）如圖2，若將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，AB 與直線l相交于點F，點E為x軸上一動點試探究：是否存在點E，使得以點A，E，F(xiàn)為頂點的三角形和A 相似若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（2012年山西中考試題）yBDlAxOBA圖1H【解析】（1）設(shè)直線l的解析式為yb點A（2，0），B（0，）在直線l上 解得：直線l的解析式為y x （2）A（2，0），B（0，），2， 5即， · ·×2× ×5×，2過點D作x軸于點H（如圖1）yBFlAx

18、OBA圖2E則90°在中， ，2在中，設(shè)a，則2a 2 2 2，a 24a 22 2a 0，a ， ， 點D的坐標(biāo)為（ ，）yBFlAxOBA圖3E（3）存在點E，使得以點A，E，F(xiàn)為頂點的三角形和A 相似理由：A 由逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得A，BAO又， ，即 ，1，6如圖2，當(dāng)A 時，有 ，6，624E1（4，0）如圖3，當(dāng)A 時，有 ， ，2 E2（，0）綜上所述，存在點E1（4，0），E2（，0），使得以點A，E，F(xiàn)為頂點的三角形和A 相似課后作業(yè)1. 如圖1，甲、乙兩人分別從AB兩點同時出發(fā)，點O為坐標(biāo)原點，點，甲沿方向、乙沿方向均以每小時4千米的速度行走，t小時后，甲到達M點，乙到達N點（1）請說明甲、乙兩人到達點O前，與不可能平行；（2）當(dāng)t為何值時，？（3）甲、乙兩人之