高三第一輪復習——雙曲線

1、雙曲線一、教學目的1理解雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程，會求雙曲線的標準方程；2理解雙曲線的有關幾何性質；3靈活運用雙曲線的概念、標準方程和幾何性質解決相關問題二、知識點梳理1雙曲線的定義 （1）雙曲線的第一定義：平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線，即這兩個定點叫做的雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫雙曲線的焦距當時，軌跡是雙曲線；當時，軌跡是兩條射線；當時，軌跡不存在 （2）雙曲線第二定義：平面內到一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線定點叫雙曲線焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)叫雙曲線離心率2雙曲線的標準方程與幾何性質標準方程性質

2、焦點，焦距范圍頂點，對稱性關于軸、軸和原點對稱離心率準線漸近線3共軛雙曲線 雙曲線的共軛雙曲線為4雙曲線的焦半徑（ 分別是雙曲線的左（下），右（上）焦點） 焦點在軸上的雙曲線的焦半徑公式： 焦點在軸上的雙曲線的焦半徑公式5雙曲線的通徑長：； 焦點三角形的面積：三、講練結合題型一 雙曲線的定義【例1】設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點若，則（ ） A或 B6 C7 D9【例2】點在雙曲線的右支上，若點到右焦點的距離等于，則 【同步練習】1設為雙曲線上的一點是該雙曲線的兩個焦點，若 ，則的面積為（ ） A B12 C D242直線與雙曲線的左右支分別交于點，與

3、雙曲線 的右準線相交于點，為右焦點，若又，則實數(shù) 的值為（ ） A B2 C D3題型二 雙曲線的標準方程【例3】已知雙曲線與雙曲線=1有公共焦點，且過點（3，2）求雙曲線的方程【例4】已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標軸上且焦距是10，求此雙曲線的方程【同步練習】3已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋 物線的準線上，則雙曲線的方程為（ ）A B C D4已知點是雙曲線漸近線上的一點，是左、右兩個焦 點，若，則雙曲線方程為（ ） A B C D5已知圓以圓與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條 件的雙曲線的標準方程為_6以拋物線的焦點為右焦點，且兩條漸近線是的雙

4、曲線方程為_7已知雙曲線的離心率為，右準線方程為 （1）求雙曲線C的方程； （2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求m的值題型三 雙曲線的幾何性質【例5】設雙曲線的一條漸近線與拋物線只有一個公共點，則雙曲線的離心率為（ ） A B5 C D【例6】已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的離心率為（ ） A B C D【例7】已知雙曲線的左，右焦點分別為，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為_【同步練習】8已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_9已知雙曲線的右頂點為，雙曲線的左準線與該雙曲線的兩 漸近線的交點分別為

5、A、B兩點，若，則該雙曲線的離心率e是（ ） A B2 C或2 D不存在10已知點F是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A（1，） B（1，2） C（1，1） D（2，1）題型四 直線與雙曲線的位置關系【例8】過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若 則這樣的直線有（ ） A4條 B3條 C2條 D1條【例9】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和且（其中為原點），求的取值范圍【同步練習】11過原點與雙曲線 交于兩點的直線斜率的取值范圍

6、是_12已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線y=kx+2與橢圓至多有一個交點的充要條件是（ ） AB CD 13已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F ，一條漸近線m：， 設過點A的直線 的方向向量 （1）求雙曲線C的方程； （2）若過原點的直線，且與的距離為，求k的值； （3）證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線的距離為四、課后練習（一）選擇題1以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（ ） A B C D2過點（2，2）且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是（ ） A=1 B=1 C=1 D=13若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則等于（ ） A

7、 B C D4若雙曲線的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離 心率為（ ） A B C D5設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A（，2） B（，） C（2，5） D（2，）6曲線與曲線的（ ） A焦距相等 B焦點相同 C離心率相等 D以上都不對7過點P（3，4）與雙曲線只有一個交點的直線的條數(shù)為（ ）A4 B3 C2 D18已知橢圓與雙曲線有相同的焦點 和，若是的等比中項，是與的等差中項，則橢圓 的離心率是（ ） A B C D（二）填空題9已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲 線的焦點坐標為 ； 漸近線方程為 10過雙曲線的左焦點且垂直于軸的直線與雙曲線相交于

8、兩點，以為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率 為 11已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為，且焦距與虛軸長之比為，則 雙曲線的標準方程是 12在平面直角坐標系中，雙曲線上一點，點的橫坐標是3，則 到雙曲線右焦點的距離是 13已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，為雙曲線右支上一點，則 最小值為 （三）解答題14已知橢圓和雙曲線有公共的焦點 （1）求雙曲線的漸近線方程； （2）直線過焦點且垂直于軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程15已知直線與雙曲線交于、點 （1）求的取值范圍； （2）若以為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)的值； （3）是否存在這樣的實數(shù)，使、兩點關

9、于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由參考答案三、講練結合題型一 雙曲線的定義【例1】C 解析：雙曲線漸近線方程為y=，由已知漸近線為， ， ，故選C【例2】2 解析：由方程，得 該雙曲線的離心率為，右準線為 到右準線的距離為 由雙曲線的第二定義，得，解得題型二 雙曲線的標準方程【例3】解法一：設雙曲線方程為=1由題意易求c=2 又雙曲線過點（3，2），=1 又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8 故所求雙曲線的方程為=1 解法二：設雙曲線方程為1， 將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為1【例4】解：設雙曲線方程為， 當時，化為， 當時，化為， 綜上，雙曲線方程為或題型

10、三 雙曲線的幾何性質【例5】D 解析：雙曲線的一條漸近線為，由方程組，消去y， 得 因為該方程有唯一解，所以= 所以，故選D【例6】A 解析：設雙曲線的右準線為，過分 別作于， 于， ，由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為 由雙曲線的第二定義有 又故選A【例7】 解法一：由定義，知， 又已知，解得， 在中，由余弦定理，得 要求的最大值，即求的最小值，當時，解得 即的最大值為 解法二：， 雙曲線上存在一點P使，等價于 解法三：設，由焦半徑公式得 ， 的最大值為題型四 直線與雙曲線的位置關系【例8】B 解析：因為雙曲線方程為x2=1，過右焦點垂直于x軸的弦長，即通徑為=4 又實軸長為2a=2&

11、lt;4，由對稱性可知，過右焦點長度為4的弦與左右兩支各有一 個交點的弦有兩條，與右支有兩個交點的弦只有1條，故共有3條長度為4的 弦故選B【例9】解：（1）設雙曲線方程為 由已知得，再由，得 故雙曲線的方程為 （2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點得 即且 設，則 由得 而 于是，即解此不等式得 由+，得 故的取值范圍為同步練習答案題型一 雙曲線的定義1B 解析： 又 由、解得 直角三角形， 故選B2A 解析：記M、N在右準線的射影分別為M1、N1， 由|FM|=2|FN|及第二定義，知|MM1|=2|NN1| 又MM1PNN1P，所以|MP|=2|NP|，從而=故選A題型二 雙曲線的

12、標準方程3B 解析：依題意知，所以雙曲線的方程為故選 B4C 解析：不妨設，于是有 于是排除A，B又由D中雙曲線的漸近線方程為，點不在其上， 排除D故選C5 6 解析：拋物線的焦點為，設雙曲線方程為， ，雙曲線方程為7解：（1）由題意，得，解得 ，所求雙曲線的方程為 （2）設A、B兩點的坐標分別為，線段AB的中點為 由得（判別式）， 點在圓上，題型三 雙曲線的幾何性質8或 解析：當時， 當時，或9B 解析：設雙曲線的左準線與x軸交于點D，則，10B解析：由ABx軸，所以ABE為等腰三角形又ABE是銳角三角形，所以AEB為銳角，即AEF45º于是|AF|EF|，ac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得1e2 又雙曲線的離心率e1，從而1e2題型四 直線與雙曲線的位置關系1112A 解析：易得準線方程是 所以，即，所以方程是聯(lián)立可得由可解得A13解：（1）設雙曲線的方程為 ，解得，雙曲線的方程為 （2）直線，直線 由題意，得，解得 （3）證明：設過原點且平行于的直線如圖 則直線與的距離當時，2又雙曲線的漸近線為，雙曲線的右支在直線的右下方雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為四、課后練習1A 2A 3C 4C 5B 6A 7C 8D9 102 11 124 1314解：（