2017年廣州市一模理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密 啟用前2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自 己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應(yīng) 位置填涂考生號。2回答第卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑， 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3回答第卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本小題共12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的。（1）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 （A） （B

2、） （C） （D）（2）若集合，則 （A） （B） （C） （D）（3）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù), 且成等差數(shù)列, 則的值是 （A） （B） （C） （D） （4）閱讀如圖的程序框圖. 若輸入, 則輸出的值為 （A） （B） （C） （D） （5）已知雙曲線的一條漸近線方程為,分別 是雙曲線的左，右焦點(diǎn), 點(diǎn)在雙曲線上, 且, 則等于（A） （B） （C）或 （D）或（6）如圖, 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1, 粗線畫出的是某幾何體的正視圖（等腰直角三角形）和側(cè)視圖,且該幾何體的體積為, 則該幾何體的俯視圖可以是 （7）五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉(zhuǎn)自己的

3、硬幣. 若硬幣正面朝上, 則這個人站起來; 若硬幣正面朝下, 則這個人繼續(xù)坐著. 那么, 沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（A） （B） （C） （D）（8）已知,分別是橢圓的左, 右焦點(diǎn), 橢圓上存在點(diǎn) 使為鈍角, 則橢圓的離心率的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（9）已知成立, 函數(shù)是減函數(shù), 則是的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（10）九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四 個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐為鱉臑, 平面, ，, 三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上, 則球的表 面積為

4、（A） （B） （C） （D）（11）若直線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)， 且，則線段與函數(shù)的圖象所圍成的圖形面積是（A） （B） （C） （D）（12）已知函數(shù), 則的值為（A） （B） （C） （D）第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321題為必考題，每個考生都必須作答。第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本小題共4題，每小題5分。（13）已知，且，則向量與向量的夾角是 . （14）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則的系數(shù)為 .（用數(shù)字填寫答案）（15）已知函數(shù) 若, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .（16）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和, 已知, 對任意N, 都有， 則N)的最小值為 . 三、解答題：解答

5、應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分） 如圖, 在中, 點(diǎn)在邊上, . () 求; () 若的面積是, 求.（18）（本小題滿分12分）近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展. 2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達(dá)516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng). 從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務(wù)的滿意率為0.75，其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次. () 根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對 商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”？對服務(wù)滿

6、意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意合計200 () 若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)都滿 意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：（其中為樣本容量）0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635（19）（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形中，/，, 點(diǎn)是邊的中點(diǎn), 將沿折起，使平面平面，連接, 得到如圖2所示的幾何體. () 求證：平面；() 若，二面角的平面角的正切值為，求二面角 的余弦值. 圖1 圖2（20）（本小題滿分12分） 過點(diǎn)作拋物線的兩條切線, 切點(diǎn)分別為, . () 證明: 為

7、定值;() 記的外接圓的圓心為點(diǎn), 點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 對任意實(shí)數(shù), 試 判斷以為直徑的圓是否恒過點(diǎn)? 并說明理由.（21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù). () 若函數(shù)有零點(diǎn), 求實(shí)數(shù)的取值范圍; () 證明:當(dāng)，時, . 請考生在第2223題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。（22）（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù). 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中, 曲線() 求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;() 求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.（23）（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知函數(shù). () 若，

8、求實(shí)數(shù)的取值范圍;() 若R , 求證：.2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）理科數(shù)學(xué)試題答案及評分參考評分說明:1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分參考制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題不給中間分一、選擇題 （1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D

9、（7）C （8）A （9）B （10）C （11）A （12）B二、填空題 （13） （14） （15） （16）三、解答題(17) 解:() 在中, 因?yàn)? 由余弦定理得, 1分 所以, 整理得, 2分 解得. 3分 所以. 4分 所以是等邊三角形. 5分 所以 6分() 法1: 由于是的外角, 所以. 7分 因?yàn)榈拿娣e是, 所以.8分 所以. 9分 在中, , 所以. 10分 在中, 由正弦定理得, 11分 所以.12分法2: 作, 垂足為, 因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形, 所以. 7分 因?yàn)榈拿娣e是, 所以. 8分 所以. 9分 所以. 在Rt中, , 10分所以, . 所以 11分. 12

10、分（18）解：() 列聯(lián)表：對服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200 2分 3分 因?yàn)椋?所以能有99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”. 4分() 每次購物時，對商品和服務(wù)都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，2，36分. 10分0123 的分布列為：11分所以. 12分或者:由于，則. 12分(19) 解：() 因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?又，所以平面. 1分 因?yàn)槠矫?，所? 2分 又因?yàn)檎郫B前后均有，, 3分所以平面. 4分 () 由（）知平面，所以二面角的平面角為. 5分又平面，平面，所以.依題意. 6分因?yàn)?，?/p>

11、以. 設(shè)，則. 依題意，所以，即. 7分 解得，故. 8分法1：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則,， 所以，.由（）知平面的法向量.9分設(shè)平面的法向量由得令，得,所以. 10分所以. 11分由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 12分法2 ：因?yàn)槠矫妫^點(diǎn)作/交于，則平面. 因?yàn)槠矫妫? 9分過點(diǎn)作于，連接，所以平面，因此. 所以二面角的平面角為. 10分由平面幾何知識求得， 所以. 所以cos=. 11分所以二面角的余弦值為. 12分（20）解： () 法1:由,得,所以. 所以直線的斜率為. 因?yàn)辄c(diǎn)和在拋物線上, 所以,. 所以直線的方程為. 1分 因?yàn)辄c(diǎn)在直線上, 所

12、以,即. 2分 同理, . 3分 所以是方程的兩個根. 所以. 4分 又, 5分 所以為定值. 6分法2:設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為, 1分由消去得,由, 化簡得. 2分所以. 3分由,得,所以. 所以直線的斜率為,直線的斜率為. 所以, 即. 4分 又, 5分 所以為定值. 6分() 法1：直線的垂直平分線方程為, 7分 由于, 所以直線的垂直平分線方程為. 8分 同理直線的垂直平分線方程為. 9分 由解得, , 所以點(diǎn). 10分 拋物線的焦點(diǎn)為 則 由于，11分 所以 所以以為直徑的圓恒過點(diǎn) 12分另法: 以為直徑的圓的方程為 11分把點(diǎn)代入上方程,知點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解.所以以為直徑

13、的圓恒過點(diǎn) 12分法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 則的外接圓方程為， 由于點(diǎn)在該圓上， 則， . 兩式相減得, 7分 由()知,代入上式得 , 8分 當(dāng)時, 得, 假設(shè)以為直徑的圓恒過點(diǎn),則即, 得, 9分 由解得, 10分所以點(diǎn). 11分當(dāng)時, 則,點(diǎn).所以以為直徑的圓恒過點(diǎn) 12分（21）解:()法1: 函數(shù)的定義域?yàn)?由, 得. 1分 因?yàn)?則時, ;時, . 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. 2分 當(dāng)時, . 3分 當(dāng), 即時, 又, 則函數(shù)有零點(diǎn). 4分所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. 5分法2：函數(shù)的定義域?yàn)?由, 得. 1分令，則.當(dāng)時, ; 當(dāng)時, .所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

14、2分故時, 函數(shù)取得最大值. 3分因而函數(shù)有零點(diǎn), 則. 4分所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. 5分 () 令, 則. 當(dāng)時, ;當(dāng)時, . 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. 當(dāng)時, . 6分 于是,當(dāng)時, 7分 令, 則. 當(dāng)時, ;當(dāng)時, . 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時, . 8分 于是, 當(dāng)時, 9分 顯然, 不等式、中的等號不能同時成立. 故當(dāng)時, . 10分 因?yàn)樗? 所以. 11分 所以, 即. 12分（22）解： () 由 消去得, 1分 所以直線的普通方程為. 2分 由, 3分 得. 4分 將代入上式, 得曲線的直角坐標(biāo)方程為, 即. 5分 () 法1:設(shè)曲線上的點(diǎn)為, 6分則點(diǎn)到直線的距離為7分8分 當(dāng)時, , 9分 所