2018版浙江《學業(yè)水平考試》數(shù)學-知識清單與沖A訓練28立體幾何中的向量方法

1、知識點一空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量長度為_的向量0單位向量模為_的向量相等向量方向_且模_的向量ab相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相_的向量ab共面向量平行于同一個_的向量知識點二共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是_推論如圖所示，對空間任意一點O，點P在l上的充要條件是存在實數(shù)t，使ta，其中a叫做直線l的_在l上取a，則可化為_.(2)共面向量定理的向量表達式：p_，其中x，yR，a，b為不共線向量，推論的表達式為xy或?qū)臻g任意一點O，有_或xyz，其中

2、xyz_.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空間的一個基底知識點三空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作_，其范圍是_如果a，b，那么向量a，b_，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則_叫做a，b的數(shù)量積，記作_即_.(2)空間向量數(shù)量積的運算律結(jié)合律：(a)·b_；交換律：a·b_；分配律：a·(bc)_.知識點四空間向量的坐標運算設(shè)a(a1，a2，a3

3、)，b(b1，b2，b3)，則：(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(3)a(a1，a2，a3)(4)a·ba1b1a2b2a3b3.(5)若a，b為非零向量，則aba·b0a1b1a2b2a3b30.(6)若b0，則ababa1b1，a2b2，a3b3.(7)|a|.(8)cosa，b.(9)若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，則dAB|.知識點五平面的法向量直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量知識點六空間中直線與直線關(guān)系的向量表示若空間不重合的兩條直線a，b的方向向量分別為a，b，則abab

4、ab(R)，ababa·b0.知識點七空間中直線與平面關(guān)系的向量表示若直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則aaana·n0，aaanan.知識點八空間中平面與平面關(guān)系的向量表示若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為a，b，則abab，aba·b0.知識點九空間中異面直線所成角的向量求法設(shè)異面直線a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有cos |cos |.知識點十空間中直線與平面所成角的向量求法設(shè)直線l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角為，則有sin |cos |.知識點十一空間中二面角的平面角大小的向量求法設(shè)n1，

5、n2是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1，n2的夾角(或其補角)就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角為，則|cos |.例1(2015年10月學考)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點，設(shè)AM與平面BB1D1D的交點為O，則()A三點D1，O，B共線，且OB2OD1B三點D1，O，B不共線，且OB2OD1C三點D1，O，B共線，且OBOD1D三點D1，O，B不共線，且OBOD1例2如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，則等于()AabcBabcCabcDabc例3(2016年4月學考)已知空間向量a(2，1,5)，b(4,2，x)(xR)，

6、若ab，則x等于()A10 B2 C2 D10例4已知O為空間任一點，A，B，C，D四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且2x3y4z，則2x3y4z的值為_例5(2016年4月學考)如圖，將棱長為1的正方體ABCDEFGH任意平移到A1B1C1D1E1F1G1H1，連接GH1，CB1，設(shè)M，N分別為GH1，CB1的中點，則MN的長為_例6如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.例7已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，

7、G分別是BB1，DD1，DC的中點(1)求證：平面ADE平面B1C1F；(2)求證：平面ADE平面A1D1G；(3)在AE上求一點M，使得A1M平面DAE.例8如圖，在長方體AC1中，ABBC2，AA1，點E、F分別是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中點以D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系試用向量方法解決下列問題：(1)求異面直線AF和BE所成的角；(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值一、選擇題1下列四個說法：若向量a、b、c是空間的一個基底，則ab、ab、c也是空間的一個基底；空間的任意兩個向量都是共面向量；若兩條不同直線l，m的方向向

8、量分別是a、b，則lmab；若兩個不同平面，的法向量分別是u、v，且u(1,2，2)，v(2，4,4)，則.其中正確的說法的個數(shù)是()A1 B2 C3 D42.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc3若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()A(1,2,3) B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)4已知點A(4,1,3)，B(2，5,1)，C為線段AB上一點，且3|，則點C的坐標是()A(，) B(，3,2)C(，1，) D(，)

9、5若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為n(2,0，4)，則()Al BlCl Dl與相交但不垂直6如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是()A. B. C. D07.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角是()A. B. C. D.8正方形ABCD所在平面外一點P，PA平面ABCD，若PAAB，則平面PAB與平面PCD的夾角為()A30° B45° C60°

10、D90°二、填空題9已知向量a(2，1,3)，b(4,2，x)若ab，則x_；若ab，則x_.10設(shè)O為坐標原點，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當·取得最小值時，點Q的坐標為_11在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為_12.如圖所示，已知PA平面ABC，ABC120°，PAABBC6，則PC_.三、解答題13如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1C

11、E的正弦值答案精析知識條目排查知識點一01相同相等平行或重合平面知識點二(1)存在實數(shù)，使ab方向向量t(2)xaybxy1(3)xaybzc知識點三(1)a，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，ba·ba·b|a|b|cosa，b(2)(a·b)2b·aa·ba·c題型分類示例例1A以正方體ABCDA1B1C1D1的頂點D為坐標原點，DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD1所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，M(0，1)設(shè)點O(x，x

12、，z)，(x1，x，z)，(1，1)，又與共線，(x1，x，z)(，)，即解得點O(，)，(，)，又(1，1,1)，D1，O，B三點共線，且OB2OD1，故選A.例2D如圖所示，連接A1C，則在A1CB中，有()b(ac)abc.例3Cab，a·b2×(4)(1)×25x0，得x2.例41解析由題意知A，B，C，D共面的充要條件是：對空間任意一點O，存在實數(shù)x1，y1，z1，使得x1y1z1且x1y1z11，因此，2x3y4z1.例5解析由題意，不妨設(shè)平面ABFE與平面D1C1G1H1重合，則N與B重合，M是GE的中點，MN .例6證明(1)如圖建立空間直角坐標系

13、Axyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中點為N，連接CN，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)·(2)×22×(2)(4)×(2)0，·(2)×22×2(4)×00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.例7解如圖，以D為原點，為正交基底建立空間直

14、角坐標系，則點D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2，0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0，0,1)，G(0，1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)(1)證明(2,0,0)，(0,2,1)，設(shè)n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分別是平面ADE，平面B1C1F的法向量，則n1，n1.即取y11，z12，n1(0,1，2)同理，可求得n2(0,1，2)n1n2，平面ADE平面B1C1F.(2)證明·(2,0,0)·(0,1，2)0，.·(0,2,1)·(0,1，2)0，.，不共線，D1G平面ADE.又D1G平

15、面A1D1G，平面ADE平面A1D1G.(3)解由于點M在AE上，可設(shè)··(0,2,1)(0,2，)，點M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面DAE，只需A1MAE，·(0,2，2)·(0,2,1)520，.故當AMAE時，A1M平面DAE.例8解(1)由題意得A(2,0,0)，F(xiàn)(1,2，)，B(2,2,0)，E(1，1，)，C(0,2,0)，(1,2，)，(1，1，)，·1210.直線AF和BE所成的角為90°.(2)設(shè)平面BEC的法向量為n(x，y，z)，又(2,0,0)，(1，1，)，則n·2x0，n·

16、;xyz0，x0，取z1，則y，平面BEC的一個法向量為n(0，1)cos，n.設(shè)直線AF和平面BEC所成的角為，則sin ，即直線AF和平面BEC所成角的正弦值為.考點專項訓練1D若向量a、b、c是空間的一個基底，則ab、ab、c也是空間的一個基底，正確；空間的任意兩個向量都是共面向量，正確；若兩條不同直線l，m的方向向量分別是a，b，則lmab，正確；若兩個不同平面，的法向量分別是u、v，且u(1,2，2)，v(2，4,4)，v2u，則.其中正確的說法的個數(shù)是4.2A由題意，得()abc.3A由題意可得，直線l的一個方向向量(2,4,6)，又(1,2,3)(2,4,6)，(1,2,3)是直

17、線l的一個方向向量4CC為線段AB上一點，且3|，(4,1,3)(2，6，2)(，1，)5B6D以DA，DC，DD1所在直線方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，則可得A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)(1,0，1)，(1，1，1)，設(shè)異面直線A1E與GF所成的角為，則cos |cos，|0.7A以B為坐標原點，以與BC垂直的直線為x軸，BC為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，則A(，1,0)，B1(0,0,3)，C1(0，2,3)，(，1,3)，(0,2,0)，(0,0,3)設(shè)平面AB1C1的一個法向量為n(x，y，z)，則即取z1，則x

18、，n(，0,1)cos·n，BB1與平面AB1C1所成的角的正弦值為，BB1與平面AB1C1所成的角為.8B如圖所示，建立空間直角坐標系，設(shè)PAAB1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是(0,1,0)取PD中點為E，則E(0，)，(0，)，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，cos，平面PAB與平面PCD的夾角為45°.9.610(，)解析設(shè)(，2)，故Q(，2)，故(1，2，32)，(2，1，22)則·6216106()2，當·取最小值時，此時Q點的坐標為(，)11.解析設(shè)平面xOz的法向量為n(0，t,0)(t0)，(1,3，)，所以cosn，因為n，0，所以sinn，.1212解析因為，所以22222·3636362×36cos 60°144.所以|12.13(1)證明連接AC1交A1C于點F，則