天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計同步練習(xí)冊答案詳解

1、第一章 隨機變量習(xí)題一1、寫出下列隨機試驗的樣本空間(1)同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之和 = (2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù) = (3)對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出2個次品就停止，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 =(4)在單位圓內(nèi)任意取一點，記錄它的坐標(biāo) = (5)將一尺長的木棍折成三段，觀察各段的長度 = 其中分別表示第一、二、三段的長度 (6 ) .10只產(chǎn)品中有3只次品 ，每次從其中取一只(取后不放回) ，直到將3只次品都取出 ， 寫出抽取次數(shù)的基本空間U

2、= “在 ( 6 ) 中 ，改寫有放回抽取” 寫出抽取次數(shù)的基本空間U =解: ( 1 ) U = e3 ， e4 ， e10 。其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) U = e3 ， e4 ， 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件與對立事件的區(qū)別何在？說出下列各對事件的關(guān)系(1)與 互不相容 (2)與 對立事件(3)與 互不相容 (4)與 相容事件(5)20個產(chǎn)品全是合格品與20個產(chǎn)品中只有一個廢品 互不相容(6)20個產(chǎn)品全是合格品與20個產(chǎn)品中至少有一個廢品 對

3、立事件 解: 互不相容:;對立事件 : 且3、設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運算關(guān)系表示下列各事件(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生 - (2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生 - (3)A,B,C中至少有一個發(fā)生 - (4)A,B,C都發(fā)生 -(5)A,B,C都不發(fā)生 - (6)A,B,C中不多于一個發(fā)生 -(7)A,B,C中不多于兩個發(fā)生-(8)A,B,C中至少有兩個發(fā)生-4、盒內(nèi)裝有10個球，分別編有1- 10的號碼，現(xiàn)從中任取一球，設(shè)事件A表示“取到的球的號碼為偶數(shù)”，事件B表示“取到的球的號碼為奇數(shù)”，事件C表示“取到的球的號碼小于5”，試說明下列運算分別表示什么事件.(1) 必然事件 (2)

4、 不可能事件(3) 取到的球的號碼不小于5 (4) 1或2或3或4或6或8或10(5) 2或4 (6) 5或7或9(7) 6或8或10 (8) 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命題中哪些成立，哪些不成立.(1)成立(2) 不成立(3)不成立(4) 成立(5)若，則成立(6)若，且，則 成立(7)若，則成立(8)若，則 成立7、設(shè)一個工人生產(chǎn)了四個零件，表示事件“他生產(chǎn)的第i個零件是正品”，用,的運算關(guān)系表達(dá)下列事件.(1)沒有一個產(chǎn)品是次品； (1) (2)至少有一個產(chǎn)品是次品；(2) (3)只有一個產(chǎn)品是次品；(3) (4)至少有三個產(chǎn)品不是次品4)8. 設(shè) E、F、G是三個隨機

5、事件，試?yán)檬录倪\算性質(zhì)化簡下列各式 ： (1)(2) （3） 解 :(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 9、設(shè)是兩事件且，問(1)在什么條件下取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么條件下取到最小值，最小值是多少？解: (1)(2)10. 設(shè) 事 件 A， B， C 分 別 表 示 開 關(guān) a， b， c 閉 合 ， D 表 示 燈 亮 ， 則可用事件A，B，C 表示：(1) D = ；(2) = 。 11、設(shè)A,B,C是三事件，且， 求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率.解: 12. (1)設(shè)事件A , B的概率分別為 與 ，且 A 與 B 互 斥，則 = . (2).一個盒中有8只紅

6、球，3只白球，9只藍(lán)球 ，如果隨機地?zé)o放回地摸3只球 ，則取到的3 只 都 是 紅 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 從每只袋中各摸一只球 ，則摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _。 (4) .設(shè) A1 , A2 , A3 是隨機試驗E的三個相互獨立的事件， 已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，則A1 , A2 , A3 至少有一個 發(fā)生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) . (5) 一個盒中有8只紅球，3只白球，9只藍(lán)球，如果隨機地?zé)o放回地摸3只球， 則摸

7、到的沒有一只是白球的事件的概率等于 _。13、在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任取200個，求(1)恰有90個次品的概率；(2)至少有2個次品的概率. 解: 14、兩射手同時射擊同一目標(biāo)，甲擊中的概率為0.9，乙擊中的概率為0.8，兩射手同時擊中的概率為0.72，二人各擊中一槍，只要有一人擊中即認(rèn)為“中”的， 求“中”的概率.解:“甲中”“乙中”15、8封信隨機地投入8個信箱(有的信箱可能沒有信)，問每個信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: 16、房間里有4個人，問至少有兩個人的生日在同一個月的概率是多少？解：設(shè)所求事件“至少有兩個人的生日在同一個月的”“任何兩個人的生日都不

8、在同一個月”17、將3個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概 率各是多少？解：3個球放入4個杯子中去共有種放法，設(shè)表示杯子中球的最大個數(shù)為n的事件,表示每只杯子最多只能放一個球，共有種方法，故;表示有一只杯子中放2個球，先在3個球中任取2只放入4個杯子中的任意一只，共有種方法，剩下的一個球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3種放法，故包含的基本事件數(shù)為，于是 ;表示有一只杯子中放3個球，共有4種方法，故.18. 設(shè) 一 個 質(zhì) 點 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 內(nèi) ( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y

9、 = 2所 圍 成 的 ) ， 設(shè) 事 件 A 為： 質(zhì) 點 落 在 直 線 y = 1 的 下 側(cè) ， 求 P(A) 。 19、(1)已知，求(2)已知，求 解: (1)(2)20、一批產(chǎn)品共100個,其中有次品5個，每次從中任取一個，取后不放回, 設(shè)( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求： ， ， ， ，21、市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠的合格率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠產(chǎn)品，B表示合格品。 試寫出有關(guān)事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6) 20%22、袋中

10、有10個球，9個是白球，1個是紅球，10個人依次從袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，問第一人，第二人，最后一人取得紅球的概率各是多少？解: 解：設(shè)第i個人取得紅球的事件,則為第i個人取得白球的事件，顯然 , 同理23、某種動物由出生活到20年以上的概率為0.8，活25年以上的概率為0.4，問現(xiàn) 年20歲的這種動物活支25歲以上的概率是多少？ 解：設(shè)為由出生活到20歲的事件，為由出生活到25歲的事件則所求事件的概率為24、十個考簽中四個難的，三人參加抽簽，(不放回)甲先、乙次、丙最后，記事件 A,B,C分別表示甲、乙、丙各抽到難簽，求.解：25. 設(shè) 0< P(C) <1 ，

11、試 證 ：對 于 兩 個 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有 P ( A B )½C = PA½C + PB½C證: 26、設(shè)事件A與B互斥，且，證明.證明：由于，故27、一批零件為100個，次品率為10%，每次從中任取一個，不再放回，求第三次才 能取得正品的概率是多少？解：設(shè)為第i次取到正品，由于次品率為10%，故100個零件約有90個正品，次品10個，設(shè)為第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，則由一般乘法公式得28、設(shè)每100個男人中有5個色盲者，而每10000個女人中有25個色盲者，今在3000 個男人和 2000個女人中任意抽

12、查一人， 求 這 個 人 是 色 盲 者 的 概 率。解: A ：“ 抽到的一人為男人”；B ： “ 抽到的一人為色盲者” 則 29、設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球，M只紅球，今從甲袋中任取一只球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球，問取到白球的概率是多少？ 解：設(shè)表示從甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示從甲袋中任取一只紅球放入乙袋中的事件，表示從甲袋中任取一只球放入乙袋后再從乙袋中取一只白球的事件，所求事件由全概率公式：易知：于是30、某工廠由甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)品占全廠產(chǎn)品的比例 分別為25%,35%,40%；并且它們的廢品率分別是

13、5%,4%,2% (1)今從該廠產(chǎn)品中任取一件問是廢品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件產(chǎn)品是廢品，問它最大可能是哪個車間生產(chǎn)的？解：設(shè)“所取出的一件產(chǎn)品是廢品”，“產(chǎn)品系甲車間生產(chǎn)”，“產(chǎn)品系乙車間生產(chǎn)”， “產(chǎn)品系丙車間生產(chǎn)”已知(1)由全概率公式：(2)由貝葉斯公式：所以，所取出的一件廢品最大可能是乙車間生產(chǎn)的.31、如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點。假設(shè)每一繼電器接點閉合的概率為，且設(shè) 各繼電器接點閉合與否相互獨立，求至是通路的概率.13245LR解: 設(shè)為第i只繼電器閉合的事件，為有電流從L流向R的事件，已知顯然故 32、在18盒同類電子元件中有5盒是甲廠生產(chǎn)的，7 盒是乙

14、廠生產(chǎn)的，4盒是丙廠生產(chǎn)的，其余是丁廠生產(chǎn)的，該四廠的產(chǎn)品合格品率依次為0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 現(xiàn)任意從某一盒中任取一個元件，經(jīng)測試發(fā)現(xiàn)是不合格品， 試問該盒產(chǎn)品屬于 哪一個廠生產(chǎn)的可能性最大 ？解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒產(chǎn)品屬于甲，乙 ，丙 ，丁廠生產(chǎn) ” B ： “ 所 取 一 個 元 件 為 不 合 格 品 ” 則 ， ， ， ， ， ， 由 全 概 率 公 式 : = 由 貝 葉 斯 公 式 :故 該 盒 產(chǎn) 品 由 乙 廠 生 產(chǎn) 的 可 能 性 最 大33、甲、乙、丙三人同時對飛機進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.7。飛

15、機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6。若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率.解：設(shè)表示“恰有i人擊中飛機”，為飛機被擊落， 同理 易知，由全概率公式 34、袋中裝有只白球，一只紅球，每次從袋中隨機地摸出一球，并換入一只白 球，這樣繼續(xù)摸下去，問第次摸球時摸到白球的概率是多少？解：設(shè)事件表示第次摸到白球，則事件表示第次摸到紅球。因為袋中只有1只紅球，而每次摸出一球總換入一只白球，故為了第k次摸到紅球，前k-1次一定不能摸到紅球，因此等價于下列事件: 在前k-1次摸球時都摸到白球而第k次摸出紅球，所以 因此第2章一維隨機變量 習(xí)題2一. 填空題：1.設(shè)

16、離 散 型 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 是 ， 則 用 F (x) 表 示 概 = _。 解：2.設(shè) 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 為 則 P 0<x<1 = _。 解： P 0<x<1 = 3.設(shè) x 服 從 參 數(shù) 為 l 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P x = 2 = P x = 3 ，則 P x = 3 = _ 或 3.375e-3_。 4.設(shè) 某 離 散 型 隨 機 變 量 x 的 分 布 律 是 ， 常 數(shù) l>0， 則 C 的 值 應(yīng) 是 _ e-l_。解： 5 設(shè) 隨 機 變 量 x 的 分 布 律 是 則 = 0.8

17、 。解： 令 得 6.若 定 義 分 布 函 數(shù) ， 則 函 數(shù) F(x)是 某 一 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 F ( x ) 單 調(diào) 不 減 ， 函 數(shù) F (x) 右 連 續(xù) ， 且 F (¥ ) = 0 ， F ( + ¥ ) = 17. 隨機變量，記， 則隨著的增大，之值 保 持 不 變 。8. 設(shè) x N ( 1， 1 )，記x 的概率密度為 j( x ) ，分布函數(shù)為 F ( x )，則 0.5。9、分別用隨機變量表示下列事件(1)觀察某電話總機每分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，試用隨機變量表示事件.“收到呼喚3次” ，“收到呼喚次數(shù)

18、不多于6次”(2)抽查一批產(chǎn)品，任取一件檢查其長度，試用隨機變量表示事件.“長度等于10cm” = ；“長度在10cm到10.1cm之間” = (3)檢查產(chǎn)品5件，設(shè)A為至少有一件次品，B為次品不少于兩件，試用隨機變量表示事件.解: 10 、一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取3只，以x表示取出的3只球中的最X345 大號碼，則X的分布律為: 二. 計算題：1、將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以表示兩次中得到的小的點數(shù)，試分別寫出的分布律.234567891011122、設(shè)在15只同類型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次

19、品的只數(shù).求X的分布律；.X0123、(1)設(shè)隨機變量X的分布律為：為常數(shù)，試確定常數(shù).解: 因 , 故 (2)設(shè)隨機變量X的分布律為：，試確定常數(shù). 4、飛機上載有3枚對空導(dǎo)彈，若每枚導(dǎo)彈命中率為0.6，發(fā)射一枚導(dǎo)彈如果擊中敵機則停止，如果未擊中則再發(fā)射第二枚，再未擊中再發(fā)射第三枚，求發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)的分布律.X1230.60.240.165、汽車需要通過有4盞紅綠信號燈的道路才能到達(dá)目的地。設(shè)汽車在每盞紅綠燈前通過(即遇到綠燈)的概率都是0.6；停止前進(jìn)(即遇到紅燈)的概率為0.4，求汽車首次停止前進(jìn)(即遇到紅燈，或到達(dá)目的地)時，已通過的信號燈的分布律.解：汽車在停止前進(jìn)時已通過的信號燈數(shù)是一

20、個隨機變量，用x表示x可取值為0,1,2,3,4，又設(shè)A的表示事件：汽車將通過時第i盞信號燈開綠燈，由題意表示已通過的信號燈數(shù)是0(即第一盞信號燈是紅燈),故表示已通過的信號燈數(shù)是1(即第一盞信號燈是綠燈，而第二盞是紅燈),故.同理于是x的分布律為即x012340.40.240.1440.08640.12966、自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的機率為，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進(jìn)行調(diào)整，求兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律.x012k7、一大樓內(nèi)裝有5個同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻：(1)恰有兩個設(shè)備被使用的概率是多少？ (2)至少有3個設(shè)備被

21、使用的概率是多少？(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？(4)至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？8、設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，(1)進(jìn)行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率.(2)進(jìn)行7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率.解：(1)5次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號=(2)7次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號 9、設(shè)某批電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對這批電子管進(jìn)行測試，只要測得一個正品，管子就不再繼續(xù)測試，試求測試次數(shù)的分布律.解：解：設(shè)測試次數(shù)為x，則隨機變量x的可能取值為：，當(dāng)時，相當(dāng)于前 次測得的都是次品管子，而第k次測得的是正品管子的事件，1

22、0、每次射擊命中率為0.2，必須進(jìn)行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n次獨立射擊中至少擊中一次的概率為；(1)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次.(2)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次11、電話站為300個用戶服務(wù)，在一小時內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，試用泊松定理近似計算，在一小時內(nèi)有4個用戶使用電話的概率.解：由二項分布得現(xiàn)用泊松定理近似計算，,故12、某一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001，在某天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率

23、是多少？ (利用泊松定理計算)解：設(shè)x為發(fā)生事故的次數(shù)，則用泊松定理計算，13設(shè)X服從泊松分布，且已知，求解：，由，得，14、. 求離 散 型 隨 機 變 量 x 的 分 布 律 為 ， ( k = 1， 2， )， 的 充 分 必 要 條 件。解：由且 且 b > 015 設(shè)x服從參數(shù)l = 1的指數(shù)分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0無實根的概率 。 解： 知 故 16. 已 知 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 x 的 概 率 密 度 為 且 知 x 在 區(qū) 間 ( 2，3 )內(nèi) 取 值 的 概 率 是 在 區(qū) 間 ( 1，2 ) 內(nèi) 取 值 的 概 率 的 二 倍

24、 ，試 確 定 常 數(shù) A ，B 。解：由 條 件 即 知 有 又 由 即 解 得 A = ，B = 17、設(shè)有函數(shù) 試說明能否是某隨機變量的分布函數(shù).解：不 能 因 為 當(dāng) 時 ， j ( x ) = sin x < 0 故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 負(fù) 。18、設(shè)某人計算一連續(xù)型隨機變量x的分布函數(shù)為： 試問他的計算結(jié)果是否正確？ 答：不正確19、在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)，這個質(zhì)點落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求x的分布函數(shù).解：P 0 < x x = cx ；20、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求(

25、1)常數(shù)A,B(2)(3)概率密度解: (1)(2)(3)21、某種型號的電子管壽命X(以小時計)，具有如下概率密度： 現(xiàn)有一大批此種電子管(設(shè)各電子管損壞與否相互獨立)，任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？并求.解：設(shè)使用壽命為x小時，所求事件的概率：再求22、設(shè)隨機變量X具有對稱的概率密度，即為偶函數(shù)，證明：對任意有：(1) ; (2)(3)證明：(1)，令， 又因為：(2)證明：(3)證明：23、設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以小時計)服從指數(shù)分布，其概率密度為 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開，他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服

26、務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求.解：24、設(shè)，求(1) (2) (3)(4) (5)確定c使得解：(1)(2)(3)(4)(5) 25、一個工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(以小時計)，服從參數(shù)，的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解:，故允許最大為31.2526、公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01米以下設(shè)計的，設(shè)男子身高x服從的正態(tài)分布，即問車門的高度應(yīng)如何確定？解：設(shè)車門高度為cm，按設(shè)計要求，或，因為，故查表得即設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭的機會不超過0.01。27、設(shè)隨機變量X的分布律為X012345求的分布律.解: Y0281828、設(shè)，求(1)

27、的概率密度 (2)的概率密度 (3)求的概率密度解：(1)設(shè) 即(2)，當(dāng)時，Y的分布函數(shù)，當(dāng)時，Y的概率密度即(3)，當(dāng)時，Y的分布函數(shù)當(dāng)時，的概率密度當(dāng)時， 29、設(shè)電流是一個隨機變量，它均勻分布在9安11安之間，若此電流通過2歐姆的電阻，在其上消耗的功率為，求的概率密度.解：由題意I的概率密度為對于由于，所以當(dāng)時，其分布函數(shù)，故的概率密度；30、設(shè) 正 方 體 的 棱 長 為 隨 機 變 量 x ，且 在 區(qū) 間 ( 0 ， a ) 上 均 勻 分 布 ， 求 正 方 體 體 積 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a > 0 )解: 正 方 體 體 積 h = x 3 函 數(shù) y

28、 = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 數(shù) h 的 概 率 密 度 為 31. 設(shè) 隨 機 變 量 x 的 概 率 密 度 為 求 隨 機 變 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 數(shù) y = l n x 的 反 函 數(shù) x = h ( y ) = e y ， 當(dāng) x 在 ( 0 ， +¥ )上 變 化 時 ， y 在 (¥ ， + ¥ ) 上 變 化 ， 于 是 h 的 概 率 密 度 為 32. 已 知 某 種 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指 標(biāo) x 服 從 N(m , s2)， 并 規(guī) 定 | x m | £ m時 產(chǎn) 品 合

29、 格 ， 問 m取 多 大 時 ， 才 能 使 產(chǎn) 品 的 合 格 率 達(dá) 到 95%。 已 知 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05, (0.06) = 0.475 .解：P | x m | £ m = 0.95，此式等價于 Pmm £ x £ m + m = 0.9因 為 x 服 從 N(m , s2 )， 故 Pmm £ x £ m + m = 查 表 得 m = 1.96s 故 m 取 1.96s 時 才 能 使 產(chǎn) 品 合 格 率

30、 達(dá) 到 95%。第三章多維隨機變量及其分布一、填空題1、隨機點落在矩形域的概率為 .2、的分布函數(shù)為，則 0 .3、的分布函數(shù)為，則4、的分布函數(shù)為，則5、設(shè)隨機變量的概率密度為，則 .6、隨機變量的分布如下，寫出其邊緣分布.01231003007、設(shè)是的聯(lián)合分布密度，是的邊緣分布密度，則 1 .8、二維正態(tài)隨機變量，和相互獨立的充要條件是參數(shù) 0 .9、如果隨機變量的聯(lián)合概率分布為12312則應(yīng)滿足的條件是 ；若與相互獨立，則 ， . 10、設(shè)相互獨立，則的聯(lián)合概率密度 ，的概率密度 .12、 設(shè) ( x 、 h ) 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為 則 A =_1_。二、證明和計算題1、袋

31、中有三個球，分別標(biāo)著數(shù)字1,2,2，從袋中任取一球，不放回，再取一球，設(shè)第一次取的球 上標(biāo)的數(shù)字為，第二次取的球上標(biāo)的數(shù)字，求的聯(lián)合分布律. X Y12102解： 2、三封信隨機地投入編號為1,2,3的三個信箱中，設(shè)為投入1號信箱的信數(shù)，為投入2 號信箱的信數(shù)，求的聯(lián)合分布律.解：的可能取值為0,1,2,3的可能取值為0,1,2,3 012301020030003、設(shè) 函 數(shù) F(x , y) =   ；問 F(x , y) 是 不 是 某 二 維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) ？ 并 說 明 理 由 。解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 維 隨

32、機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 因 P0 < x £ 2， 0 < h £1= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)= 111 + 0 = 1 < 0故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 。4、設(shè)，有證明：可作為二維連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)。證明：易驗證，又 符合概率密度函數(shù)的性質(zhì)，可以是二維連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)。5、在 0, 上 均 勻 地 任 取 兩 數(shù) X 與 Y，求的值。解：，6、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為 (1)確定常數(shù)(2)求的分布函數(shù)

33、(3)求解：(1)(2)(3)7、設(shè)隨機變量的概率密度為 求解：8、設(shè)隨機變量在矩形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布， (1)求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度. (2)問隨機變量是否獨立？解：(1)根據(jù)題意可設(shè)的概率密度為于是，故即即(2)因為，故與是相互獨立的.9、隨機變量的分布函數(shù)為求：（1）邊緣密度；（2）驗證X,Y是否獨立。解：（1）， . , (2) 因為，故與是相互獨立的.10、一電子器件包含兩部分，分別以記這兩部分的壽命(以小時記)，設(shè)的分布函 數(shù)為(1)問和是否相互獨立？ (2)并求解：(1) 易證，故相互獨立.(2)由(1)相互獨立11、設(shè) 隨 機 變 量 (x , h)的 分 布 函 數(shù) 為

34、 求：( 1 ) 系 數(shù) A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , h)的 聯(lián) 合 概 率 密 度 j(x , y)。解：( 1 ) 由 此 解 得 ( 2 ) 1312、設(shè)相互獨立且分別具有下列表格所定的分布律0 試寫出的聯(lián)合分布律.解：01313、設(shè)相互獨立，且各自的分布律如下：1212求的分布律.解：的分布律為的全部取值為2,3,4 14、 X,Y相互獨立，其分布密度函數(shù)各自為 求的密度函數(shù).解：的密度函數(shù)為，由于在時有非零值，在即時有非零值，故在時有非零值當(dāng)時，故第4章 隨機變量的數(shù)字特征一、填空題1、設(shè)為北方人的身高，為南方人的身高，則“北方人比南方人高”相當(dāng)于 2、設(shè)為今年

35、任一時刻天津的氣溫，為今年任一時刻北京的氣溫，則今年天津的氣溫變化比北京的大，相當(dāng)于 .3、已知隨機變量服從二項分布，且，則二項分布的參數(shù)n= 6 , p= 0.4 .4、已知服從，則. = 1 ,= 1/2 .5、設(shè)的分布律為012則9/4 .6、設(shè)相互獨立，則協(xié)方差 0 . 這時，之間的相關(guān)系數(shù) 0 .7、若是隨機變量的相關(guān)系數(shù)，則的充要條件是.8、是隨機變量的相關(guān)系數(shù)，當(dāng)時，與 不相關(guān) ，當(dāng)時， 與 幾乎線性相關(guān) .9、若，且相互獨立，則 36 .10、若為常數(shù)，則.11、若相互獨立，則 0 .12、若隨機變量服從上的均勻分布，則 .13、若，則 12 ， 85 ， 37 .14、已知，

36、則 30 .15、若隨機變量的概率密度為，則 2 ， 1/3 .二、計算題1、五個零件中有1個次品，進(jìn)行不放回地檢查，每次取1個，直到查到次品為止。設(shè) 表示檢查次數(shù)，求平均檢查多少次能查到次品？ 解: 的分布律為:123451/51/51/51/51/5 (1+2+3+4+5)=3. 答：略2、某機攜有導(dǎo)彈3枚，各枚命中率為，現(xiàn)該機向同一目標(biāo)射擊、擊中為止，問平均射 擊幾次？ 解: 設(shè)為射擊次數(shù)，則的分布律為:123 答：略3、設(shè)的密度函數(shù)為，求、 解: 故 4、(拉普拉斯分布)的密度函數(shù)為，求. 、解: 故 5、設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù) 求 、. 解: 為連續(xù)型隨機變量， 為連續(xù)函數(shù). 可

37、解得; , .的概率密度 =0 令 ，則 6、一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)成，運轉(zhuǎn)中它們需調(diào)整的概率分別為0.1、0.2、0.3, 假設(shè)它們的狀態(tài)相互獨立，以表示同時需調(diào)整的部件數(shù)，求、解: 設(shè)表示第個部件需調(diào)整，=1,2,3 則 故 7、對圓的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間內(nèi)，求圓面積的數(shù)學(xué)期望.解: 因為，所以的密度 設(shè)=“圓面積”，則 =，所以.8、設(shè)隨機變量、，求、.解: 顯然 所以 . 123-10.20.1000.100.310.10.10.19、設(shè)的分布律為求 .解: 10、已知隨機變量的概率密度為求的概率密度解: 所以 所以 11、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為 求. 解: ： =.12

38、、設(shè)隨機變量和相互獨立，且，求 . 解: 13、設(shè) 二 維 隨 機 變 量 的 均 值、存 在 ，證 明 ： 。 證：因為 所以 14、證 明 ： 如 果 隨 機 變 量 與 相 互 獨 立 ， 且， 存 在 ， 則 證： 15、設(shè)區(qū)域為，二維隨機變量服從上的均勻分布，判斷、 的相關(guān)性、獨立性.解: 顯然，二維隨機變量的概率密度函數(shù)為 所以 因此 同樣可得 又 所以 故、不相關(guān)，但由于 所以與不相互獨立.16、設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布律為 驗證不相關(guān)，但不相互獨立. 證：因為 所以 故不相關(guān).又 ， 所以 故不相互獨立.17、設(shè)隨機變量具有概率密度求. 解： 由的“對稱性”可得 .又 所以 .又

39、 由的“對稱性”可得 所以 故 18、已 知 隨 機 變 量 ， 不 相 關(guān) ， 都 具 有 零 期 望 值 及 方 差 為 1 ， 令，試 求 。解： 19、設(shè)相互獨立求的相關(guān)系數(shù). (其中是不為0的常數(shù))解： 因為相互獨立，所以 所以 . 第 5 章 大數(shù)定律與中心極限定理一、 填空題：1.設(shè)隨機變量，方差，則由切比雪夫不等式有 .2.設(shè)是n個相互獨立同分布的隨機變量，對于，寫出所滿足的切彼雪夫不等式 ，并估計 .3. 設(shè)隨機變量相互獨立且同分布, 而且有, , 令, 則對任意給定的, 由切比雪夫不等式直接可得 .解：切比雪夫不等式指出：如果隨機變量滿足：與都存在, 則對任意給定的, 有,

40、 或者由于隨機變量相互獨立且同分布, 而且有 所以4. 設(shè)隨機變量X滿足：, 則由切比雪夫不等式, 有. 解：切比雪夫不等式為：設(shè)隨機變量X滿足, 則對任意 的, 有由此得5、設(shè)隨機變量，則 .6、設(shè)為相互獨立的隨機變量序列，且服從參數(shù)為的泊松分布，則 . 7、設(shè)表示n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則 .8. 設(shè)隨機變量, 服從二項分布, 其中, 那么, 對于任 一實數(shù)x, 有 0 .9. 設(shè)為隨機變量序列,為常數(shù), 則依概率收斂于是指 1 ,或 0 。10. 設(shè)供電站電網(wǎng)有100盞電燈, 夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8. 假設(shè)每盞燈開關(guān)是相 互獨立的, 若

41、隨機變量X為100盞燈中開著的燈數(shù), 則由切比雪夫不等式估計, X落 在75至85之間的概率不小于. 解：, 于是 二計算題：1、在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計，在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率. 解：設(shè)表示1000次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則2、一通信系統(tǒng)擁有50臺相互獨立起作用的交換機. 在系統(tǒng)運行期間, 每臺交換機能清晰接受信號的概率為0.90. 系統(tǒng)正常工作時, 要求能清晰接受信號的交換機至少45臺. 求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設(shè)X表示系統(tǒng)運行期間能清晰接受信號的交換機臺數(shù), 則由此 P(通信系統(tǒng)能正常工作

42、)3、某微機系統(tǒng)有120個終端, 每個終端有5%的時間在使用, 若各終端使用與否是相互獨立 的, 試求有不少于10個終端在使用的概率. 解：某時刻所使用的終端數(shù)7由棣莫弗拉普拉斯定理知4、某校共有4900個學(xué)生, 已知每天晚上每個學(xué)生到閱覽室去學(xué)習(xí)的概率為0.1, 問閱覽室 要準(zhǔn)備多少個座位, 才能以99%的概率保證每個去閱覽室的學(xué)生都有座位.解：設(shè)去閱覽室學(xué)習(xí)的人數(shù)為, 要準(zhǔn)備k個座位.查分布表可得 要準(zhǔn)備539個座位,才能以99%的概率保證每個去閱覽室學(xué)習(xí)的學(xué)生都有座位.5隨機地擲六顆骰子 ，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙嫞毫w骰子出現(xiàn)的點數(shù)總和不小于9且不超過33點的概率。 解：設(shè) h表 示

43、六 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) 總 和。 xi，表 示 第 i 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) ，i = 1，2，6 x1， x2， ，x6 相 互 獨 立 ， 顯 然 6. 設(shè)隨機變量 相互獨立，且均服從指數(shù)分布 為 使 ， 問： 的最小值應(yīng)如何 ？解: 由 切 比 雪 夫 不 等 式 得 即 , 從 而 n ³ 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000 7抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品次品率為10%，問至少應(yīng)抽取多少個產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9?解： 設(shè)n為至少應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù)，是其中的次品數(shù)，則，而所以由

44、中心極限定理知，當(dāng)n充分大時，有， 由查表得 8(1)一個復(fù)雜系統(tǒng)由100個相互獨立的元件組成，在系統(tǒng)運行期間每個元件損壞的概率為0.1，又知為使系統(tǒng)正常運行，至少必需要有85個元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假設(shè)有n個相互獨立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運行，問n至少為多大時才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95?解：(1)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則，由中心極限定理可知(2)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則 9一部件包括10部分，每部分的長度是一隨機變量，相互獨立且具有同一分布，其數(shù)學(xué)期望為2 mm ，均方差為0.05 mm，規(guī)定總長度為20

45、± 0.1 mm 時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。解：設(shè) 每 個 部 分 的 長 度 為 Xi ( i = 1, 2, , 10 ) E ( Xi ) = 2 = m, D( Xi ) = s2 = ( 0.05 ) 2 ,依題意 ，得合格品的概率為 10計算機在進(jìn)行加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計算，設(shè)所有取整誤差是相 互獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間0.5，0.5 上服從均勻分布，求1200個數(shù)相加時誤 差總和的絕對值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：設(shè) x1 ， x2 ， xn 表示取整誤差, 因它們在 0.5 ，0.