高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)及其配套習(xí)題

1、.高中數(shù)學(xué)必修4 知識(shí)點(diǎn)正角 : 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角 : 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角 : 不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為k 360k 36090 , k第二象限角的集合為k 36090k 360180 , k第三象限角的集合為k 360180k 360270 , k第四象限角的集合為k 360270k 360360 , k終邊在 x 軸上的角的集合為k 180 , k終邊在 y 軸上的角的集合為k 180 90 , k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k 90 , k3、與角終邊相同

2、的角的集合為k 360, k4、已知是第幾象限角， 確定n* 所在象限的方法： 先把各象限均分 n 等n份，再?gòu)?x 軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域n5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度6、半徑為 r 的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為 l ，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是l r7、弧度制與角度制的換算公式：2360 ，1， 118057.31808、若扇形的圓心角為為弧度制 ，半徑為 r ，弧長(zhǎng)為 l ，周長(zhǎng)為 C ，面積為 S ，則 l r， C 2r l ， S1 lr1r 2 229、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)

3、是x, y ，它與原點(diǎn)的距離是 r rx2y20 ，則 siny ， cosx ， tanyx0 rrx;.10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正11、三角函數(shù)線： sin， cos， tany12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1 sin 2cos21PTsin21cos2,cos21 sin 2； 2sintanO MA xcossintancos,cossintan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：1 sin 2ksin ， cos 2kcos， tan 2ktan k2sinsin， coscos， tantan3sinsin， cosco

4、s ， tantan4sinsin， coscos ， tantan口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限5 sincos， cossin226 sincos， cossin22口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限14函數(shù) yA sin( x)B（其中 A0，0）最大值是 AB ，最小值是 BA ，周期是 T2，頻率是 f，相位是 x，2初相是 ；其圖象的對(duì)稱軸是直線xk(k Z ) ，凡是該圖象與直線2y B 的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。yAsin(x ) B 的圖象求其解析式的問(wèn)題，主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮：A 的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即A最高點(diǎn)最低點(diǎn)；2B 的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)

5、，即B最高點(diǎn)最低點(diǎn)；2 的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由T2( >0)來(lái)確定 ；;.的確定：把圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入解析式y(tǒng) Asin(x) B，然后根據(jù) 的范圍確定即可，例如由函數(shù)y Asin(x ) K 最開(kāi)始與 x 軸的交點(diǎn) (最靠近原點(diǎn) )的橫坐標(biāo)為(即令 x 0，x)確定 .15. 三角函數(shù)的伸縮變化先平移后伸縮的圖象向左 ( >0) 或向右 ( 0)平移 個(gè)單位長(zhǎng)度y s xi n得 ysin( x) 的圖象得 y sin( x ) 的圖象得 y A sin( x ) 的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng) (0<<1) 或縮短 (>1)到原來(lái)的 1 ( 縱坐標(biāo)不變 )縱

6、坐標(biāo)伸長(zhǎng)( A 1) 或縮短 (0< A<1)為原來(lái)的 A倍 ( 橫坐標(biāo)不變)向上 ( k0) 或向下 ( k0)平移 k 個(gè)單位長(zhǎng)度得 y Asin( x )k 的圖象先伸縮后平移y sin x 的圖象縱坐標(biāo)伸長(zhǎng) ( A 1) 或縮短 (0 A1)為原來(lái)的 A倍( 橫坐標(biāo)不變 )得 y Asin x 的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng) (01) 或縮短 ( 1)到原來(lái)的 1(縱坐標(biāo)不變 )向左 ( 0)或向右 (0)得 y A sin( x) 的圖象平移 個(gè)單位得 yA sin x( x ) 的圖象向上( k 0) 或向下(k 0)平移 k 個(gè)單位長(zhǎng)度得 yA sin(x)k 的圖象16由 yAs

7、in( x) 的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin （x+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。17求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過(guò)恒等變形化成“ y A sin( x) 、 y A cos( x) ”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。2函數(shù) yAsin( x) 和 yAcos( x) 的最小正周期為 | | ，ytan( x ) 的最小正周期為.| |15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函y cosxy tan x性數(shù) y sin x質(zhì);.圖象定義RR域值1,11,1域當(dāng) x2kk當(dāng) x2kk

8、時(shí) ，2最時(shí) ，ymax1； 當(dāng)ymax1；當(dāng) x2k值x2k2k時(shí)， ymin1k時(shí)， ymin1周22期性奇奇函數(shù)偶函數(shù)偶性在2k, 2k2在2k,2 kk2單k上是增函數(shù)；在上是增函數(shù)；在調(diào)2k,2 k2k, 2k3性22k上是減函數(shù)k 上是減函數(shù)x xk,k2R既無(wú)最大值也無(wú)最小值奇函數(shù)在k, k22k 上是增函數(shù)對(duì)對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心;.稱k,0kk,0kk,0 k22性對(duì)稱軸對(duì)稱軸 x kk無(wú)對(duì)稱軸xkk216、向量：既有大小，又有方向的量數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度零向量：長(zhǎng)度為0 的向量單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量平行向量（共線向量）

9、：方向相同或相反的非零向量零向量與任一向量平行相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同 的向量17、向量加法運(yùn)算：三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)三角形不等式：ababab 運(yùn) 算 性 質(zhì) ： 交 換 律 ： abba ； 結(jié) 合 律 ：abcabc； a 0 0 aa C坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a x1, y1 ， bx2 , y2 ，則 a bx1 x2 , y1 y2 a18、向量減法運(yùn)算：b三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量abCC坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a x1, y1， bx2 , y2 ，則 a bx1 x2 , y1y2 設(shè)、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1, y1， x2 , y2

10、 ，則x1 x2 , y1y2 19、向量數(shù)乘運(yùn)算：;.實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a aa ；當(dāng)0 時(shí)，a 的方向與 a 的方向相同；當(dāng)0 時(shí)，a 的方向與 a 的方向相反；當(dāng)0 時(shí)，a0 運(yùn)算律：aa ；aaa ；a bab 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax, y ，則ax, yx,y20、向量共線定理：向量 aa0 與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使 ba 設(shè) a x1 , y1，bx2 , y2，其中 b0 ，則當(dāng)且僅當(dāng) x1 y2x2 y10 時(shí)，向量 a 、bb0共線21、平面向量基本定理：如果e1 、 e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向

11、量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1 、 2 ，使 ae2e （ 不共線 的向量e、 e作11212為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式： 設(shè)點(diǎn) 是線段1 2 上的一點(diǎn)，1 、2 的坐標(biāo)分別是x1 , y1 ， x2 , y2 ，當(dāng) 12 時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是x1x2 , y1y21123、平面向量的數(shù)量積： a ba b cosa0,b0,0180零向量與任一向量的數(shù)量積為0 性質(zhì)：設(shè) a 和 b 都是非零向量， 則 abab 0 當(dāng) a 與 b 同向時(shí)， a ba b ；當(dāng) a 與 b 反向時(shí)， a bab ； a aa2a2a a aba b 或 a運(yùn)算律： a bba ；ababab ；

12、abca cb c 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1 , y1， bx2 , y2，則 ab x1 x2y1 y2 若 ax, y ，則 a2x2y2 ，或 ax2y2 設(shè) ax1 , y1 ， bx2, y2，則 a bx1x2y1 y20 設(shè) a 、 b 都 是 非 零 向 量 ， ax1 , y1 ， bx2 , y2 ，是 a 與 b的夾角，則c o sa bx1 x2y1 y2a bx12y12 x 22 y 22;.24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式： coscoscos sinsin； coscoscossinsin；sinsincoscossin； sinsincoscoss

13、in；tantantantantan1tantan1 tan（ tan）；tan tantantantantan1tantan1 tan（ tan）tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sincoscos2cos2sin22cos21 1 2sin2（ cos2cos2 1，1cos 22sin 2）2 tan22tan1 tan226、sincos22 sin，其中 tan對(duì)于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可變形如下：y=asinx=bcosxa 2b2 (sin x·ab2cosx·bb2)。由于上式中的a 2a2ab的平方和為1，故可記a=

14、cos，ba2與a 2b2a2a2=sin，則b2b2b2ya 2b2 (sin x coscos x sin)a2b2 sin(x)。由 此 我 們 得 到 結(jié) 論 ： asinx+bcosx=a2b2 sin(x) ，（ * ） 其 中 由acos ,b來(lái)確定。a2a2sinb2b2通常稱式子（ * ）為輔助角公式， 它可以將多個(gè)三角式的函數(shù)問(wèn)題，最終化為 y=Asin(x)+k的形式。;.正弦定理和余弦定理abc1正弦定理： sin A sin B sin C 2R，其中 R 是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)a b c sin A sin B sin C；(2)a 2Rs

15、in_A， b2Rsin_B，c2Rsin_C；abc(3)sin A 2R， sin B 2R，sin C2R等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題2 余弦定理： a2 b2 c2 2bccos_A， b2 a2 c2 2accos_B， c2 a2 b2 余弦定理可以變形為：22a22222abcos_Cb c，cos B ac b， cos Ccos A2bc2aca2b2c22ab.111abc13SABC2absin C2bcsin A2acsin B4R2(abc) ·r(R 是三角形外接圓半徑， r 是三角形內(nèi)切圓的半徑 )，并可由此計(jì)算R，r .4已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解

16、三角形時(shí)，注意解的情況如已知a，b，A，則A 為鈍角或A 為銳角直角圖形關(guān)系absin Aabsin Absin Aababa bab式解的無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解個(gè)數(shù)一條規(guī)律在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC 中， AB? a b? sin Asin B.兩類問(wèn)題在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問(wèn)題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角； (2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩;.解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問(wèn)題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角； (2)已知三邊，求各角兩種途徑根據(jù)所給條件

17、確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角； (2)化角為邊，并常用正弦(余弦 )定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測(cè)1在 ABC 中， A60°， B 75°， a 10，則 c 等于 ()A 52B102106C. 3D56解析由 ABC180°，知 C45°，a c由正弦定理得： sin Asin C，10c.c106C即 23.答案322在ABC中，若 sin A cos B，則 B 的值為 ()2abA30°B45°C60°D90°解析由正弦定理知：sin Acos Bsin A sin B，sin Bcos

18、 B，B45°.答案B3在 ABC 中， a3，b1，c2，則 A 等于 ()A30°B45°C60°D75°b2c2a21431，解析由余弦定理得： cos A2bc2×1×220A，A60°.答案C14在 ABC 中， a3 2，b 23，cos C3，則 ABC 的面積為 ()A3 3B2 3C4 3D. 3解析cos C1， ，22，30Csin C311223.S ABC2absin C2×32×2 3×34;.答案C5已知 ABC 三邊滿足 a2 b2c23ab，則此三角形

19、的最大內(nèi)角為_(kāi)解析a2b2 c23ab，a2 b2c23cos C2ab2 ，故 C150°為三角形的最大內(nèi)角 答案150°考向一利用正弦定理解三角形【例 1】?在 ABC 中， a3，b2， B 45°.求角 A，C 和邊 c.解 由正弦定理得a b，32，sin Asin Bsin Asin 45° sin A32 . a b， A60°或 A 120°.當(dāng) A60°時(shí)， C 180° 45° 60° 75°，bsin C6 2c sin B2；當(dāng) A120°時(shí)， C18

20、0°45°120°15°，bsin C6 2c sin B2.(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練 1】在 ABC 中，若 b5，B4，tan A2，則 sin A_a_.解析因?yàn)锳BC 中， tan A2，所以 A 是銳角，2 2且 cos A 2， sin Acos A1，sinA聯(lián)立解得 sin A25ab5，再由正弦定理得 sin A sin B，代入數(shù)據(jù)解得 a22510.答案52 10考向二利

21、用余弦定理解三角形;.cos Bb【例 2】?在 ABC 中， a、b、c 分別是角 A、B、 C 的對(duì)邊，且 cos C .2a c(1)求角 B 的大??；(2)若 b 13，ac4，求 ABC 的面積cos Bb ，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解 審題視點(diǎn) 由cos C2a c解 (1)由余弦定理知： cos B a2c2 b2， 2accos Ca2b2c22ab.cos Bb將上式代入 cos C2ac得：a2 c2b22ab2b，2ac·22abc2a c整理得： a2c2b2 ac.a2c2 b2ac12 cos B2ac 2ac 2.B 為三角形的內(nèi)角， B3.(2)將

22、 b13，ac4，B23代入 b2a2c22accos B，得 b2(a c)2 2ac 2accos B， 13162ac 11， ac 3.S1332ABC2acsin B4 .【訓(xùn)練 2】 已知 A，B，C 為 ABC 的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b， c，A且 2cos2 2 cos A 0.(1)求角 A 的值；(2)若 a23，bc4，求 ABC 的面積解 (1)由 2cos2 A2 cos A0，得 1cos Acos A0，12即 cos A 2， 0 A， A3 .(2)由余弦定理得，2222a bc 2bccos A， A3，則 a2(b c)2 bc，又 a2 3，b

23、c4，;.有 12 42bc，則 bc 4，1故 ABC2bcsin A3.考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例 3】?在 ABC 中，若 (a2b2)sin(A B)(a2b2)sin C，試判斷 ABC 的形狀 審題視點(diǎn) 首先邊化角或角化邊，再整理化簡(jiǎn)即可判斷解由已知 (a2 b2)sin(AB) (a2 b2 )sin C，22得 b sin(A B)sin C a sin Csin(AB) ，即 b2sin Acos Ba2cos Asin B，即 sin22，所以，Bsin Acos Bsin Acos Bsin Bsin 2Bsin 2A由于 A，B 是三角形的內(nèi)角故 02A

24、2，02B2.故只可能 2A 2B 或 2A 2B，即 AB 或 AB2.故 ABC 為等腰三角形或直角三角形判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練 3】 在 ABC 中，若a b c；則 ABC 是()cos Acos Bcos CA直角三角形B等邊三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形解析由正弦定理得 a2Rsin A，b2Rsin B，c 2Rsin C(R為ABC 外接圓半徑 )sin Asin Bsin C.cos B

25、cos Ccos A即 tan Atan Btan C，ABC.答案B考向三正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例 3】?在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知 c 2，;.C3.(1)若 ABC 的面積等于3，求 a，b；(2)若 sin C sin(B A)2sin 2A，求 ABC 的面積解 (1)由余弦定理及已知條件，得 a2b2ab4.1又因?yàn)?ABC 的面積等于3 ，所以 2absin C3，得ab 4，聯(lián)立方程組a2b2 ab4，a2，解得ab 4，b2.(2)由題意，得 sin(B A)sin(BA)4sin Acos A，即 sin Bcos A 2sin Acos A. 當(dāng) cos A0，即 A2時(shí)， B6，43， b 23；a33當(dāng) cos A0 時(shí)，得 sin B2sin A，由正弦定理，得 b 2a.a2b2ab4，聯(lián)立方程組b2a，2 3a 3 ，解得4 3 b 3 .12 3所以 ABC 的面積 S2a bsin C 3 .4【訓(xùn)練 3】設(shè) ABC 的內(nèi)角 A