數(shù)列大題訓(xùn)練50題

1、數(shù)列大題訓(xùn)練50題1 數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式； （2）求和Tn =.2 已知數(shù)列，a1=1，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）函數(shù)，求函數(shù)最小值.3 已知函數(shù) (a，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（1，）和Q（4，8）(1) 求函數(shù)的解析式；(2) 記an=log2,n是正整數(shù)，是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求的最小值。4 已知yf(x)為一次函數(shù)，且f(2)、f(5)、f(4)成等比數(shù)列，f(8)15 求f(1)f(2)f(n)的表達(dá)式5 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中是不等于和0的實(shí)常數(shù).（1）求證: 為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，試寫出 的通項(xiàng)公式，并求的結(jié)果.

2、6 在平面直角坐標(biāo)系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*)，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)Bn(n,bn) (nN*)都在斜率為6的同一條直線上.(1)試用a1,b1與n來表示an;(2)設(shè)a1=a,b1=-a,且120，且a2、a5、a14分別是等比數(shù)列bn的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng).()求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)an、bn;()設(shè)數(shù)列cn對任意的nN*，均有+an+1成立，求c1+c2+c2005的值.20已知數(shù)列滿足，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和，求證：。21設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為=2n2，bn為等比數(shù)列，且a1=b1

3、，b2(a2 a1) =b1。（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=, 求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.22已知函數(shù)與函數(shù)0)的圖象關(guān)于對稱.(1) 求;(2) 若無窮數(shù)列滿足,且點(diǎn)均在函數(shù)上,求的值,并求數(shù)列的所有項(xiàng)的和(即前項(xiàng)和的極限)。23已知函數(shù)（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和24已知數(shù)列和滿足：，（），且是以為公比的等比數(shù)列（I）證明：；（II）若，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：25已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中n=1，2，3，（1）證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2）設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) (

4、1+an)，求數(shù)列an的通項(xiàng)及Tn；26等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且a1，a3，a9成等比數(shù)列， (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和27已知向量且.若與共線,（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.28已知：數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.29對負(fù)整數(shù)a，數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.（1）求a的值；（2）若數(shù)列滿足首項(xiàng)為，令，求的通項(xiàng)公式；若對任意，求取值范圍.30數(shù)列（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若31已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

5、（）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；32已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足（）判斷是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論； （）求Sn和an20070209（）求證：33若和分別表示數(shù)列和的前項(xiàng)和，對任意正整數(shù)有。（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)集合，若等差數(shù)列的任一項(xiàng)是的最大數(shù)，且，求的通項(xiàng)公式。34已知點(diǎn)列在直線l：y = 2x + 1上，P1為直線l與 y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列an的公差為 （）求an、bn的通項(xiàng)公式；（），求和：C2 + C3 + +Cn；（）若，且d1 = 1，求證數(shù)列為等比數(shù)列：求dn的通項(xiàng)公式 35已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)

6、列滿足.（）求證：數(shù)列成等差數(shù)列；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（）若對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍36已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn（），且（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求an；（3）若，求證：37已知（）當(dāng)，時(shí)，問分別取何值時(shí)，函數(shù)取得最大值和最小值，并求出相應(yīng)的最大值和最小值；（）若在R上恒為增函數(shù)，試求的取值范圍;（）已知常數(shù)，數(shù)列滿足,試探求的值，使得數(shù)列成等差數(shù)列38在數(shù)列（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求證：39設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋覍θ我庹龑?shí)數(shù)x，y都有恒成立，已知（1）求的值；（2）判斷上單調(diào)性；（3）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足：其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求Sn

7、與an的值.40已知定義在（1,1）上的函數(shù)f (x)滿足，且對x,y時(shí)，有。（I）判斷在(1，1)上的奇偶性，并證明之； （II）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，問是否存在正整數(shù)m，使得對任意的，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說明理由。41已知，且（1）求的表達(dá)式；（2）若關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間（-，-1上的最小值為12，求的值。42設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，記?nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為 。（整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若對于一切的正整數(shù)n，總有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。43在數(shù)列中，其中 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式

8、；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明存在，使得對任意均成立 44設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且（I）求an及bn的通項(xiàng)公式an和bn.（II）若成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（III）若對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，求正數(shù)a的取值范圍. 45函數(shù)的最小值為且數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；（）若，求數(shù)列的最大項(xiàng)46設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前項(xiàng)的和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；數(shù)列滿足其中求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；設(shè)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)的和（） 47設(shè)數(shù)列；（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比求數(shù)列的通項(xiàng)公

9、式；（3）記；48已知二次函數(shù)滿足，且對一切實(shí)數(shù)恒成立.（1）求 （2）求的表達(dá)式；（3）求證：.49在數(shù)列中，（）若對于，均有成立，求的值； （）若對于，均有成立，求的取值范圍； （）請你構(gòu)造一個(gè)無窮數(shù)列，使其滿足下列兩個(gè)條件，并加以證明： ； 當(dāng)為中的任意一項(xiàng)時(shí)，中必有某一項(xiàng)的值為1.50對任意都有（）求和的值（）數(shù)列滿足：=+，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請給予證明；（）令試比較與的大小數(shù)列大題訓(xùn)練50題參考答案1 解：（1） ，兩式相減，得， ，. （2） =. 2 解 （1）在直線xy+1=0上， 故是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列. （2） 的最小值是 3 解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=abx(

10、a,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，Q則有 (2)an = log2(n) = log2 = 2n - 5 因?yàn)閍n+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ;所以an是首項(xiàng)為-3，公差為 2的等差數(shù)列 所以 當(dāng)n=2時(shí)，取最小值 - 4 4 解：設(shè)yf(x)kxb( k0)，則f(2)2kb，f(5)5kb，f(4)4kb，依題意：f(5)2f(2)f(4)即：(5kb)2(2kb)(4kb)，化簡得k(17k4b)0k0，bk 又f(8)8kb15 將代入得k4，b17 Snf(1)f(2)f(n)(4117)(4217)(4n17)4(12n)17n2n215n 5 （

11、1），所以是等比數(shù)列（2），所以是等差數(shù)列（3）6 解：(1)點(diǎn)Bn(n,bn)(nN*)都在斜率為6的同一條直線上，=6，即bn+1-bn=6,于是數(shù)列bn是等差數(shù)列，故bn=b1+6(n-1). 共線.1(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn 當(dāng)n2時(shí)，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+bn-1=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立.所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).(2)把a(bǔ)1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2

12、)=3n2-(9+a)n+6+2a.120且bn的最大值為; 當(dāng)n1005時(shí),g（n）1;當(dāng)n1006時(shí),g（n）單調(diào)遞增且gmin（n）g（1006）3此時(shí)bn0且bn的最大值為;綜上：bn的最大值為,最小值為112（1） 等差數(shù)列 （2）錯(cuò)位相減，13（I）由已知，得 作差，得。又因?yàn)檎龜?shù)數(shù)列，所以，由，得（II），所以=14解：（1）2an+12an+an+1an=0 an0, 兩邊同除an+1an 數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列 （2）=an1=bn=f(an1)=f()=n+6 (nN)（3） n+6 (n6, nN)= n6 (n6, nN) (n6, nN) Sn= (n6,

13、nN) 15（1） （2）n=5，6，7，8，9 16解：（1）當(dāng)時(shí)， ， 數(shù)列為等差數(shù)列 （2）由（1）知， 當(dāng)時(shí)， 17解：（1）點(diǎn)都在斜率為6的同一條直線上，于是數(shù)列是等差數(shù)列，故 （2）共線，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立. 所以 （3）把代入上式，得，當(dāng)n=4時(shí)，取最小值，最小值為18解：（）當(dāng)時(shí)， . ， (n. ，得 ，整理得， . ，即. 故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列. . （） ， . 19解：()由題意，有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.而a1=1,d0.d=2,an=2n-1.公比q=3,a2=b2=3.bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1.()當(dāng)n

14、=1時(shí)，=a2,c1=13=3.當(dāng)n2時(shí)，,得cn=2bn= cn=c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004) =3+2 20(1) 21解：（1）當(dāng)n=1時(shí) ，a1=S1=2；當(dāng)n2時(shí)，an=Sn Sn1=2n2 2(n1)2=4n2.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=4n2，公差d=4.設(shè)bn的公比為q，則b1qd= b1，d=4，q=.bn=b1qn1=2=,即數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式bn=。（2）Tn=1+341+542+(2n1)4n14Tn=14+342+543+(2n1)4n兩式相減得3Tn=12（41+42+43+4n1）+(2n1)4n=Tn=22(1)(2)

15、 在上 ,當(dāng)時(shí) 等比且公比為,首項(xiàng)為 等比公比為,首項(xiàng)為1 ,所以的各項(xiàng)和為23解：（1）由已知得：是首項(xiàng)為1，公差d=3的等差數(shù)列（2）由24解法：（I）證：由，有， （II）證：，是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）得，于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故25解：（1）由已知，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列. （2）由（1）知 = 26(1)解：設(shè)數(shù)列公差為d(d0)a1，a3，a9成等比數(shù)列，即 整理得： ， 由得：， (2) 27(1) 取得 得：中的奇數(shù)項(xiàng)是以為前項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以的前項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，28（）驗(yàn)證n=1時(shí)也滿足上式

16、：（）29（1） 又（2）又 即而30解（1）由題意知：是等比數(shù)列（2）由（1）知數(shù)列以是a2a1=3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以故a2a1=320，所以a3a2=321，a4a3=322，所以（3）設(shè)2得：31解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，

17、所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.32解證：（） 當(dāng)n2時(shí)， 故是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列. （）由（）得 當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)， （）33解：（1），數(shù)列是以為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，。（2）由，得。而當(dāng)時(shí)，。（3）對任意，所以，即。是中的最大數(shù)，。設(shè)等差數(shù)列的公差為，則。， ，是一個(gè)以-12為公差的等差數(shù)列，。34解：（）在直線 P1為直線l與y軸的交點(diǎn)，P1（0，1） ， 又?jǐn)?shù)列的公差為1 （） （） 是以2為公比，4為首項(xiàng)的等比數(shù)列， 35解：（）由題意知， （ ） ， 數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)為（ ） （）,（ ）,于是兩式相減得 . （ ）（） ， （ ）當(dāng)時(shí)

18、，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值是 又對一切正整數(shù)n恒成立 即得或 36（1），又 數(shù)列是等差數(shù)列，且（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，不成立. （3），.左邊顯然成立.37解：（）當(dāng)時(shí)， （1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 綜上所述，當(dāng)或4時(shí)，；當(dāng)時(shí)， （） 在上恒為增函數(shù)的充要條件是，解得 （）， 當(dāng)時(shí)，即 （1）當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)， （2）（1）（2）得，n2時(shí)，即 又為等差數(shù)列， 此時(shí) 當(dāng)時(shí) ，即 若時(shí)，則（3），將（3）代入（1）得，對一切都成立另一方面，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，矛盾不符合題意，舍去. 綜合知，要使數(shù)列成等差數(shù)列，則 38（I）解：由從而由的等比數(shù)列故數(shù)列 （II） 39140解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。又當(dāng)x=0時(shí)，即。對任意時(shí)，都有。為奇函數(shù)。（II）滿足。在上是奇函數(shù)， ，即。是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。 （III）=。假設(shè)存在正整數(shù)m，使得對任意的，有成立，即對恒在立。只需，即故存在正整數(shù)m，使得對，有成立。此時(shí)m的最小值為10。41解（1）（2），。當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（-,-1上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，即，又,該方程沒有整數(shù)解； 當(dāng)，即時(shí)，解得或（舍去）綜上所述，為所求的值42解：（I）由，得或內(nèi)的整點(diǎn)在直線和上，記直線為l，l與直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則 （II）當(dāng)時(shí)，且是數(shù)列中