復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用

1、 學(xué)校代碼：_ 11059_ 學(xué) 號(hào)：0907022036Hefei University 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） BACHELOR DISSERTATION 論文題目：_ 復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用_學(xué)位類(lèi)別：_理學(xué)學(xué)士_學(xué)科專(zhuān)業(yè)：_數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)_ 作者姓名：_ 易順_ 導(dǎo)師姓名：_ 王貴霞_ 完成時(shí)間：_ 2013年4月12日_復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用中 文 摘 要隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)理論的發(fā)展，學(xué)科間的聯(lián)系越來(lái)越密，通過(guò)相互協(xié)助，為了使復(fù)雜的問(wèn)題能夠利用較簡(jiǎn)單的方法方便，快捷地解決，因此本論文研究的目的是使物理學(xué)中（本文指通信工程）的問(wèn)題得到簡(jiǎn)化并建立一定的模型和一整套思路.復(fù)變函數(shù)作為處理信

2、號(hào)與系統(tǒng)的處理工具，在通信工程中起著極大的作用，本文在對(duì)復(fù)變函數(shù)及通信工程的有關(guān)定理研究的基礎(chǔ)之上，得出了復(fù)變函數(shù)中的Fourier變換和Laplace變換及其逆變換在對(duì)處理通訊信號(hào)的表現(xiàn)形式上的運(yùn)用方法.使物理中復(fù)雜抽象的信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢跃_描述的數(shù)學(xué)函數(shù)，從而大大弱化了人們從事物理研究的難度.關(guān)鍵詞：Fourier變換；Laplace變換；積分；信號(hào)The Application of Complex Function in Communication EngineeringABSTRACT With the development of modern scientific and tech

3、nological theories, the relations among disciplines have become closer and closer. Mutual assistance can simplify the complex problems so as to solve them quickly and conveniently. Therefore, this paper here aims to simplify those problems in physics to build a certain model and construct a systemat

4、ical way of thinking. As a tool in dealing with signals and systems, complex function plays an exceedingly significant role in communication engineering. Based on the theorem research related to complex function and communication engineering, this paper has concluded the methods used in dealing with

5、 forms of communication signals through Fourier transformation，Laplace transformation and its inverse transformation in complex function. Thus, complicated and abstract signals in physics can be converted to precisely descriptive mathematical function, which will lower the difficulty in physical res

6、earches to a large extent.KEY WORD:Fourier transformation;Laplace transformation;integration;signal 第一章 引 言11.1復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用以及發(fā)展史11.1.1 復(fù)變函數(shù)的簡(jiǎn)介11.1.2復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用11.2 復(fù)變函數(shù)在通信工程方面的研究現(xiàn)狀21.2.1函數(shù)的應(yīng)用21.2.2信號(hào)的分類(lèi)31.2.3信號(hào)的簡(jiǎn)單處理31.2.4通信中常用的基本函數(shù).41.3 本文研究的主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排5第二章 Fourier積分和Fourier變換62.1 Fourier積分62.2 Fourier變換7第三章 F

7、ourier變換在信號(hào)分析中的應(yīng)用93.1確知信號(hào)的頻域特征93.1.1 周期信號(hào)的頻譜分析93.1.2 非周期信號(hào)的頻譜分析133.2 信號(hào)的能量譜15第四章 Laplace變換及其簡(jiǎn)單應(yīng)用204.1 問(wèn)題的提出204.2 問(wèn)題的解答204.3 Laplace變換在信號(hào)系統(tǒng)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用21第五章 總結(jié)26參考文獻(xiàn)27致 謝28第一章 引 言1.1復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用以及發(fā)展史1.1.1 復(fù)變函數(shù)的簡(jiǎn)介 復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的情況,它的一般形式是：，其中是虛數(shù)單位. 多復(fù)分析是數(shù)學(xué)中研究多個(gè)復(fù)變量的全純函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的分支學(xué)科，它和單復(fù)變函數(shù)有

8、著很強(qiáng)的淵源，但其特有的困難和復(fù)雜性，導(dǎo)致在研究的重點(diǎn)和方法上，都和單復(fù)變函數(shù)論有明顯的區(qū)別.因?yàn)槎鄰?fù)變?nèi)兒瘮?shù)的性質(zhì)在很大程度上由定義區(qū)域的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)所制約，因此，其研究的重點(diǎn)經(jīng)歷了一個(gè)由局部性質(zhì)到整體性質(zhì)的逐步的轉(zhuǎn)移.它廣泛地使用著微分幾何學(xué)、代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程等相鄰學(xué)科中的概念和方法，不斷地開(kāi)辟前進(jìn)的道路，更新和拓展研究的內(nèi)容和領(lǐng)域. 就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué).當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱(chēng)為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱(chēng)贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.為復(fù)變函數(shù)論的

9、創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國(guó)的Laplace也隨后研究過(guò)復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門(mén)學(xué)科的先驅(qū).1.1.2復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用 近代有些函數(shù)論研究工作是考慮把具有某種性質(zhì)的一族函數(shù)合在一起研究.事實(shí)上，P·蒙泰爾的解析函數(shù)正規(guī)族就應(yīng)屬于這種類(lèi)型的研究，并且顯示了其威力.從這種觀點(diǎn)出發(fā)的研究有了很大發(fā)展.它與其他數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生了較密切的聯(lián)系. 復(fù)變函數(shù)理論從一個(gè)變數(shù)推廣到多個(gè)變數(shù)是十分自然的想法，總稱(chēng)為復(fù)分析.但是多變數(shù)時(shí)，定義域的復(fù)雜性大大增加了，函數(shù)的性質(zhì)較之單變數(shù)時(shí)也有顯著的差異，它的研究需要借助更多的近代數(shù)學(xué)工具. 從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有了150年的歷史.它以其完

10、美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.它曾經(jīng)推動(dòng)過(guò)一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中.它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專(zhuān)業(yè)的必修課程.復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用. 物理學(xué)中的流體力學(xué)，穩(wěn)定平面長(zhǎng)，航空力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論.復(fù)變函數(shù)論已經(jīng)深入到微積分方程，數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響.現(xiàn)如今.復(fù)變函數(shù)論中仍有不少尚待研究的課題，它將在更多數(shù)學(xué)家們的不懈努力下，繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用.比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在

11、運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn).復(fù)變函數(shù)理論以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要組成部分.它推動(dòng)了許多學(xué)科的發(fā)展，在解決某些實(shí)際問(wèn)題中也是強(qiáng)有力的工具，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專(zhuān)業(yè)的必修課程. 1.2 復(fù)變函數(shù)在通信工程方面的研究現(xiàn)狀人類(lèi)的生活離不開(kāi)信息交流，尤其在信息化高度發(fā)達(dá)的今天，信息傳輸與人們的生產(chǎn)和生活更是密切相關(guān).通信目前已成為學(xué)術(shù)界研究的熱門(mén)課題，然而在對(duì)通信研究的同時(shí)，大家不能忽視一個(gè)重要的部分-數(shù)學(xué)在通信中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)推動(dòng)著通信的發(fā)展，它將抽象的信息、信號(hào)等概念具體化，便于人類(lèi)研究.信號(hào)是信息傳輸技術(shù)的工作對(duì)象，而信號(hào)主要是用函數(shù)

12、表示，這使得信號(hào)的各種變換更加形象化.另外，數(shù)學(xué)中的極限、微積分（方程），數(shù)理邏輯，F(xiàn)ourier變換，Laplace變換，線性代數(shù)等知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想在通信中都起到了至關(guān)重要的作用，因此數(shù)學(xué)與通信息息相關(guān).復(fù)變函數(shù)在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，其涵蓋面極廣.可以解決一些復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題.在物理領(lǐng)域的應(yīng)用更是顯而易見(jiàn)的，諸如流體力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域.在通信工程中，復(fù)變函數(shù)目前更多地體現(xiàn)在信號(hào)與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過(guò)程中.連續(xù)時(shí)間信號(hào)的實(shí)頻域分析和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的實(shí)頻域分析便是是運(yùn)用Fourier級(jí)數(shù)及Fourier變換.而連續(xù)時(shí)間信號(hào)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析便是運(yùn)用到了Laplace變換的性質(zhì)

13、.作為復(fù)變函數(shù)中重要的Fourier變換和Laplace變換，我們足以看到復(fù)變函數(shù)在信號(hào)即通信中的實(shí)用性和研究深度.1.2.1函數(shù)的應(yīng)用在信號(hào)傳輸系統(tǒng)中傳輸?shù)闹黧w是信號(hào)，系統(tǒng)所包含的各種電路、設(shè)備則是為實(shí)施這種傳輸?shù)母鞣N手段.信號(hào)是隨著時(shí)間變化的物理量，一般可以表示為一個(gè)以時(shí)間為自變量的函數(shù).所以在信號(hào)分析中，信號(hào)與函數(shù)二詞常相通用.1.2.2信號(hào)的分類(lèi)信號(hào)可按照不同的函數(shù)形式進(jìn)行分類(lèi)：當(dāng)信號(hào)是一確定的時(shí)間函數(shù)時(shí)，給定某一時(shí)間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值.這樣的信號(hào)是確定信號(hào)，反之稱(chēng)為隨機(jī)信號(hào).如果在某一時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)于一切時(shí)間值，除了若干不連續(xù)點(diǎn)外，該函數(shù)都能給出確定的函數(shù)值，這信號(hào)就稱(chēng)為連

14、續(xù)信號(hào).和連續(xù)信號(hào)相對(duì)應(yīng)的是離散信號(hào).離散信號(hào)的時(shí)間函數(shù)只在某些不連續(xù)的時(shí)間值上給定函數(shù)值.用確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，又可分為周期信號(hào)和非周期信號(hào).1.2.3信號(hào)的簡(jiǎn)單處理所謂對(duì)信號(hào)的處理，從數(shù)學(xué)意義來(lái)說(shuō)，就是將信號(hào)經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪恍盘?hào).基本的處理有疊加、相乘、平移，反褶、尺度變換微分與積分等.用函數(shù)圖形表示如下：(1) 相加與相乘(2) 自變量的變換（波形變換）a、平移（時(shí)移或移位）b、壓縮與擴(kuò)展(3) 微分與積分微分 積分1.2.4通信中常用的基本函數(shù).在通信中，基本的信號(hào)知識(shí)是分析信號(hào)與系統(tǒng)的基礎(chǔ).而基本信號(hào)大都可用數(shù)學(xué)的函數(shù)來(lái)表示，以下例舉幾個(gè)常見(jiàn)信號(hào)及其函數(shù)： （1）直

15、流信號(hào)：(2) 正弦信號(hào)：（3）有始信號(hào)：又稱(chēng)因果信號(hào)，指的是對(duì)某一時(shí)間點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其值為零的信號(hào).（4）單位階躍信號(hào)：（5）單位沖激信號(hào)： （6）斜坡信號(hào)：（7）實(shí)指數(shù)信號(hào)：（8）復(fù)指數(shù)信號(hào)：（9）矩形脈沖信號(hào)：（10）取樣信號(hào)：1.3 本文研究的主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排本文通過(guò)將復(fù)變函數(shù)中的兩個(gè)重要變換Fourier變換和Laplace變換以及通信工程原理中的信號(hào)處理結(jié)合起來(lái)，探討復(fù)變函數(shù)在通信工程中的應(yīng)用.首先，引入Fourier積分和Fourier變換公式的來(lái)源，并結(jié)合數(shù)學(xué)函數(shù)實(shí)例體現(xiàn)其用法.然后再根據(jù)通信工程中的周期信號(hào)與非周期信號(hào)形式，將Fourier變換的用法體現(xiàn)在其實(shí)際應(yīng)用中.除此之外

16、，又由Fourier變換導(dǎo)出Laplace變換，并按照上述寫(xiě)作思路，繼續(xù)描述Laplace在處理通訊信號(hào)中的應(yīng)用.第二章 Fourier積分和Fourier變換2.1 Fourier積分在學(xué)習(xí)Fourier級(jí)數(shù)的時(shí)候，我們已經(jīng)知道，一個(gè)以為周期的函數(shù)如果在上滿(mǎn)足Dirichlet條件（即函數(shù)在上滿(mǎn)足：1，連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；2，只有有限個(gè)極值點(diǎn)），那么在上就可以展成Fourier級(jí)數(shù).在的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的三角形式為 =+. (2.1）其中 ， ， .而對(duì)于Fourier級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為.事實(shí)上，利用歐拉公式，此時(shí)，（2.1）式可寫(xiě)為=+ =，如果令, ， ，而它們可以合寫(xiě)成一個(gè)式子

17、 .若令 ,則（2.1）式可寫(xiě)為 ，也即 . (2.2)對(duì)于非周期函數(shù)的展開(kāi)問(wèn)題，將在后文在通信工程中的應(yīng)用給出.2.2 Fourier變換Fourier積分定理 若在上滿(mǎn)足下列條件：1.在任一有限區(qū)間上滿(mǎn)足Dirichlet條件；2.在無(wú)限區(qū)間上絕對(duì)可積（即積分收斂），則有 （2.3）成立，則左端的在它的間斷點(diǎn)處，應(yīng)以來(lái)代替.這個(gè)定理的條件是充分的. 我們已經(jīng)知道，若函數(shù)滿(mǎn)足Fourier積分定理中的條件，則在的連續(xù)點(diǎn)處，便有（2.1)式，即成立.從（2.1）式出發(fā)，設(shè) （2.4） 則 （2.5）從上面兩式可以看出，和通過(guò)指定的積分運(yùn)算可以相互表達(dá).（2.4）式叫做的Fourier變換式，可

18、記為.叫做的象函數(shù).（2.5）式叫做的Fourier逆變換式，可記為 .叫做的象函數(shù).第三章 Fourier變換在信號(hào)分析中的應(yīng)用通信系統(tǒng)中所用到的信號(hào)是信息的載體和表達(dá)形式，也是傳輸、處理的對(duì)象.根據(jù)信號(hào)參數(shù)的確知程度，可將其分為確知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)兩大類(lèi).確知信號(hào)的特征是:無(wú)論是過(guò)去、現(xiàn)在還是未來(lái)的任何時(shí)間，其取值總是唯一確定的，如一個(gè)正弦波形，當(dāng)幅度，角頻和初相均為確定值時(shí)，它就屬于確知信號(hào)們就是一個(gè)完全確定的時(shí)間函數(shù)，其變換規(guī)律可以用確知的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行描述.反之就是隨機(jī)信號(hào).本章對(duì)常見(jiàn)確知信號(hào)及其變換進(jìn)行介紹，將前述章節(jié)的數(shù)學(xué)理論運(yùn)用于物理實(shí)踐中.3.1確知信號(hào)的頻域特征頻域是描述信號(hào)

19、在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標(biāo)系.對(duì)任何一個(gè)事物的描述都需要從多個(gè)方面進(jìn)行，每一方面的描述僅為我們認(rèn)識(shí)這個(gè)事物提供部分的信息.例如，眼前有一輛汽車(chē)，我可以這樣描述它方面1：顏色，長(zhǎng)度，高度.方面2：排量，品牌，價(jià)格.而對(duì)于一個(gè)信號(hào)來(lái)說(shuō)，它也有很多方面的特性.如信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律（時(shí)域特性），信號(hào)是由哪些單一頻率的信號(hào)合成的（頻域特性）.頻域（頻率域）自變量是頻率，即橫軸是頻率，縱軸是該頻率信號(hào)的幅度，也就是通常說(shuō)的頻譜圖.頻譜圖描述了信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)及頻率與該頻率信號(hào)幅度的關(guān)系.對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，有時(shí)一些信號(hào)的時(shí)域參數(shù)相同，但并不能說(shuō)明信號(hào)就完全相同.因?yàn)樾盘?hào)不僅隨時(shí)間變化，還與頻率、

20、相位等信息有關(guān)，這就需要進(jìn)一步分析信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)，并在頻率域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行描述.動(dòng)態(tài)信號(hào)從時(shí)間域變換到頻率域主要通過(guò)Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換實(shí)現(xiàn).周期信號(hào)靠Fourier級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)靠Fourier變換.3.1.1 周期信號(hào)的頻譜分析在復(fù)變函數(shù)理論中，任何一個(gè)非周期函數(shù)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)當(dāng)是轉(zhuǎn)化而來(lái)的.為了說(shuō)明這一點(diǎn)，我們作周期為函數(shù)，使其在之內(nèi)等于，而在之外按周期延拓到整個(gè)數(shù)軸上,如圖1所示，很明顯，當(dāng)越大，與相等的范圍也越大，這表明當(dāng)時(shí)，周期函數(shù)便可轉(zhuǎn)化為，即有圖1這樣，在(2.2)式中令時(shí)，結(jié)果就可以看成是的展開(kāi)式，即當(dāng)取一切整數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)便均勻地分布在整個(gè)數(shù)

21、軸上.若相鄰點(diǎn)的距離以表示，即,或,則當(dāng)時(shí)，有,所以上式又可以寫(xiě)為 . （3.1）當(dāng)固定時(shí)，是參數(shù)的函數(shù)，記為，即利用可將（3.1）式寫(xiě)成很明顯，當(dāng)，即時(shí)，這里 .從而可以看做是在上的積分.即 .亦即 .這個(gè)公式稱(chēng)為函數(shù)的Fourier積分公式. 對(duì)于在通信工程中，任何一個(gè)周期信號(hào)（周期為），只要滿(mǎn)足Dirichlet條件，就可以展開(kāi)為正交序列之和，即Fourier級(jí)數(shù).周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)有三角形式和指數(shù)形式兩種表達(dá)式，三角形式的Fourier級(jí)數(shù)表達(dá)式為 （3.2）式中，是信號(hào)基波分量的角頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)基頻；和稱(chēng)為Fourier系數(shù)；代表直流分量.由級(jí)數(shù)理論知，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)為 （

22、3.3）式（3.2）和式（3.3）表明任何滿(mǎn)足Dirichlet條件的周期信號(hào)都可以分解為直流分量和一系列諧波分量的疊加，而各次諧波的分量的頻率均為基頻的整數(shù)倍.實(shí)際工程中遇到的周期函數(shù)大多滿(mǎn)足Dirichlet條件.指數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)表達(dá)式為式中，復(fù)系數(shù)為顯然，是的函數(shù)，即.實(shí)際上反映了周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示式中頻率為的信號(hào)分量的幅度與相位，通常稱(chēng)之為頻譜.其大小描述了幅度隨時(shí)間變化的關(guān)系，稱(chēng)為幅度譜；其相位描述了相位隨時(shí)間變化的關(guān)系，稱(chēng)為相位譜.指數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)表明，任意周期信號(hào)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）就是.由于指數(shù)

23、形式表達(dá)簡(jiǎn)潔，便于計(jì)算，且物理概念清楚，在通信中廣泛應(yīng)用.例1已知一周期矩形信號(hào)，幅度為，脈寬為，周期為，如圖2所示.求的頻譜及其指數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù).圖2解：在一個(gè)周期內(nèi)，根據(jù)前述理論及公式，求得頻譜為式中，稱(chēng)為取樣函數(shù).由此得周期矩形信號(hào)的指數(shù)Fourier級(jí)數(shù)為據(jù)此可以畫(huà)出的雙邊頻譜.顯然，頻譜的包絡(luò)分布服從抽樣函數(shù)分布規(guī)律，幅度呈衰減震蕩且出現(xiàn)周期性的零點(diǎn).周期信號(hào)的頻譜具有如下幾個(gè)共同特性.（1）離散型.周期信號(hào)的頻譜中各譜線是不連續(xù)的，所有頻譜均由最小間隔為基頻的譜線組成.由于譜線之間的最小間隔為基頻，而,故信號(hào)的周期決定了譜線之間的最小間隔，信號(hào)周期越大，基頻就越小，譜線

24、之間越密；反之，越小，越大，譜線之間越疏.由于非周期信號(hào)可以看做是的周期信號(hào)，因此可以預(yù)見(jiàn)，非周期信號(hào)的頻譜應(yīng)該是連續(xù)譜.（2）諧波性.譜線只出現(xiàn)在基頻整數(shù)倍的頻率位置上.（3）收斂性.即幅度衰減特性，實(shí)際上工程中遇到的絕大多數(shù)信號(hào)，其幅度譜線將隨頻率的增加不斷衰減，并最終趨于零.3.1.2 非周期信號(hào)的頻譜分析由上文可知，令周期信號(hào)的重復(fù)周期，則可以將其視為非周期信號(hào).為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入了頻譜密度的概念.非周期信號(hào)的頻譜密度定義為經(jīng)推導(dǎo)有 （3.4） （3.5）式（3.4）和式（3.5）為一個(gè)Fourier變換對(duì).式（3.4）稱(chēng)為的Fourier變換，即頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜

25、.式（3.5）稱(chēng)為Fourier逆變換，已知頻譜即可求出信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式.時(shí)間信號(hào)與其Fourier逆變換是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，知其一可求另一，故簡(jiǎn)記為.例2 已知一非周期矩形信號(hào)如圖3所示，求其頻譜.圖3 解：矩形脈沖信號(hào)又稱(chēng)門(mén)函數(shù)，表達(dá)式為.直接利用Fourier變換的定義式(4.4)求得矩形脈沖信號(hào)的頻譜為即由以上得出的函數(shù)表達(dá)式即可繪出非周期矩形信號(hào)的頻譜.并可知道非周期矩形信號(hào)的頻譜是一個(gè)連續(xù)譜.Fourier變換是信號(hào)時(shí)域分析和頻域分析的橋梁，在理論分析和工程實(shí)際中都有著廣泛的應(yīng)用.例3 試求取樣函數(shù)頻譜密度.解：取樣函數(shù)的定義是：采樣函數(shù)的頻譜密度為可見(jiàn)，時(shí)域中的的Fourier變換

26、是一個(gè)門(mén)脈沖函數(shù).反之，時(shí)域中的門(mén)脈沖函數(shù)的Fourier變換一定是個(gè)函數(shù).也即例2中的結(jié)果，其實(shí)這不是巧合，而是由于Fourier變換與頻域的對(duì)稱(chēng)性而具有的結(jié)果.例4 正弦信號(hào)的頻譜.正弦信號(hào)可以用指數(shù)函數(shù)來(lái)表示，下面來(lái)研究指數(shù)信號(hào)的傅氏變換.仿照前面的積分方法，可以求得它的傅氏變換為即同樣的方法可以得到因?yàn)楦鶕?jù)傅氏變換的疊加性質(zhì)得到所以，正弦信號(hào)的傅氏變換在頻譜圖上表示為在正負(fù)頻率軸位置上的沖激函數(shù).3.2 信號(hào)的能量譜設(shè)有電流信號(hào)流經(jīng)電阻,在該電阻消耗的瞬時(shí)功率為.若為電壓信號(hào)，則瞬時(shí)功率為.為了討論方便，令.則代表了電流或者是電壓信號(hào)在電阻上消耗的瞬時(shí)功率.它在的時(shí)間內(nèi)消耗的能量為 (

27、3.6)式中稱(chēng)作信號(hào)的歸一化能量，簡(jiǎn)稱(chēng)為能量.當(dāng)為有限值時(shí)，稱(chēng)為能量信號(hào). 下面我們介紹Fourier變換的理論應(yīng)用之一，即帕斯瓦定理.設(shè)能量信號(hào)的傅氏變換為,即.則. (3.7)這定理表明，信號(hào)的能量可以在時(shí)域計(jì)算也可以在頻域計(jì)算.其次，利用Fourier變換及其在通信工程理論中的應(yīng)用，可描述能量在各個(gè)頻率分量的分布情況，定義了能量頻譜密度函數(shù)；對(duì)能量為的能量信號(hào)，若頻率函數(shù)滿(mǎn)足 (3.8)則稱(chēng)為的能量頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)能量譜.比較式(3.7)和式(3.8)可以看出:即，能量信號(hào)的能量譜等于信號(hào)傅氏變換的模平方.能量譜反映了信號(hào)的能量在頻率軸上的分布情況.信號(hào)的能量譜只與信號(hào)的幅度譜有關(guān),與

28、其相位譜無(wú)關(guān).因此不同的信號(hào)可能有相同的能量譜，但對(duì)于一個(gè)指定的信號(hào)，其能量譜是唯一的.為了求解一個(gè)復(fù)雜信號(hào)作用于線性系統(tǒng)后的響應(yīng)，可以先把這個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解成許多組成此信號(hào)的分量.用來(lái)表示信號(hào)分量的函數(shù)集常用的是正交函數(shù)集.在實(shí)際生活中使用最多的正交函數(shù)集是Fourier級(jí)數(shù).根據(jù)具體情況可化為三角Fourier級(jí)數(shù)或指數(shù)Fourier級(jí)數(shù). Fourier變換形式詳盡而確切地表達(dá)了信號(hào)分解的結(jié)果，但往往不夠直觀，不能一目了然.為了能既方便又確切地表示一個(gè)信號(hào)中包含有哪些分量，各分量所占的比重怎樣，根據(jù)其Fourier變換形式作出其頻譜圖.這也是在對(duì)信號(hào)中研究用到的數(shù)形結(jié)合思想所在.任一周期信

29、號(hào)必定可用Fourier級(jí)數(shù)表示.一般的，因?yàn)橹芷谛盘?hào)可表示為Fourier級(jí)數(shù)，則Fourier變換，即周期信號(hào)的頻譜函數(shù)是以為強(qiáng)度的沖激譜線組成.例5 已知為周期信號(hào)，求圖4解：利用周期信號(hào)的Fourier變換 ，故.在一定條件下，非周期信號(hào)可以看成周期信號(hào)在周期趨向無(wú)窮大時(shí)的極限.由上已知周期信號(hào)的Fourier變換式，當(dāng)周期趨于無(wú)窮大時(shí)，可得非周期信號(hào)的Fourier變換式為例6 （哈爾濱工業(yè)大學(xué)）半波余弦脈沖的Fourier變換.解： 前述Fourier變換式給出了信號(hào)的時(shí)域特性與頻域特性的一般關(guān)系.但還可以根據(jù)Fourier的性質(zhì)得出兩者間的若干特定關(guān)系.這些關(guān)系揭示了信號(hào)的時(shí)域特

30、性和頻域特性之間某些方面的重要聯(lián)系.其常用的性質(zhì)有 線性特性：若，則 延時(shí)特性：若， 則.移頻特性：若，則尺度變換特性：若，則 奇偶特性：若為的偶函數(shù)，其頻譜函數(shù)僅有實(shí)部，是的實(shí)偶函數(shù).即.若為的奇函數(shù)，其頻譜函數(shù)僅有虛部，是的虛奇函數(shù).即.對(duì)稱(chēng)特性：若則 如果為的偶函數(shù)，其頻譜函數(shù)是的實(shí)偶函數(shù)即.若，則或；或. 微分特性：若， 則 ;積分特性：若，則 ;域的微分與積分特性：若，則 及;卷積定理：若 ，則 ;信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的頻域分析法主要研究信號(hào)頻譜通過(guò)系統(tǒng)后產(chǎn)生的變化.因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)不同頻率的等幅正弦信號(hào)呈現(xiàn)的特性不同，因而對(duì)信號(hào)中各個(gè)頻率分量的相對(duì)大小將產(chǎn)生不同的影響，同時(shí)各個(gè)頻率分量也將產(chǎn)生不

31、同的相移，使得各頻率分量在時(shí)間軸上相對(duì)位置產(chǎn)生變化.疊加所得的信號(hào)波形也就不同于輸入信號(hào)的波形，從而達(dá)到對(duì)信號(hào)的處理目的.第四章 Laplace變換及其簡(jiǎn)單應(yīng)用4.1 問(wèn)題的提出在上一章我們講過(guò)，一個(gè)函數(shù)當(dāng)它除了滿(mǎn)足Dirichlet條件以外，還在內(nèi)滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件是比較強(qiáng)的，許多函數(shù)即使是很簡(jiǎn)單的函數(shù)都不滿(mǎn)足這個(gè)條件；其次，可以進(jìn)行Fourier變換的函數(shù)必須在整個(gè)數(shù)軸上有定義，但在物理、無(wú)線電技術(shù)等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間作為自變量的函數(shù)往往在時(shí)是無(wú)意義的或者是不需要考慮的，像這樣的函數(shù)都不能取Fourier變換.由此可見(jiàn)，F(xiàn)ourier變換的應(yīng)用范圍受到相當(dāng)大的限制.那要怎么處理才能解決

32、這個(gè)問(wèn)題呢?4.2 問(wèn)題的解答對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)馗脑焓蛊溥M(jìn)行Fourier變換時(shí)克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)呢？這就使我們想到了兩個(gè)函數(shù):單位階躍函數(shù)和指數(shù)衰減函數(shù)所具有的特點(diǎn).用前者乘可以使積分區(qū)間由換成，用后者乘就可能使其變得絕對(duì)可積，因此，為了克服Fourier變換上述的兩個(gè)缺點(diǎn)，我們自然會(huì)想到用來(lái)乘，即 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，只要選得適當(dāng)，一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)函數(shù)的Fourier變換總是存在的.對(duì)函數(shù)進(jìn)行先乘以，再取Fourier變換的運(yùn)算，就產(chǎn)生了Laplace變換.對(duì)函數(shù)取Fourier變換，可得其中， .若再設(shè) .則得 .由此式所確定的函數(shù)，實(shí)際上是由通過(guò)一種新的變換得來(lái)的，這種變換我們稱(chēng)為L(zhǎng)a

33、place變換.4.3 Laplace變換在信號(hào)系統(tǒng)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用 設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，而且積分 （是一個(gè)復(fù)參量）在的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)可寫(xiě)為 . （4.1）我們稱(chēng)（4.1）式為函數(shù)的Laplace變換式.記為稱(chēng)為的Laplace變換（或稱(chēng)為象函數(shù)）.若是的Laplace變換，則稱(chēng)為的Laplace逆變換（或稱(chēng)為象原函數(shù)），記為=.由（4.1）式可以看出，的Laplace變換，實(shí)際上就是的Fourier變換.下面我們通過(guò)一個(gè)例題簡(jiǎn)單展示一下Laplace變換在周期信號(hào)中的應(yīng)用.例7 求周期三角波且的Laplace變換.圖5解：根據(jù)Fourier變換的思路及形式，以及結(jié)合前述章節(jié)關(guān)

34、于Laplace變換在信號(hào)處理中的理論有: 令,則，而所以由于當(dāng)時(shí)，所以，從而一般地，以為周期的函數(shù)，即，當(dāng)在一個(gè)周期上是分段連續(xù)時(shí)，則有成立.這就是求周期函數(shù)的Laplace變換公式.Laplace變換可看成是Fourier變換在復(fù)變數(shù)域中的推廣.與Fourier變換類(lèi)似，對(duì)于Laplace變換式中每一對(duì)正、負(fù)的指數(shù)分量決定一項(xiàng)變幅度的“正弦振蕩”，其幅度也是一無(wú)窮小量，且按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化.與Fourier變換中一樣，這些振蕩的頻率是連續(xù)的，并且分布及于無(wú)窮.通常稱(chēng)為復(fù)頻率，并把看成是信號(hào)的復(fù)頻譜.例8 因果信號(hào)，求其Laplace變換. 解： 可見(jiàn)，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)時(shí)，其拉氏變換存在.收斂域如圖所示.圖6 Laplace變換建立了信號(hào)在時(shí)域和復(fù)頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為今后更方便對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，在此了解其一些基本性質(zhì)線性性質(zhì)：設(shè),，為任意常數(shù)，則.尺度變換：設(shè) ，則當(dāng)時(shí)有時(shí)間平移：設(shè)，則 頻率平移：設(shè)，則 時(shí)域微分：設(shè)，則.如果函數(shù)為有始函數(shù)，上式可簡(jiǎn)化為 .時(shí)域積分：設(shè)，則 .復(fù)頻域微分與積分：設(shè)，則，.對(duì)參變量微分與積分：設(shè),為參數(shù),