新課標七年級數(shù)學競賽培訓線段

1、第二十講 線段 平面幾何是研究平面圖形(plane flgure)的性質的一門學科，主要是研究平面圖形的形狀、大小及位置關系 構成平面圖形的基本元素是點和線，在線中，最簡單、最常見的就是線段、射線或直線，它們的概念、性質及畫圖是后續(xù)學習研究由線段所組成的比較復雜圖形(如三角形、四邊形等)的基礎 幾何中的線段、射線、直線等概念是從現(xiàn)實的相關形象中抽象而來，它們沒有了實物中那些諸如寬度、硬度、顏色之類的性質，但卻為現(xiàn)實問題的解決提供了有力的工具，使得許多問題的研究可以轉化為直觀、簡明的幾何圖形研究解決與線段相關的問題，常用到中點、代數(shù)化、枚舉與分類討論等相關概念與方法例題 【例1】 平面內兩兩相交

2、的6條直線，其交點個數(shù)最少為 個，最多為 個 ( “希望杯”邀請賽試題)思路點撥 畫圖探求，從簡單情形考慮，從特殊情形考慮 注：幾何原意是“測地術”，相傳起源于四千多年前的土地測量、面積計算、器皿制造、房屋建筑、天文歷算等實踐活動的需要，公元前三百年左右，古希臘數(shù)學家歐基里德總結和整理了前人和當時的幾何知識，寫成了巨著幾何原本 當今，幾何巳形成結構嚴密的科學體系，成為數(shù)學中的一個重要分支，是訓練邏輯思維能力與空間想象能力的最有效學科之一 求滿足一定條件的某種幾何圖形的個數(shù)叫幾何圖形的計數(shù)，常用到窮舉、歸納、逆推等方法，讀者思考以下典型問題：(1) 線段上有n個點(含兩個端點)共有多少條線段?

3、(2)n條直線兩兩相交的直線最多有幾個交點? (3)n條直線最多能把平面分成幾個區(qū)域? 【例2】 如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N是線段AC的中點，P為NA的中點，Q為MA的中點，則MN：PQ等于( ) A1 B2 C3 D4 (“五羊杯”邀請賽試題) 思路點撥 利用中點，設法把MN、PQ用含相同線段的代數(shù)式表示 【例3】 如圖，C是線段AB的中點，D是線段AC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為23，求線段AC的長度思路點撥 引人未知數(shù)，通過列方程求解 【例4】 攝制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行

4、駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息，司機說，再走從C市到這里路程的二分之一就到達目的地了，問A、B兩市相距多少千米? (“華杯賽”試題) 思路點撥 條件中只有路程，而沒有給出時間與速度，所以應當集中注意于名段路程之間的關系，畫線段圖分析，借助圖形思考 【例5】 (1)如圖a，已知A、B在直線l的兩側，在l上求一點P，使PA+PB最??； (2)如圖b，已知A、B在直線l的同側，在l上求一點P，使PA+PB最??； (3)如圖c，有一正方體的盒子ABCDA1B1ClDl，在盒子內的頂點A處有一只蜘蛛，而在對角的頂點C處有一只蒼蠅蜘蛛應沿著什么路徑爬行，才能在最短的時

5、間內捕捉到蒼蠅?(假設蒼蠅在Cl處不動)思路點撥 聯(lián)想到“兩點之間，線段最短”性質，通過對稱、考察特殊點等方法，化曲為直注： 恰當設元，運用方程思想，將線段、角的計算問題代數(shù)化，是解與線段、角相關計算問題的重要方法 數(shù)學既研究數(shù)，也研究形，許多數(shù)學問題既可以從代數(shù)角度來思考，也可以從形的角度加以解決 “謀定而后動”，解題方法的選擇建立在分析的基礎上，切忌“慌不擇路”，扎進“死胡同”分類思想是一種科學思想，在數(shù)學學習中的各階段都要運用到，幾何學運用分類思想時，總是與圖形位置關系，數(shù)量關系相關的【例6】 攝制組從且市到月市有一天的路程，計劃上午比下午多走100km到C市吃午飯由于堵車，中午才趕到一

6、個小鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400km，傍晚才停下來休息，司機說，再走C市到這里路程的一半就到達目的地問A、B市相距多少千米? 思路點撥 畫出線段圖進行分析如圖131所示，設小鎮(zhèn)為D點，傍晚在正點休息GE=2EB，GE=BCAD=AC，DC=ACDC+CE=（BC+AC）=ABDE=AB，又DE=400km； AB=600 km 注： 線段圖形比較直觀，在實際問題中有著廣泛的應用同學們想一想，“計劃上午比下午多走100km”這個條件是必需的嗎?如果把司機的話改成“再走C市到這里路程的就到達目的地”，需要前面的條件嗎?請同學們自己試完成解答【例7】 如圖13-7所示，在一

7、條河的兩岸有兩個村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短? 思路點撥 雖然A、B兩點在河兩側，但連結AB的線段不垂直于河岸 如圖13-8，關鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現(xiàn)這一目的。如圖13-9，建立在PD處符合題意 注：兩點之間線段最短，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化，以后還會學習一些線段轉化的方法學力訓練 1如圖，已知

8、B、C是線段AD上的兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，MN=a，BC=b，則線段AD= 2從哈爾濱開往A市的特快列車，途中要?？績蓚€站點，如果任意兩站間的票價都不相同，那么有 種不同的票價 (黑龍江省中考題)3如圖，ABa，BC，CD=c，DE=d，EF=e，以A、B、C、D、E、F為端點的所有線段長度的和為 (“數(shù)學新蕾”邀請賽試題)4在同一平面內有4點，過每2點畫一條直線，則直線的條數(shù)是( ) A 1條 B4條 C 6條 D1條或4條或6條5如圖，若C是線段AB的中點，D是線段AC上的任一點(端點除外)，則( ) AADDB<ACBC BADDB=ACBC C ADDB>A

9、CBC D它們的大小關系不能確定 (廣州節(jié)中考題)6線段AB1996厘米，P、Q是線段AB上的兩個點，線段AQ=1200厘米，線段BP1050厘米，則線段PQ( )厘米 A254 B150 C127 D8717如圖，線段AB=2BC，DA= AB，M是AD中點，N是AC中點，試比較MN和AB十NB的大小8已知A、B、C三點在同一直線上，若線段AD60，其中點為M；線段BC20，其中點為N，求MN的長9線段AB上有P、Q兩點，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ= 10將長為20cm的一條線段圍成一個六邊形，則圍成的六邊形中最長邊的取值范圍是 11如圖，C是線段AB上的一點，D是線段CB

10、的中點已知圖中所有線段的長度之和為12線段AC的長度與線段CB的長度都是正整數(shù)，則線段AC的長度為 （“希望杯”邀請賽試題)13五位朋友a、b、c、d、e在公園聚會，見面時握手致意問候已知：a握了4次，b握了1次，e握了3次，d握了2次到目前為止，e握了( )次 A1 B2 C 3 D4 (重慶市競賽題)14平面內有條直線(n2)，這n條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點，最少可以得到b個交點，則a+b的值是( ) An(n一1) Bn2一n+1 C D15如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們之間有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標注的數(shù)字表示該網(wǎng)線單位時間內可以通過的最大信息量現(xiàn)從結點A向結點B

11、傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由單位時間內傳遞的最大信息量為( ) A19 B20 C 24 D26 (全國高考數(shù)學試題)16某公司員工分別住在A、B、C三個住宅區(qū)，A區(qū)有30人，BN有15人，C區(qū)有10人三個區(qū)在一條直線上，位置如圖所示，公司的接送車打算在此間只設一個?？奎c，為要使所有員工步行到?？奎c的路程總和最少，那么?？奎c的位置應在( ) AA區(qū) BB區(qū) CC區(qū) DA、B兩區(qū)之間 (江蘇省競賽題)17(1)一條直線可以把子面分成兩個部分(或區(qū)域)，如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部分?三條直線可以把平面分成幾個部分?試畫圖說明(2)四條直線最多可以把平面分成幾個部分?試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關系 (3)平面上有n條直線。每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點，處于這種位置的n條直線分一個平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與n之