容斥原理題庫教師版

1、7-7 容斥原理教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個方面的應(yīng)用知識精講知識點(diǎn)說明一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計(jì)算求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，用式子可表示成：(其中符號“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積圖示如下:表示小圓部分，表

2、示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積1先包含重疊部分計(jì)算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重疊部分減去 包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個集合的并集的元素的個數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合的元素個數(shù)，然后加起來，即先求(意思是把的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個數(shù))二、三量重疊問題類、類與類元素個數(shù)的總和類元素的個數(shù)類元素個數(shù)類元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)同時是類、類、類的元素個數(shù)用符號表示為：圖示如下：圖中小圓表示的元素的個數(shù)，中

3、圓表示的元素的個數(shù)，大圓表示的元素的個數(shù)1先包含：重疊部分、重疊了次，多加了次2再排除：重疊部分重疊了次，但是在進(jìn)行 計(jì)算時都被減掉了3再包含：在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考例題精講板塊一、兩量重疊問題【例 1】 兩張長厘米，寬厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為厘米的正方形，如果利用兩個的長方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了所以，被覆蓋面積長方形面積之和-重

4、疊部分于是，被覆蓋面積(平方厘米)【鞏固】 把長厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條已知焊接部分長厘米，焊接后這根鐵條有多長？【解析】 因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(厘米)【鞏固】 把長厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條已知焊接部分長厘米，焊接后這根鐵條有多長？【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長：(厘米)【例 2】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級二班，參加語文興趣小組的有人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有人，有人兩個小組都參加這個班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組？【解析】 如圖所示，圓表示參加語文興趣小組的人，圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，

5、與重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的人圖中圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語文興趣小組的人，有(人)方法一：由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：(人) 方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得： 參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個小組都參加的人，即：(人)【鞏固】 芳草地小學(xué)四年級有人學(xué)鋼琴，人學(xué)畫畫，人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人？【解析】 解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時注意把不同的對象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清

6、楚建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義如圖，圓表示學(xué)畫畫的人，圓表示學(xué)鋼琴的人，表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人，圖中圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：(人)，圖中圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：(人)【例 3】 一個班人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語文作業(yè)的有人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人這些人中語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？【解析】 不妨用下圖來表示： 線段表示全班人數(shù)，線段表示做完語文作業(yè)的人數(shù)，線段表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重疊部分則表示語文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù)根據(jù)題意，做完語文作

7、業(yè)的有人，即做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人，即 (人) (人) 式減式，就有(人)所以，數(shù)學(xué)、語文作業(yè)都做完的有人【鞏固】 四年級科技活動組共有人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有人每個同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動問：同時完成這兩項(xiàng)活動的同學(xué)有多少人？【解析】 因，所以必有人同時完成了這兩項(xiàng)活動由于每個同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動，根據(jù)包含排除法知，(完成了兩項(xiàng)活動的人數(shù))全組人數(shù)，即(完成了兩項(xiàng)活動的人數(shù))由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動的人數(shù)為(人)也可畫圖分析【鞏固】 實(shí)驗(yàn)二校一個歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，

8、能表演跳舞的有18人，兩種都能表演的有7人這個表演隊(duì)共有多少人能登臺表演歌舞？【解析】 根據(jù)包含排除法，這個表演隊(duì)能登臺表演歌舞的人數(shù)為：(人)【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有人，參加軍棋比賽的有人，有人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個班參加棋類比賽的共有多少人？【解析】 如圖，圓表示參加象棋比賽的人，圓表示參加軍棋比賽的人，與重合的部分表示同時參加兩項(xiàng)比賽的人圖中圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加軍棋比賽不參加象棋比賽的人，有(人)由此得到參加棋類比賽的人有(人)或者根據(jù)包含排除法直接得：(人)【例 4】 (第二屆小學(xué)迎春杯

9、數(shù)學(xué)競賽)有位旅客，其中有人既不懂英語又不懂俄語，有人懂英語，人懂俄語問既懂英語又懂俄語的有多少人？ 【解析】 方法一：在人中懂英語或俄語的有：(人)又因?yàn)橛腥硕⒄Z，所以只懂俄語的有：(人)從位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人，剩下的 (人)就是既懂英語又懂俄語的旅客方法二：學(xué)會把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：(人)【鞏固】 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語文考試，其中語文得分分以上的人，數(shù)學(xué)得分分以上的人，兩門都不在分以上的有人問：兩門都在分以上的有多少人？【解析】 如圖，用長方形表示這名學(xué)生，圓表示語文得分分以上的人數(shù)，圓表示數(shù)學(xué)得分以上的人數(shù)，與重合的部分表示兩門都在分以上的人數(shù)，長方形內(nèi)

10、兩圓外的部分表示兩門都不在分以上的人數(shù)由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在分以上的人數(shù)與兩門都不在分以上的人數(shù)之和，則至少一門在分以上的人數(shù)為：(人)根據(jù)包含排除法，兩門都在分以上的人數(shù)為：(人)【鞏固】 某班共有人，參加美術(shù)小組的有人，參加音樂小組的有人，有人兩個小組都參加了這個班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？【解析】 已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個人數(shù)，就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù)根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個小組的總?cè)藬?shù)為(人)所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是(人)【鞏固】 四年級一班有人，其中

11、人參加了數(shù)學(xué)競賽，人參加了作文比賽，人兩項(xiàng)比賽都參加了一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加？【解析】 由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是：(人)，所以，兩項(xiàng)比賽都沒有參加的人數(shù)為：(人)【鞏固】 某次英語考試由兩部分組成，結(jié)果全班有人得滿分，第一部分有人做對，第二部分有人有錯，問兩部分都有錯的有多少人？【解析】 如圖，用長方形表示參加考試的人數(shù)，圓表示第一部分對的人數(shù)圓表示第二部分對的人數(shù)，長方形中陰影部分表示兩部分都有錯的人數(shù)已知第一部分對的有人，全對的有人，可知只對第一部分的有：(人)又因?yàn)榈诙糠钟腥擞绣e，其中第一部分對第二部分有錯的有人，那么余下的(人)必是第一部分和第二部分均有錯的

12、，兩部分都有錯的有人【鞏固】 對全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會游泳的有人，會打籃球的有人兩項(xiàng)都會的有人，兩項(xiàng)都不會的有人這個班一共有多少人？【解析】 如圖，用長方形表示全班人數(shù)，圓表示會游泳的人數(shù)，圓表示會打籃球的人數(shù)，長方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會的人數(shù)由圖中可以看出，全班人數(shù)至少會一項(xiàng)的人數(shù)兩項(xiàng)都不會的人數(shù)，至少會一項(xiàng)的人數(shù)為：(人)，全班人數(shù)為： (人)【例 5】 在人參加的采摘活動中，只采了櫻桃的有人，既采了櫻桃又采了杏的有人，既沒采櫻桃又沒采杏的有人，問：只采了杏的有多少人？【解析】 如圖，用長方形表示全體采摘人員人，圓表示采了櫻桃的人數(shù)，圓表示采了杏的人數(shù)長方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采

13、杏的人數(shù)由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：(人)，而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：(人)【例 6】 甲、乙、丙三個小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中塊玻璃不是甲組擦的，塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了塊玻璃那么，甲、乙、丙三個小組各擦了多少塊玻璃？【解析】 68塊玻璃不是甲組擦的，說明這塊玻璃是乙、丙兩組擦的；塊玻璃不是乙組擦的，說明這塊玻璃是甲、丙兩組擦的如圖，用圓表示乙、丙兩組擦的塊玻璃，圓表示甲、丙兩組擦的塊玻璃因甲乙兩組共擦了塊玻璃，那么(塊)，這是兩個丙組擦的玻璃

14、數(shù)(塊)丙組擦了塊玻璃乙組擦了：(塊)玻璃，甲組擦了：(塊)玻璃【鞏固】 育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的，五、六年級共展出25幅畫，其他年級的畫共有多少幅？【解析】 通過16幅畫不是六年級的可以知道，五年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是16，通過15幅畫不是五年級的可以知道六年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是15，那也就是說五年級的畫比六年級多1幅，我們還知道五、六年級共展出25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級畫作有13幅，六年級畫作有12幅，那么久可以求出其他年級的畫作共有3幅【例 7】 一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，甲答錯題目總數(shù)的，乙答錯3道題，兩人都答錯的題目是題目總

15、數(shù)的。求甲、乙都答對的題目數(shù).【解析】 (法一)設(shè)共有n道題。由右圖知d即為所求，并有關(guān)系式由知,n是4和6的公倍數(shù)，即12的倍數(shù)。將代入，有， 由于b是非負(fù)整數(shù)，所以n=12，由此求出c=2，b=1，a=1.又由a+b+c+d=n，得到d=n-（a+b+c)=8（法二）顯然兩人都答錯的題目不多于3道，所以題目總數(shù)只可能是6、12、18，其中只有12，能使甲答錯題目總數(shù)是整數(shù).【例 8】 在的全部自然數(shù)中，不是的倍數(shù)也不是的倍數(shù)的數(shù)有多少個？【解析】 如圖，用長方形表示的全部自然數(shù)，圓表示中的倍數(shù)，圓表示中的倍數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是的倍數(shù)也不是的倍數(shù)的數(shù)由可知，中的倍數(shù)有個；由可知

16、，中的倍數(shù)有個；由可知，既是的倍數(shù)又是的倍數(shù)的數(shù)有個由包含排除法，或的倍數(shù)有：(個)從而不是的倍數(shù)也不是的倍數(shù)的數(shù)有(個)【鞏固】 在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個?【解析】 11000之間，5的倍數(shù)有=200個，7的倍數(shù)有=142個，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)的數(shù)一定是35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有=28個所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個【鞏固】 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)?！窘馕觥?記 A：1100中3的倍數(shù)，有33個；B：1100中7的倍數(shù)，有14個；：1100中3和7的公倍數(shù)，

17、即21的倍數(shù)，有4個。依據(jù)公式，1100中3的倍數(shù)或7的倍數(shù)共有個，則能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)為43個.【鞏固】 50名同學(xué)面向老師站成一行老師先讓大家從左至右按1，2，3，49，50依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)問：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名?【解析】 在轉(zhuǎn)過兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類：第一類是標(biāo)號既不是4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)150之間，4的倍數(shù)有=12,6的倍數(shù)有=8，即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以有=4于是，第一類同學(xué)有50-12-8+4=34人，第二類同學(xué)有4人，所以現(xiàn)在共有

18、34+4=38名同學(xué)面向老師【鞏固】 在游藝會上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎券按獎券標(biāo)簽號發(fā)放獎品的規(guī)則如下：（1）標(biāo)簽號為2的倍數(shù)，獎2支鉛筆；（2）標(biāo)簽號為3的倍數(shù)，獎3支鉛筆；（3）標(biāo)簽號既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎；（4）其他標(biāo)簽號均獎1支鉛筆那么游藝會為該項(xiàng)活動準(zhǔn)備的獎品鉛筆共有多少支?【解析】 1100，2的倍數(shù)有=50，3的倍數(shù)有=33個，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)一定是6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有=16個于是，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)在1100中有100-50-33+16=33所以，游藝會為該項(xiàng)活動準(zhǔn)備的獎品鉛筆共有：50×

19、;2+33×3+33×1=232支.板塊二、三量重疊問題【例 9】 某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有人，手中有黃旗的共有人，手中有藍(lán)旗的共有人其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有人而手中只有紅、黃兩種小旗的有人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有人，那么這個班共有多少人？【解析】 如圖，用圓表示手中有紅旗的，圓表示手中有黃旗的，圓表示手中有藍(lán)旗的如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為： (人)【鞏固】 某

20、班有人，其中人愛打籃球，人愛打排球，人愛踢足球，人既愛打籃球又愛踢足球，人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好問：既愛打籃球又愛打排球的有幾人？【解析】 由于全班人沒有一個人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有人根據(jù)包含排除法，既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)，得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)為：(人)【例 10】 四年級一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的35倍，又是3項(xiàng)活動都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的2倍，既參

21、加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有10人求參加文藝小組的人數(shù)【解析】 設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A，參加語文小組的學(xué)生組成集合B，參加文藝小組的學(xué)生組成集合G三者都參加的學(xué)生有z人有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10因?yàn)?，所?6=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都參加的有3人那么參加文藝小組的有37=21人【鞏固】 五年級三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組

22、的有9人，語文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人求這個班的學(xué)生人數(shù)【解析】 設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人組成集合C =25，=35，=27，=12， =8，=9， =4.=.所以，這個班中至少參加一項(xiàng)活動的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個班每人至少參加一項(xiàng)即這個班有62人【鞏固】 五年級三班有46名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5倍，又是三項(xiàng)活動都參加人數(shù)的7倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)相當(dāng)于三項(xiàng)都參加人數(shù)

23、的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10人，求參加朗誦小組的人數(shù)?！窘馕觥?設(shè)三項(xiàng)都參加的人數(shù)有X人，則參加朗誦小組的人數(shù)為7X人，參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為2X人，參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)為2X人，于是有46=（24+20+7X-2X-2X-10+X），解得X=3,所以參加朗誦小組的人數(shù)為21人。【例 11】 三個面積均為平方厘米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是平方厘米三個紙片蓋住桌面的總面積是厘米問：圖中陰影部分面積之和是多少？【解析】 將圖中的三個圓標(biāo)上、根據(jù)包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積(圓面積圓面積圓面積與重合部分面積與重合部分面積與重合

24、部分面積三個紙片共同重疊的面積，得：與重合部分面積與重合部分面積與重合部分面積，得到、三個圓兩兩重合面積之和為：平方厘米，而這個面積對應(yīng)于圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：陰影部分面積，則陰影部分面積為：(平方厘米)【鞏固】 如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73求陰影部分的面積【解析】 設(shè)甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(部分面積)為2那么只是甲與乙()，

25、乙與丙()，甲與丙()的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(、部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58【例 12】 如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等于60平方厘米陰影部分的面積總和是40平方厘米，3張板蓋住的總面積是100平方厘米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？【解析】 陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計(jì)算兩次，而三張紙重疊部分是被計(jì)算了三次所以三張紙重疊部分的面積(平方厘米)【鞏固】 如圖所示，、分別是面積為、的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為若與、與的公共部分的面積分別為、，、這三張紙片的公共部分為求與公

26、共部分的面積是多少？【解析】 設(shè)與公共部分的面積為，由包含與排除原理可得： 先“包含”：把圖形、的面積相加：，那么每兩個圖形的公共部分的面積都重復(fù)計(jì)算了次，因此要排除掉 再“排除”：，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補(bǔ)回 再“包含”：，這就是三張紙片覆蓋的面積根據(jù)上面的分析得：，解得：【例 13】 在某個風(fēng)和日麗的日子，個同學(xué)相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中個人帶了漢堡，個人帶了雞腿，個人帶了芝士蛋糕，有個人既帶了漢堡又帶了雞腿，個人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕個人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問： 三種都帶了的有幾人？ 只帶了一種的有幾個？【解析】 如圖，用圓表示帶漢堡的人，圓表示

27、帶雞腿的人，圓表示帶芝士蛋糕的人 根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋糕的人數(shù)帶漢堡、雞腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)三種都帶了的人數(shù)，即三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：(人) 求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即(人)只帶了一種的有人【鞏固】 盛夏的一天，有個同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂、雪碧、橙汁的各有人；可樂、雪碧都要的有人；可樂、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三樣都要的只有人，證明其中一定有人這三種飲料都沒有要【解析】 根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)(要可樂的人數(shù)要雪碧的人數(shù)

28、要橙汁的人數(shù))(要可樂、雪碧的人數(shù)要可樂、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙汁的人數(shù))三種都要的人數(shù)，即至少要了一種飲料的人數(shù)為：(人)(人)，所以其中有人這三種飲料都沒有要【例 14】 (2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)新年聯(lián)歡會上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時參加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有_人【鞏固】 設(shè)只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為，由人沒有參加

29、演奏、人同時參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為人，即，得，所以只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為人，又由“同時參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少人”，得到同時參加三項(xiàng)的有人，所以參加了合唱的人中“同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”有：人【鞏固】 五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語文、自然課外小組中的一個。其中僅參加數(shù)學(xué)與語文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒有同學(xué)僅參加語文或僅參加自然小組，恰有6個同學(xué)參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語文小組，僅參加語文與自然小組的人數(shù)是3個小組全參加的人數(shù)的5倍，并且知道3個小組全參加的人數(shù)是一個不為0的偶數(shù)

30、，那么僅參加數(shù)學(xué)和語文小組的人有多少人？【解析】 參加3個小組的人數(shù)是一個不為0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于4，那么僅參加語文與自然小組的人數(shù)則大于等于20，而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個，這樣至少應(yīng)有30人，與題意矛盾，所以參加3個小組的人數(shù)為2。僅參加語文與自然小組的人數(shù)為10，于是僅參加語文與自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個小組的人數(shù)一共是18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語文以及僅參加數(shù)學(xué)的。由于這兩個人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語文小組的有5人。【鞏固】 某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個項(xiàng)目，已知參加長跑、跳高、標(biāo)槍三個項(xiàng)目的人數(shù)分別為10、15、20人，長跑、跳

31、高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？【解析】 由條件可知，參加長跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組： 由條件可知，參加長跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人 參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組：

32、將3條等式相加則有2（x+y+z）+3n=9，由這個等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時x、y、z中會出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以n=1，這樣可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到這個學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.將3條等式相加則有2（x+y+z）+3n=9，由這個等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時x、y、z中會出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以n=1，這樣可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到這個學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.【例 15】 全班有個學(xué)生，其中人會騎自行車，人

33、會游泳，人會滑冰，這三個運(yùn)動項(xiàng)目沒有人全會，至少會這三項(xiàng)運(yùn)動之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有個人數(shù)學(xué)不及格，那么， 數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有幾個學(xué)生？ 有幾個人既會游泳，又會滑冰？【解析】 有個數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：(人)，即最多不會超過人會這三項(xiàng)運(yùn)動之一而又因?yàn)闆]人全會這三項(xiàng)運(yùn)動，那么，最少也會有：(人)至少會這三項(xiàng)運(yùn)動之一于是，至少會三項(xiàng)運(yùn)動之一的只能是人，而這人又不是優(yōu)秀，說明全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以沒有數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的 上面分析可知，及格的人中，每人都會兩項(xiàng)運(yùn)動：會騎車的一定有一部分會游泳，一部分會滑冰；會游泳的人中若不會騎車就一定會滑冰，而會滑冰的人中若不會

34、騎車就一定會游泳，但既會游泳又會滑冰的人一定不會騎自行車所以，全班有(人)既會游泳又會滑冰【鞏固】 五年級一班共有人，每人參加一個興趣小組，共有、五個小組，若參加組的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只有人那么，參加組的有_人【解析】 參加，三組的總?cè)藬?shù)是(人)，每組至少人，當(dāng)，每組 人時，組為人，不符合題意，所以參加組的有(人)【例 16】 以105為分母的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個？它們的和為多少？【解析】 以105為分母的最簡真分?jǐn)?shù)的分子與105互質(zhì)，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍數(shù)的數(shù)有多少個，3的倍數(shù)有35個，

35、5的倍數(shù)有21個，7的倍數(shù)有15個，15的倍數(shù)有7個，21的倍數(shù)有5個，35的倍數(shù)有3個，105的倍數(shù)有1個，所以105以內(nèi)與105互質(zhì)的數(shù)有105-35-21-15+7+5+3-1=48個，顯然如果n與105互質(zhì)，那么（105-n）與n互質(zhì)，所以以105為分母的48個最簡真分?jǐn)?shù)可兩個兩個湊成1，所以它們的和為24.【鞏固】 分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)有多少個？并求這些真分?jǐn)?shù)的和.【解析】 385=5×7×11，不超過385的正整數(shù)中被5整除的數(shù)有77個；被7整除的數(shù)有55個；被11整除的數(shù)有35個；被77整除的數(shù)有5個；被35整除的數(shù)有11個；被55整除的數(shù)有7個；被385

36、整除的數(shù)有1個；最簡真分?jǐn)?shù)的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.對于某個分?jǐn)?shù)a/385如果是最簡真分?jǐn)?shù)的話，那么（385-a）/385也是最簡真分?jǐn)?shù)，所以最簡真分?jǐn)?shù)可以每兩個湊成整數(shù)1，所以這些真分?jǐn)?shù)的和為120.【例 17】 (2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)在1至2008這2008個自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有 個【解析】 1到2008這2008個自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有個，3和7的倍數(shù)有個，5和7的倍數(shù)有個，3、5和7的倍數(shù)有個所以，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的共有個【鞏固】 有2000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號為1，2

37、，3，2000，然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？【解析】 三次拉完后，亮著的燈包括不是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)以及是6、10、15的倍數(shù)但不是30的倍數(shù)的數(shù)。12000這2000個正整數(shù)中，2的倍數(shù)有1000個，3的倍數(shù)有666個，5的倍數(shù)有400個，6的倍數(shù)有333個，10的倍數(shù)有200個，15的倍數(shù)有133個，30的倍數(shù)有66個，亮著的燈一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盞?！眷柟獭?在從1到1998的自然數(shù)中，能被2整

38、除，但不能被3或7整除的數(shù)有多少個？【解析】 表示取商的整數(shù)部分例如，要注意的是，符號與、符號一樣，也是一種運(yùn)算，叫取整運(yùn)算本題中，先求出能被2整除的數(shù)有多少個，再分別求出能被2和3、能被2和7分別整除的數(shù)的個數(shù)，那么用能被2整除的數(shù)的個數(shù)減去能被2和3整除的數(shù)的個數(shù)，再減去能被2和7整除的數(shù)的個數(shù)，所得的差是不是所求的得數(shù)呢？仔細(xì)想想你會發(fā)現(xiàn)不是的，因?yàn)樗鄿p了能同時被2、3、7整除的數(shù)故能被2整除的有：(個)能被2和3同時整除的有：(個)能被2和7同時整除的有：能被2、3、7同時整除的有：(個)所以，能被2整除，但不能被3或7整除的數(shù)有(個)課后練習(xí)練習(xí)1. 一個長方形長厘米，寬厘米，另一個長方形長厘米，寬厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長厘米的正方形，求這個組合圖形的面積【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為厘米的正方形，如果利用兩個長方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了所以，組合圖形的面積長方形面積之和重疊部分于是，組合圖形的面積(平方厘米)練習(xí)2. 科技活動小組有人在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有人每個同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制