統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章---課后習(xí)題

1、1.略2 .某技術(shù)小組有12人，他們的性別和職稱(chēng)如下，現(xiàn)要產(chǎn)生一名幸運(yùn)者。試求這位幸運(yùn)者分 別是以下幾種可能的概率：(1)女性；(2)工程師；(3)女工程師，(4)女性或工程師。并 說(shuō)明幾個(gè)計(jì)算結(jié)果之間有何關(guān)系？序號(hào)123456789101112性別男男男女男男女男女女男男職稱(chēng)工程師技術(shù)員技術(shù)員技術(shù)員技術(shù)員工程師工程師技術(shù)員技術(shù)員工程師技術(shù)員技術(shù)員解：設(shè)A =女性，B=H程師，AB =女工程師，A+B =女性或工程師(1) P(A) = 4/12 = 1/3(2) P(B) = 4/12 = 1/3(3) P(AB) = 2/12 = 1/6(4) P(A+B) = P(A) + P(B) -

2、 P(AB) = 1/3 + 1/3 - 1/6 = 1/23. 向兩個(gè)相鄰的軍火庫(kù)發(fā)射一枚導(dǎo)彈，如果命中第一個(gè)和第二個(gè)軍火庫(kù)的概率分別是0.06、0.09 ,而且只要命中其中任何一個(gè)軍火庫(kù)都會(huì)引起另一個(gè)軍火庫(kù)的爆炸。試求炸毀這兩個(gè)軍火庫(kù)的概率有多大。解：本題考查互斥事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是看清楚軍火庫(kù)只要一個(gè)爆炸就可以，所以知軍火庫(kù)爆炸是幾個(gè)事件的和事件.P(A)=0.06+0.09=0.154. 某項(xiàng)飛碟射擊比賽規(guī)定一個(gè)碟靶有兩次命中機(jī)會(huì)(即允許在第一次脫靶后進(jìn)行第二次射擊)。某射擊選手第一發(fā)命中的可能性是80%,第二發(fā)命中的可能性為50%。求該選手兩發(fā)都脫靶的概率。解:設(shè)A

3、 =第1發(fā)命中。B =命中碟靶。求命中概率是一個(gè)全概率的計(jì)算問(wèn)題。再利用對(duì)立事 件的概率即可求得脫靶的概率。P(B)= P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)=0.8 氷 + 0.2 0.5 = 0.9脫靶的概率=1-0.9 = 0.1或(解法二)：P(脫靶)=P(第1次脫靶)>P(第2次脫靶)=0.2 >0.5 = 0.15. 已知某產(chǎn)品的合格率是98%，現(xiàn)有一檢查系統(tǒng)，它能以0.98的概率準(zhǔn)確的判斷出合格品，而對(duì)不合格品進(jìn)行檢查時(shí)，有0.05的可能性判斷錯(cuò)誤，該檢查系統(tǒng)產(chǎn)生錯(cuò)判的概率是多少？解：考慮兩種情況，一種就是將合格品判斷錯(cuò)誤，概率為98%* (1-0.98) =0.

4、0196另一種情況就是將不合格品判斷錯(cuò)誤，概率為( 1-98%) *0.05=0.001所以該檢查系統(tǒng)產(chǎn)生錯(cuò)判的概率是 0.0196+0.001=0.02066. 有一男女比例為 51:49的人群，一直男人中5%是色盲，女人中 0.25%是色盲，現(xiàn)隨機(jī)抽中了一個(gè)色盲者，求這個(gè)人恰好是男性的概率？解：A二抽到男性，A2 =抽到女性。B=抽到色盲P(B)二 P(A1)P(BAJ P(A2)P(BA2)= 0.51 0.05 0.49 0.0025 = 0.026725c、P(A1)P(B|AJ 0.5仔 0.05 cc一“cP(B)P(A1 B) = = 0.954163if'0.0267

5、257.消費(fèi)者協(xié)會(huì)經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某品牌空調(diào)器有重要缺陷的產(chǎn)品數(shù)出現(xiàn)的概率分布如下:X012345678910P0.0410.1300.2090.2230.1780.1140.0610.0280.0110.0040.001根據(jù)這些數(shù)值，分別計(jì)算：(1 )有2到5個(gè)(包括2個(gè)與5個(gè)在內(nèi))空調(diào)器出現(xiàn)重要缺陷的可能性。(2 )只有不到2個(gè)空調(diào)器出現(xiàn)重要缺陷的可能性。(3)有超過(guò)5個(gè)空調(diào)器出現(xiàn)重要缺陷的可能性。解：離散型隨機(jī)變量的概率分布8. 已知某地區(qū)男子壽命超過(guò)55歲的概率為84%，超過(guò)70歲以上的概率為63%。試求任剛過(guò)55歲生日的男子將會(huì)活到 70歲以上的概率為多少？解：設(shè)A =活到55歲，B

6、=活到70歲。所求概率為：P(AB)P(B) 0.63P(B|A)=0.75P(A)P(A) 0.849. 某企業(yè)決策人考慮是否采用一種新的生產(chǎn)管理流程。據(jù)對(duì)同行的調(diào)查得知，采用新生產(chǎn)管理流程后產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率達(dá) 95%的占四成，優(yōu)質(zhì)率維持在原來(lái)水平(即80% )的占六成。該企業(yè)利用新的生產(chǎn)管理流程進(jìn)行一次試驗(yàn)，所生產(chǎn)5件產(chǎn)品全部達(dá)到優(yōu)質(zhì)。問(wèn)該企業(yè)決策者會(huì)傾向于如何決策？解:這是一個(gè)計(jì)算后驗(yàn)概率的問(wèn)題。設(shè)人=優(yōu)質(zhì)率達(dá)95%, A =優(yōu)質(zhì)率為80%, B =試驗(yàn)所生產(chǎn)的5件全部?jī)?yōu)質(zhì)。P(A) = 0.4, P( A)= 0.6 , P(B|A)=0.955, P(B| A)=0.85,所求概率為：P(

7、A|B)=P(A)P(B | A)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)0.309510.50612=0.6115決策者會(huì)傾向于采用新的生產(chǎn)管理流程。10. 某公司從甲、乙 丙三個(gè)企業(yè)采購(gòu)了同一種產(chǎn)品，采購(gòu)數(shù)量分別占總采購(gòu)量的25%、30%和45%。這三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品的次品率分別為4%、5%、3%。如果從這些產(chǎn)品中隨機(jī)抽出一件，試問(wèn)：(1)抽出次品的概率是多少？ (2)若發(fā)現(xiàn)抽出的產(chǎn)品是次品，問(wèn)該產(chǎn)品來(lái)自丙廠的概率是多少？解：令A(yù)“ A2、A3分別代表從甲、乙、丙企業(yè)采購(gòu)產(chǎn)品，B表示次品。由題意得：P(A" = 0.25,P(A2)= 0.30, P(A3)= 0.45; P

8、(B|Ai)= 0.04, P(BA2)= 0.05, P(BA3)= 0.03;因此，所求概率 分別為：(1) P(B)= P(AJP(B| A0 P(A2)P(BA?) P(As)P(B| A3)=0.25X 0.04 + 0.30 X 0.05+ 0.45 X 0.03 = 0.0385(2)P(A3 |B)=0.45X0.030.250.04 + 0.300.05+ 0.450.030.01350.0385=0.350611. 某人在每天上班途中要經(jīng)過(guò) 3個(gè)設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及

9、 其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。解:據(jù)題意，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率是p= 24/(24+36) = 0.4。設(shè)途中遇到紅燈的次數(shù)=X，因此，XB(3 , 0.4)。其概率分布如下表:Xi0123P(X= Xi)0.2160.4320.2880.064期望值(均值)=1.2 (次)，方差=0.72，標(biāo)準(zhǔn)差=0.8485 (次)12. 一家人壽保險(xiǎn)公司某險(xiǎn)種的投保人數(shù)有20000人，據(jù)測(cè)算被保險(xiǎn)人一年中的死亡率為萬(wàn)分之5。保險(xiǎn)費(fèi)每人50元。若一年中死亡，則保險(xiǎn)公司賠付保險(xiǎn)金額50000元。試求未來(lái)一年該保險(xiǎn)公司將在該項(xiàng)保險(xiǎn)中(這里不考慮保險(xiǎn)公司的其它費(fèi)用)：(1 )至少獲利50萬(wàn)元的概率；(2) 虧本

10、的概率；(3) 支付保險(xiǎn)金額的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。解:設(shè)被保險(xiǎn)人死亡數(shù)= X, XB(20000, 0.0005)。(1) 收入=20000 X 50 (元)=100萬(wàn)元。要獲利至少 50萬(wàn)元，則賠付保險(xiǎn)金額應(yīng)該不 超過(guò)50萬(wàn)元，等價(jià)于被保險(xiǎn)人死亡數(shù)不超過(guò)10人。所求概率為：P(X <10) = 0.58304。(2 )當(dāng)被保險(xiǎn)人死亡數(shù)超過(guò)20人時(shí)，保險(xiǎn)公司就要虧本。所求概率為：P(X>20) = 1 - P(X 0) = 1-0.99842 = 0.00158(3)支付保險(xiǎn)金額的均值=50000 X E(X)=50000 X 20000 X 0.0005 (元)=50 (萬(wàn)元)支付保險(xiǎn)

11、金額的標(biāo)準(zhǔn)差= 50000 X o(X)=50000 X (20000 X 0.0005 X 0.9995)1/2= 158074 (元)13. 對(duì)上述練習(xí)題的資料，試問(wèn)：(1) 可否利用泊松分布來(lái)近似計(jì)算？(2) 可否利用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算？(3) 假如投保人只有 5000人，可利用哪種分布來(lái)近似計(jì)算？解：(1)可以。當(dāng)n很大而p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以利用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。本例中，入=np=20000 >0.0005=10，即有XP(10)。計(jì)算結(jié)果與二項(xiàng)分布所得結(jié)果幾乎完全一致。(2) 也可以。盡管 p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二項(xiàng)分布也可以 利用正態(tài)分布來(lái)

12、近似計(jì)算。本例中，np=20000 X 0.0005=10 , np(1- p)=20000 X 0.0005 X (1- 0.0005)=9.995 , 即有XN(10,9.995)。相應(yīng)的概率為：P(X <10.5) = 0.51995, P(X<20.5) = 0.853262。可見(jiàn)誤差比較大(這是由于P太小，二項(xiàng)分布偏斜太嚴(yán)重)。【注】由于二項(xiàng)分布是離散型分布， 而正態(tài)分布是連續(xù)性分布，所以， 用正態(tài)分布來(lái)近 似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率時(shí)，通常在二項(xiàng)分布的變量值基礎(chǔ)上加減0.5作為正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的區(qū)間點(diǎn)，這就是所謂的“連續(xù)性校正”。(3) 由于p= 0.0005，假如n=5000，

13、貝U np = 2.5<5，二項(xiàng)分布呈明顯的偏態(tài)，用正態(tài)分 布來(lái)計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)非常大的誤差。此時(shí)宜用泊松分布去近似。14. 一條食品生產(chǎn)線(xiàn)每 8小時(shí)一班中出現(xiàn)故障的次數(shù)服從平均值為1.5的泊松分布求：(1 )晚班期間恰好發(fā)生兩次事故的概率；(2 )下班期間發(fā)生少于兩次事故的概率；(3)連續(xù)三班無(wú)故障的概率。解：(1) P(X=2)=P0ISS0N(2,1.5,0)=0.251021(2) P(X < 1)=POISSON(1,1.5,1)=0.557825(3) P(X=0) P(X=0) P(X=0)=P0ISS0N(0,1.5,1)A3=(0.2231)A3=0.11115假定X

14、服從N=12 , n=7, M=5的超幾何分布，求：解：(1) P(X=3)=HYPGE0MDIST (3, 7, 5, 12) =0.4419(2) P(X W 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=HYPGEOMDIST (2, 7, 5, 12) +HYPGEOMDIST(1,7,5,12)+HYPGEOMDIST(0,7,5,12) =0.2652+0.0442+0.0013=0.31061(3) P(X>3)=1-P(X W 3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1-(0.31061+0.4419)=1-0.75253=0.2474716.

15、 某企業(yè)生產(chǎn)的某種電池壽命近似服從正態(tài)分布，且均值為200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為 30小時(shí)。若規(guī)定壽命低于150小時(shí)為不合格品。試求該企業(yè)生產(chǎn)的電池的：(1)合格率是多少？ ( 2)電池壽命在200左右多大的范圍內(nèi)的概率不小于 0.9。150 - 200解: (1) P(X :150) = P(Z)= P(Z-1.6667) = 0.0477930合格率為 1-0.04779 = 0.95221 或 95.221 %。(2)設(shè)所求值為K，滿(mǎn)足電池壽命在 200 ± K小時(shí)范圍內(nèi)的概率不小于0.9，即有：P(|X -200 b： K)二P| Z| = '翠：:£ _0.930

16、30即: PZ _0.95 , K/30 > 1.64485,故 K > 49.3456。17. 某公司決定對(duì)職員增發(fā)“銷(xiāo)售代表”獎(jiǎng)，計(jì)劃根據(jù)過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售狀況對(duì)月銷(xiāo)售額最高的5%的職員發(fā)放獎(jiǎng)金。已知這段時(shí)間每人每月的平均銷(xiāo)售額（元）服從均值為4000、方差為360000的正態(tài)分布，那末公司應(yīng)該把“銷(xiāo)售代表”獎(jiǎng)的最低發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)定為多少？解：NORMINV（0.95,40000,600）=40986.9118. 一個(gè)具有n =64個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本抽自于均值等于20、標(biāo)準(zhǔn)差等于16的總體。給出X的抽樣分布（重復(fù)抽樣）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差 描述x的抽樣分布的形狀。你的回答依賴(lài)于樣本容量嗎

17、？計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)z統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)于X = 15.5的值。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)z統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)于X =23的值。解：已知n=64，為大樣本，卩=20, （T =16,在重復(fù)抽樣情況下，X的抽樣分布的均值為a. 20, 2 b.近似正態(tài)c. -2.25 d. 1.5019. 參考練習(xí)18題求概率。X <16;X >23;X >25;.X落在16和22之間； X <14。解：a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.001320. 一個(gè)具有n =100個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本選自于J =30、二=16的總體。試求下列概率的近似值：（L）P（x?28）t

18、尸（22« 26.8）：P（£ W2&2）；（4）P（x ? 27.0）a解：a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.969921. 一個(gè)具有n =900個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本選自于J =100和'_ 10的總體。你預(yù)計(jì)X的最大值和最小值是什么？你認(rèn)為X至多偏離丄多么遠(yuǎn)？ 為了回答b你必須要知道 嗎？請(qǐng)解釋。解:a. 101,99 b. 1c.不必22. 考慮一個(gè)包含X的值等于0, 1, 2,，97, 98, 99的總體。假設(shè)X的取值的可能性是相同的。則運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)下面的每一個(gè)n值產(chǎn)生500個(gè)隨機(jī)樣本，并對(duì)于每一個(gè)樣本計(jì)算 X。對(duì)于

19、每一個(gè)樣本容量，構(gòu)造X的500個(gè)值的相對(duì)頻率直方圖。當(dāng)n值增加時(shí)在直方圖上會(huì)發(fā)生什么變化？存在什么相似性？這里 n =2,n =5,n =10, n = 30和n =50。解:趨向正態(tài)23. 美國(guó)汽車(chē)聯(lián)合會(huì)（AAA ）是一個(gè)擁有90個(gè)俱樂(lè)部的非營(yíng)利聯(lián)盟，它對(duì)其成員提供旅行、金融、保險(xiǎn)以及與汽車(chē)相關(guān)的各項(xiàng)服務(wù)。1999年5月，AAA通過(guò)對(duì)會(huì)員調(diào)查得知一個(gè)4 口之家出游中平均每日餐飲和住宿費(fèi)用大約是213美元（旅行新聞Travel News,1999年5月11日）。假設(shè)這個(gè)花費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差是15美元，并且AAA所報(bào)道的平均每日消費(fèi)是總體均值。又假設(shè)選取49個(gè)4 口之家，并對(duì)其在1999年6月期間的旅行

20、費(fèi)用進(jìn) 行記錄。 描述x （樣本家庭平均每日餐飲和住宿的消費(fèi)）的抽樣分布。特別說(shuō)明X服從怎樣的分布以及X的均值和方差是什么？證明你的回答； 對(duì)于樣本家庭來(lái)說(shuō)平均每日消費(fèi)大于213美元的概率是什么？大于 217美元的概率呢？在209美元和217美元之間的概率呢？解：a.正態(tài)分布，213,4.5918 b. 0.5,0.031,0.93824. 技術(shù)人員對(duì)奶粉裝袋過(guò)程進(jìn)行了質(zhì)量檢驗(yàn)。每袋的平均重量標(biāo)準(zhǔn)為二406克、標(biāo)準(zhǔn)差為-10.1克。監(jiān)控這一過(guò)程的技術(shù)人者每天隨機(jī)地抽取36袋，并對(duì)每袋重量進(jìn)行測(cè)量?，F(xiàn)考慮這36袋奶粉所組成樣本的平均重量X。（1）描述X的抽樣分布，并給出 Jx和二x的值，以及概率

21、分布的形狀；求400.8）；（3）假設(shè)某一天技術(shù)人員觀察到X二400.8 ,這是否意味著裝袋過(guò)程出現(xiàn)問(wèn)題了呢，為什么？解：a. 406,1.68,正態(tài)分布 b. 0.001 c.是，因?yàn)樾「怕食霈F(xiàn)了25. 某制造商為擊劍運(yùn)動(dòng)員生產(chǎn)安全夾克，這些夾克是以劍鋒刺入其中時(shí)所需的最小力量（以牛頓為單位）來(lái)定級(jí)的。如果生產(chǎn)工藝操作正確，則他生產(chǎn)的夾克級(jí)別應(yīng)平均840牛頓，標(biāo)準(zhǔn)差15牛頓。國(guó)際擊劍管理組織（FIE ）希望這些夾克的最低級(jí)別不小于800牛頓。為了檢查其生產(chǎn)過(guò)程是否正常，某檢驗(yàn)人員從生產(chǎn)過(guò)程中抽取了50個(gè)夾克作為一個(gè)隨機(jī)樣本進(jìn)行定級(jí)，并計(jì)算X，即該樣本中夾克級(jí)別的均值。她假設(shè)這個(gè)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差是

22、固定的，但是擔(dān)心級(jí)別均值可能已經(jīng)發(fā)生變化。 如果該生產(chǎn)過(guò)程仍舊正常，則X的樣本分布為何？假設(shè)這個(gè)檢驗(yàn)人員所抽取樣本的級(jí)別均值為830牛頓，則如果生產(chǎn)過(guò)程正常的話(huà)，樣本均值X < 830牛頓的概率是多少？ 在檢驗(yàn)人員假定生產(chǎn)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差固定不變時(shí)，你對(duì)b部分有關(guān)當(dāng)前生產(chǎn)過(guò)程的現(xiàn)狀有何看法（即夾克級(jí)別均值是否仍為840牛頓）？ 現(xiàn)在假設(shè)該生產(chǎn)過(guò)程的均值沒(méi)有變化，但是過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差從 15牛頓增加到了 45牛頓。在這種情況下 X的抽樣分布是什么？當(dāng) X具有這種分布時(shí)，則 X < 830牛頓的 概率是多少？解：a.正態(tài) b.約等于0 c.不正常 d.正態(tài)，0.0626. 在任何生產(chǎn)過(guò)程中，產(chǎn)品質(zhì)量的波動(dòng)都是不可避免的。產(chǎn)品質(zhì)量的變化可被分成兩類(lèi)：由于特殊原因所引起的變化（例如，某一特定的機(jī)器），以及由于共同的原因所引起的變化（例如，產(chǎn)品的設(shè)計(jì)很差）。一個(gè)去除了質(zhì)量變化的所有特殊原因的生產(chǎn)過(guò)程被稱(chēng)為是無(wú)穩(wěn)定的或者是在統(tǒng)計(jì)控制中的。剩余的變化只是簡(jiǎn)單的隨機(jī)變化。假如隨機(jī)變化太大，則管理部門(mén)不能接受， 但只要消除變化的共同原因，便可減少變化（Demi