最新武漢大學(xué)數(shù)值分析

1、1 .填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1 .設(shè)有節(jié)點(diǎn)X0, Xi,X2,其對應(yīng)的函數(shù)y = f（x）的值分別為y0,y1,y2,則二次拉格朗日插值基函數(shù)10（X）為 02 .設(shè)f （x ）=x2 ,則f （x ）關(guān)于節(jié)點(diǎn)Xo = 0 ,Xi = 1% =的二階向前差分 為 o1-1023 .設(shè) A = -1 1 -1 , x = 3 ,則（A|b, |X|1 0一。-1 1 J4 . n+1個節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精確度為。2 .簡答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）1 .哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計算穩(wěn)定？2 .什么是不動點(diǎn)迭代法？ （x ）滿足

2、什么條件才能保證不動點(diǎn)存在和不動點(diǎn)迭代序列收斂于平（x ）的不動點(diǎn)？3 .設(shè)n階矩陣A具有n個特征值且滿足 之同 卻以%| ,請簡單說明 求解矩陣A的主特征值和特征向量的算法及流程。3 .求一個次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式F3（x）,滿足下列插值條件：Xi123y2412y3并估計誤差。（10分）1 1四.試用n =1,2,4的牛頓-科特斯求積公式計算定積分I =1,dx0（10分）01 x五.用Newton法求f （x） =x-cosx =0的近似解。（10分）六.試用Doolittle分解法求解方程組：25- 6 為 1 041 3 - 1 q |= 1 9 （10 分）-6 -3 - 6jLX3

3、3020x1 2x2 3x3 = 247 .請寫出雅可比迭代法求解線性方程組'X+8X2+X3=12的迭代格式，并t2x1 -3x2 15x3 =30判斷其是否收斂？ （ 10分）8 .就初值問題（ y'=，y考察歐拉顯式格式的收斂性。（10分）,y（0） = y°數(shù)值分析（A）卷標(biāo)準(zhǔn)答案（2009 2010 1）1 . 填空題（每小題3分，共12分）1. l0（x）=（x-Xl）（x-x2）, 2.7 ; 3. 3 , 8; 4. 2n+1。（X0 - x1 ）（x0 - x2）2 .簡答題（本大題共 3小題，每小題8分，共24分）1 .解：系數(shù)矩陣為對稱正定的方程

4、組可用平方根法。（4分）對于對稱正定陣 A,從備=£ ；可知對任意k < i有|lik |eJ£。即L的元素不會增大，誤差可控，不需選主元，所以穩(wěn)定。（4分）*2 .斛：（1）右x =9（x ）,則稱x為函數(shù)中（x）的不動點(diǎn)。（2分）（2）邛（x ）必須滿足下列三個條件，才能保證不動點(diǎn)存在和不動點(diǎn)迭代序列收斂于9（x）的不動點(diǎn)：1）中（x ）是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)；（2分）2）5（x ）的值域是定義域的子集；（2分）3）中（x/其定義域內(nèi)滿足李普希茲條件。（2分）3 .解：參照哥法求解主特征值的流程（8分）步1:輸入矩陣A,初始向量v0,誤差限&最大迭代次數(shù)

5、 N;步 2:置 k:=1,:=0 , u0=v0/|v0|0°步 3:計算 vk=Auk-1;”4,計算!卜喀并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk- |< 號計算，輸出 mk,uk;否則，轉(zhuǎn)6;步6:若k<N,置k:=k+1, :=mk,轉(zhuǎn)3;否則輸出計算失敗信息，停止解：(1)利用插值法加待定系數(shù)法：、E.I,一 2、僅 p2 (x )滿足 p2 (1 ) = 2, p2 (2 ) = 4, P2 (3 )=12,則 p2 (x )= 3x 7x + 6, (3 分)再設(shè) p3 x = p2 x K x-1 x -2 x -3K =2p3 x =

6、 2x3 -9x2 15x -6 &(x)=4；f(4KXx-1Xx-2)2(x-3)1四.解：應(yīng)用梯形公式得1ft：|1 =；f (0 )+ f (1 )1= 0.7511應(yīng)用辛普森公式得：I七I2 = f (0)+4f I1 +f(1) L J0 0.69444444應(yīng)用科特斯公式得：（3分）（1分）（1分）（2分）（2分）（1分）（2分）（1分）I 球 I4 =1,7f (0)+32f (1+ 12f e+32f f3+7f (1 J (2 分) 90 _424= 0.6931746（2 分）五.解：由零點(diǎn)定理， x cosx = 0在（0,三）內(nèi)有根。（2分）2由牛頓迭代格式x

7、n+=xn -x1 -C0Sxn n = 0,1,（4分）n n1 Sin xn冗取x0 =一得, 4x1 =0.73936133; x2 =0.739085178(3分)x3 =0.739085133 %=0.739085133一 * _ _故取 x ： x4 =0.73908513311分)六.解：對系數(shù)矩陣做三角分解:一25-6一10°】U1U12U13 1413-19=l 2110 1U22U23-3-6 1l31l321 JU33 -（2分）（4分）（2分）（2分）若 Ly =b,則 =10, y = 一1,y3 =4 ； 若Ux =y ,則 x = （3,2,1）T七.解

8、：（1）對于方程組，雅可比方法的迭代矩陣為00.5-0.5B =-10-1（2 分）：0.50.50j其特征多項(xiàng)式為det（AI B）=九（九2 +1.25）,且特征值為% =0,% =125i,=->125i（2 分）故有P（B ）=1.25>1 ,因而雅可比迭代法不收斂。（1分）（2）對于方程組，Gauss-Seidel迭代法迭代矩陣為00.5-0.5B = 0 -0.5 -0.5（2 分）：00-0.5 J其特征值為，1 =0, % = % = 0.5（2分）故有P（B ） = 0.5<1 ,因而雅可比迭代法收斂。（1分）八.證明題（本大題共2小題，每小題7分，共14分）1.證：該問題的精確解為 y（x） = yoe/x（2分）歐拉公式為yi書=y +h九yi = （1 +九h） yi（2分）對任意固定的 x=Xj=ih,有 yi = yo（1 + 九h）x/h = yo（1 + 兒h）"為d ,（2分）則 yoe'Xi = y（Xi）（1 分）2.證：牛頓迭