281銳角三角函數(shù)第一課時

1、人教版九年級下冊28.1 28.1 銳角三角函數(shù)（銳角三角函數(shù)（1 1）意大利比薩斜塔意大利比薩斜塔1350年落成時就已傾斜，其塔頂年落成時就已傾斜，其塔頂中心點偏離垂直中心點中心點偏離垂直中心點2.1 m1972年比薩地區(qū)發(fā)生年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高地震，這座高54.5 m的斜塔在大幅度搖擺后仍魏然屹的斜塔在大幅度搖擺后仍魏然屹立，但塔頂中心點偏離垂直中心線立，但塔頂中心點偏離垂直中心線5.2 m，而且還在，而且還在繼續(xù)傾斜，有倒塌的危險當(dāng)?shù)貜睦^續(xù)傾斜，有倒塌的危險當(dāng)?shù)貜?990年對斜塔進(jìn)行年對斜塔進(jìn)行維修糾偏，維修糾偏，2001年竣工，此時塔頂中心點偏離垂直中年竣工，此時塔頂中心點偏離垂

2、直中心的距離減少了心的距離減少了43.8 cm 導(dǎo)入導(dǎo)入新課新課問題問題1 我們用我們用“塔身中心線與垂塔身中心線與垂直中心線所成的角直中心線所成的角”來描述比薩斜來描述比薩斜塔的程度，根據(jù)已測量的數(shù)據(jù)你能求塔的程度，根據(jù)已測量的數(shù)據(jù)你能求角角的度數(shù)嗎？的度數(shù)嗎？ 導(dǎo)入導(dǎo)入新課新課在上述問題中，可以抽象出什么幾何圖形？上述在上述問題中，可以抽象出什么幾何圖形？上述問題可以抽象成什么數(shù)學(xué)問題？問題可以抽象成什么數(shù)學(xué)問題？答：這個問題可以抽象出一個直角三角形，實答：這個問題可以抽象出一個直角三角形，實際是際是“已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這條直角邊所對

3、銳角的度數(shù)條直角邊所對銳角的度數(shù)” 導(dǎo)入導(dǎo)入新課新課對直角三角形的邊角關(guān)系，已經(jīng)研究了什么？對直角三角形的邊角關(guān)系，已經(jīng)研究了什么？還可以研究什么？還可以研究什么？答：我們前面研究了直角三角形中角與角之間答：我們前面研究了直角三角形中角與角之間的關(guān)系（兩銳角互余）、三邊之間的關(guān)系（勾股定的關(guān)系（兩銳角互余）、三邊之間的關(guān)系（勾股定理），還可以研究邊與角之間的關(guān)系理），還可以研究邊與角之間的關(guān)系 導(dǎo)入導(dǎo)入新課新課從實際需要看，要描述比薩斜塔的傾斜程度，我從實際需要看，要描述比薩斜塔的傾斜程度，我們需要研究直角三角形中邊與角之間的關(guān)系：從數(shù)學(xué)們需要研究直角三角形中邊與角之間的關(guān)系：從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，我

4、們已經(jīng)研究了直角三角形的邊與邊的關(guān)內(nèi)部看，我們已經(jīng)研究了直角三角形的邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角之間有什么關(guān)系呢？本節(jié)系、角與角的關(guān)系，邊與角之間有什么關(guān)系呢？本節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)課我們一起來學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)”銳角的正銳角的正弦、余弦、正切弦、余弦、正切 導(dǎo)入導(dǎo)入新課新課我們先研究有一個銳角為我們先研究有一個銳角為30的直角三角形問的直角三角形問題題問題問題2 為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對坡面的綠地進(jìn)行噴灌現(xiàn)測得斜坡與水平面所站，對坡面的

5、綠地進(jìn)行噴灌現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是成角的度數(shù)是30，為使出水口的高度為，為使出水口的高度為35 m，那么，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？需要準(zhǔn)備多長的水管？ 新課講解新課講解你能用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)這個實際問題嗎？如何解你能用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)這個實際問題嗎？如何解決這個問題決這個問題答：把上述實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題為：在答：把上述實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題為：在RtABC中，中，C=90，A=30，BC=35 m，求，求AB 新課講解新課講解依據(jù)依據(jù)“直角三角形中，直角三角形中，30角所對的直角邊是斜角所對的直角邊是斜邊的一半邊的一半”得到答案：得到答案：“需要準(zhǔn)備需要準(zhǔn)備70 m長的水管長的水管”

6、在上面的問題中，如果使出水口的高度為在上面的問題中，如果使出水口的高度為50 m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？那么需要準(zhǔn)備多長的水管？答：答：依據(jù)依據(jù)“直角三角形中，直角三角形中，30角所對的直角邊角所對的直角邊是斜邊的一半是斜邊的一半”得到答案：得到答案：“需要準(zhǔn)備需要準(zhǔn)備100 m長的水長的水管管” 新課講解新課講解對于有一個銳角為對于有一個銳角為30的任意直角三角形，的任意直角三角形，30角的對邊與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？角的對邊與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？答：答：在直角三角形中，如果一個銳角等于在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊那么不管這個直角三

7、角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于與斜邊的比值都等于 12 新課講解新課講解問題問題3 在直角三角形中，如果銳角的大小發(fā)生了改在直角三角形中，如果銳角的大小發(fā)生了改變，其對邊與斜邊的比值還是變，其對邊與斜邊的比值還是 嗎？例如，如圖，任意嗎？例如，如圖，任意畫一個畫一個RtABC，使，使C=90，A=45，計算，計算A的對邊與斜邊的比的對邊與斜邊的比 由此你能得出什么結(jié)論？由此你能得出什么結(jié)論？12BCAB 新課講解新課講解答：答：在在RtABC中，中，C=90，因為，因為A=45，所以所以RtABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形由勾股定理，得由勾股定理，得AB2=AC2+BC2

8、=2BC2， 因此因此 2ABBC12222BCBCABBC結(jié)論：結(jié)論：在一個直角三角形中，當(dāng)一個銳角等于在一個直角三角形中，當(dāng)一個銳角等于45時，無論這個直角三角形的大小如何，這個角的對角與時，無論這個直角三角形的大小如何，這個角的對角與斜邊的比都等于斜邊的比都等于 22 新課講解新課講解問題問題4 由上述兩個結(jié)論可知，在由上述兩個結(jié)論可知，在RtABC中，中，C=90，當(dāng)，當(dāng)A=30時，時，A的對邊與斜邊的比的對邊與斜邊的比都等于都等于 ，它是一個固定值；當(dāng)，它是一個固定值；當(dāng)A=45時，時，A的的對邊與斜邊的比都等于對邊與斜邊的比都等于 ，它也是一個固定值由，它也是一個固定值由此你能猜想

9、出什么一般的結(jié)論呢？此你能猜想出什么一般的結(jié)論呢？1222 新課講解新課講解答：答：在在RtABC中，當(dāng)銳角中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，無的度數(shù)一定時，無論這個直角三角形的大小如何，論這個直角三角形的大小如何，A的對邊與斜邊的的對邊與斜邊的比都是一個固定值比都是一個固定值問題問題5 如圖，任意畫如圖，任意畫RtABC和和RtABC，使得使得C=C=90，A=A=，那么，那么 與與 有什么關(guān)系？你能解釋嗎？有什么關(guān)系？你能解釋嗎？BCABBCAB 新課講解新課講解解：解： = ；因為；因為C=C=90，A=A=，所以所以RtABCRtABC所以所以 ，即，即 BCABBCABBCABBCABBCB

10、CABAB 新課講解新課講解在直角三角形中，當(dāng)銳角在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，無論的度數(shù)一定時，無論這個直角三角形的大小如何，它的對邊與斜邊的比都這個直角三角形的大小如何，它的對邊與斜邊的比都是一個固定值這個固定值隨銳角是一個固定值這個固定值隨銳角A的度數(shù)的變化而的度數(shù)的變化而變化，由此我們給這個變化，由此我們給這個“固定值固定值”以專門名稱以專門名稱如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90，我們把銳角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做的對邊與斜邊的比叫做A的的正弦正弦（sine），記作），記作sin A，即，即 新課講解新課講解sin A= Aac 的對邊斜邊當(dāng)當(dāng)A=30時，時，

11、A的正弦為多少？的正弦為多少？A=45呢？呢？答：答：sin 30= ，sin 45= 1222注意：正弦的三種表示方式：注意：正弦的三種表示方式：sin A（省去角的符號），（省去角的符號），sin 30，sinDEF 新課講解新課講解問題問題6 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90，當(dāng)，當(dāng)A確定時，確定時，A的對邊與斜邊的比隨之確定此時，其的對邊與斜邊的比隨之確定此時，其他邊之間的比是否也隨之確定呢？為什么？他邊之間的比是否也隨之確定呢？為什么？ 新課講解新課講解所以所以 ，即，即 ； ，即，即 答：答：當(dāng)當(dāng)A確定時，確定時，A的鄰邊與斜邊的比、的鄰邊與斜邊的比、A的對邊與鄰邊的比都

12、是確定的的對邊與鄰邊的比都是確定的證明：證明：如圖，因為如圖，因為C=C=90，A=A=，所以，所以RtABCRtABCACABACABACACABABBCACBCACBCBCACAC 新課講解新課講解我們把我們把A的鄰邊與斜邊的比叫做的鄰邊與斜邊的比叫做A的的余弦余弦（cosine），記作），記作cos A，即，即cos A= ；=Abc 的鄰邊斜邊把把A的對邊與鄰邊的比叫做的對邊與鄰邊的比叫做A的的正切正切（tangent），記作），記作tan A，即，即tan A= =AaAb 的對邊 的鄰邊A的正弦、余弦、正切都是的正弦、余弦、正切都是A的的銳角三角銳角三角函數(shù)函數(shù)（trigonome

13、tric function of acute angle） 新課講解新課講解例例1 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90，求，求sin A和和sin B的值的值分析：求分析：求sin A就是要確定就是要確定A的對邊與斜邊的比；的對邊與斜邊的比；求求sin B就是要確定就是要確定B的對邊與斜邊的比的對邊與斜邊的比 新課講解新課講解解：解：如圖（如圖（1），在），在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得2222435ABACBC因此因此 ，3sin5BCAAB4sin5ACBAB如圖（如圖（2），在），在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得222213512ACABBC因此

14、因此5sin13BCAAB，12sin13ACBAB 新課講解新課講解例例2 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90，AB=10，BC=6，求求sin A，cos A，tan A的值的值解：解：由勾股定理，得由勾股定理，得22221068ACABBC因此因此 ， ，63sin105BCAAB84cos105ACAAB63tan84BCAAC 新課講解新課講解1在在ABC中，若三邊中，若三邊BC、CA、AB滿足滿足BCCAAB=51213，則，則cos B=（ ）A B C D5121255131213C 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)2在在RtABC中，中，C=90，a=3，c=5，求，求sin A和和tan A的值的值解：在解：在RtABC中，中，a=3，c=5， 2222534bcasin A= ，tan A= 35ac34ab 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1正弦、余弦、正切的定義正弦、余弦、正切的定義如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90，A，B，C的對邊分別為的對邊分別為a，b，c（1）正弦：銳角）正弦：銳角A的對邊與斜邊的比叫做的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，的正弦，記作記作sin A，即，即sin A= Aac 的對邊斜邊課堂小結(jié)課堂小結(jié)（2）余弦：銳角）余弦：銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做