小升初工程問題全解

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔1、 一項(xiàng)工程，甲、乙合作要 12 天完成；如果甲先做三天后，再有乙接著做 8天，共完成這項(xiàng)工程的 5/12 。如果這件工程有甲、乙單獨(dú)完成各需多少天？分析:(1) 一項(xiàng)工程，甲、乙合作要 12 天完成 .說明: 那么甲、乙兩人每天做這項(xiàng)工程的 1/12.(2) 如果甲先做三天后，再有乙接著做 8 天，共完成這項(xiàng)工程的 12/5. 說明:這時(shí)候,我們就可以將條件改變?yōu)槿绻滓覂扇讼茸?3 天后,再由乙接著做 8-3=5( 天) ，共完成這項(xiàng)工程的 5/12.(3) 改變條件后 , 這一題便好解決多 . 如果甲乙兩人先做 3 天后,就做了這項(xiàng)工程 的(1/12)*3=1/4, 那么盛夏的

2、 5/12-1/4=1/6 就由乙 5(天)完成任務(wù) . 則可以求出乙的工作效率是 (1/6)/5=1/30, 單獨(dú)做就需要 1/(1/30)=30( 天).(4) 則甲的工作效率是 1/12-1/30=1/20, 那就要 1/(1/20)=20( 天).工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)， 是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充， 是培養(yǎng) 學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。 它是函數(shù)一一對(duì)應(yīng)思想在應(yīng)用題中的有力滲 透。工程問題也是教材的難點(diǎn)。工程問題是把工作總量看成單位“ 1”的應(yīng)用題， 它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困難。因此，在教學(xué)中， 如何讓學(xué)生建立正確概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵。 本節(jié)課從始至 終都以

3、工程問題的概念來貫穿，目的在于使學(xué)生理解并熟練掌握概念。 聯(lián)系實(shí)際談話引入。引入設(shè)懸，滲透概念。目的在于讓學(xué)生復(fù)習(xí) 理解工作總量、 工作時(shí)間、 工作效率之間的概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系。 初步的復(fù)習(xí)再次強(qiáng)化工 程問題的概念。通過比較，建立概念。 在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位， 運(yùn)用學(xué)生已有的知識(shí)文案大全包含除”來解決合作問題 合理運(yùn)用強(qiáng)化概念。學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上， 于頭腦中初步形成了概念的表象， 具 備概念的原型。一部分學(xué)生只是接受了概念，還沒有完全消化概念。 所以我編擬 了練習(xí)題，目的在于通過學(xué)生運(yùn)用，來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、消化概念，使學(xué)生 更加熟練的找到了工程問題的解題方法。 在學(xué)生大量練

4、習(xí)后， 引出含有數(shù)量的工 作問題，讓學(xué)生自己找到問題的答案。從而又一次突出工程問題概念的核心。在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品， 完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等， 都要涉及到工作量、工作效率、 工作時(shí)間這三個(gè)量， 它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是 工作量=工作效率X時(shí)間. 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題” . 舉一個(gè)簡單例子 . ：一件工作，甲做 10天可完成，乙做 15天可完成. 問兩人合作 幾天可以完成？一件工作看成 1 個(gè)整體，因此可以把工作量算作 1. 所謂工作效率，就是單位時(shí) 間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天” ，1 天就是一個(gè)單位， 再根據(jù)

5、基本數(shù)量關(guān)系式，得到 所需時(shí)間=工作量*工作效率 =6（天）?兩人合作需要 6 天 .這是工程問題中最基本的問題， 這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化（ 盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算 ），如第三講例 3 和例 8 所用方法，把 工作量多設(shè)份額 . 還是上題，10與 15的最小公倍數(shù)是 30. 設(shè)全部工作量為 30份. 那么甲每天完成 3份，乙每天完成 2份. 兩人合作所需天數(shù)是30-（ 3+ 2 ） = 6 （天） 數(shù)計(jì)算，就方便些:2.或者說“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15： 10=3： 2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比， 從比例角度考慮問題，也

6、 需時(shí)間是因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體 1” 的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)” ，也許會(huì)使我們的解題思路 更靈活一些 .一、兩個(gè)人的問題 標(biāo)題上說的“兩個(gè)人” ，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體 .例 1 一件工作，甲做 9天可以完成，乙做 6天可以完成 . 現(xiàn)在甲先做了 3天，余 下的工作由乙繼續(xù)完成 . 乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：甲每天完成 1/9 ，乙每天完成 1 /6 。甲先做了 3天，即做了整個(gè)工作的 3/9， 還剩下6/9，則乙完成剩余工作的天數(shù)為：6/9 - 1/6 = 4答：乙需要做 4 天可完成全部工作 .解二

7、： 9與6的最小公倍數(shù)是 18.設(shè)全部工作量是 18份.甲每天完成 2份，乙每 天完成 3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是(18- 2 X 3 )- 3= 4 (天).解三：甲與乙的工作效率之比是6: 9= 2 : 3.甲做了 3天，相當(dāng)于乙做了 2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是 6-2=4(天) .例2 一件工作，甲、乙兩人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲離開了， 由乙繼續(xù)做了 40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？ 解：共做了 6天后，原來，甲做 24 天，乙做 24 天，現(xiàn)在，甲做 0天，乙做 40=(24+16)天.這說明原來甲 24天做的工作，可由乙做 16天來

8、代替 . 因此甲的工作效率 如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是 答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是 75 天和 50天.例 3 某工程先由甲獨(dú)做 63天，再由乙單獨(dú)做 28天即可完成；如果由甲、乙兩 人合作，需 48 天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做 42 天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙 還需要做多少天？解：先對(duì)比如下： 甲做 63 天，乙做 28 天； 甲做 48 天，乙做 48 天 .就知道甲少做 63-48=15（天），乙要多做 48-28=20（天），由此得出甲的 甲先單獨(dú)做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做 因此，乙還要做28+28= 56 （天） .

9、 答：乙還需要做 56 天.例 4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做 10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作， 其間甲隊(duì)休息了 2 天，乙隊(duì)休息了 8 天（不存在兩隊(duì)同一天休息） .問開始到完 工共用了多少天時(shí)間？解一：甲隊(duì)單獨(dú)做 8 天，乙隊(duì)單獨(dú)做 2 天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是 2+8+ 1= 11 （天） .答：從開始到完工共用了 11 天.解二：設(shè)全部工作量為 30份.甲每天完成 3份，乙每天完成 1份. 在甲隊(duì)單獨(dú)做 8 天，乙隊(duì)單獨(dú)做 2 天之后，還需兩隊(duì)合作（30- 3 X 8-1 X 2 ）-（ 3+1） = 1 （天）.解三：甲隊(duì)做 1 天相當(dāng)

10、于乙隊(duì)做 3 天.在甲隊(duì)單獨(dú)做 8 天后，還余下（甲隊(duì)） 10-8= 2 （天）工作量 . 相當(dāng)于乙隊(duì)要做2X 3=6 （天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4 （天）工作量.4=3+1，其中 3天可由甲隊(duì) 1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作 1天.例 5 一項(xiàng)工程， 甲隊(duì)單獨(dú)做 20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一 起做，其間甲隊(duì)休息了 3天，乙隊(duì)休息了若干天 . 從開始到完成共用了 16天.問 乙隊(duì)休息了多少天？解一：如果 16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是 由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是 乙隊(duì)休息的天數(shù)是 答：乙隊(duì)休息了 5 天半.解二：設(shè)

11、全部工作量為 60份. 甲每天完成 3份，乙每天完成 2份. 兩隊(duì)休息期間未做的工作量是（ 3+2）X 16- 60= 20 （份） .因此乙休息天數(shù)是（20- 3 X 3 ）- 2= 5.5（天）.解三：甲隊(duì)做 2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做 3天.甲隊(duì)休息 3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息 4.5 天.如果甲隊(duì) 16天都不休息，只余下甲隊(duì) 4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì) 6天工作量，乙 休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5（天） .例 6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要 10天，單獨(dú)完成乙工作要 15天； 李單獨(dú)完成甲工作要 8 天，單獨(dú)完成乙工作要 20 天. 如果每項(xiàng)工作都可以由兩 人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最

12、少需要多少天？ 解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高 . 因此讓李先 做甲，張先做乙 .設(shè)乙的工作量為 60份（15與 20的最小公倍數(shù)） ，張每天完成 4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作此時(shí)張還余下乙工作（60-4 X 8）份.由張、李合作需 要（60-4 X 8）-（ 4+3） =4 （天）.8+4=12 （天）.答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天.例7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他們要 8天 完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完

13、成3X 0.8 + 2 X 0.9= 4.2（份）.因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（30-3 X 8）-（ 4.2-3 ） =5 （天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)，如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？解：乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答：甲單獨(dú)完成這件工作需要 33小時(shí).這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所

14、有工程問題的計(jì)算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每 有一點(diǎn)方便，但好處不大不必多此一舉、多人的工程問題 我們說的多人，至少有 3 個(gè)人，當(dāng)然多人問題要比 2人問題復(fù)雜一些， 但是解題 的基本思路還是差不多 .例9 一件工作，甲、乙兩人合作 36天完成，乙、丙兩人合作 45天完成，甲、 丙兩人合作要 60 天完成. 問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？ 解：設(shè)這件工作的工作量是 1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要 90 天完成.例 9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為 180份，甲、乙合作每天完成 5 份，乙、丙 合作每天完成 4份，甲、丙

15、合作每天完成 3份. 請(qǐng)?jiān)囈辉?，?jì)算是否會(huì)方便些？例 10 一件工作，甲獨(dú)做要 12天，乙獨(dú)做要 18天，丙獨(dú)做要 24天. 這件工作由 甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的 3 倍，再由丙 接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的 2 倍，終于做完了這件工作 . 問總共用了多 少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3X 2=6 （天）.說明甲做了 2天，乙做了 2X 3=6 （天），丙做2X 6=12（天），三人一共做了2+6+12=20（天） .答：完成這項(xiàng)工作用了 20天.本題整數(shù)化會(huì)帶來計(jì)算上的方便 .12， 18， 24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72. 可設(shè)全部工作量

16、為 72. 甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3. 總共用了例11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要 13天完成.如果丙休息 2天，乙就要 多做 4天，或者由甲、乙兩人合作 1 天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？ 解：丙 2 天的工作量，相當(dāng)乙 4 天的工作量 . 丙的工作效率是乙的工作效率的 4 十2=2 （倍）,甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做 3天，甲的工作效率是乙的工作效率的 3倍.他們共同做 13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要答：甲獨(dú)做需要 26天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 3 : 2: 1，就知甲做1天， 相當(dāng)于乙、丙合作

17、 1 天. 三人合作需 13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn) 化為甲再做 13天來完成.例 12 某項(xiàng)工作，甲組 3 人 8天能完成工作，乙組 4 人 7天也能完成工作 . 問甲組 2 人和乙組 7 人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？ 解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是 1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組 2人和乙組 7人每天能完成答：合作 3 天能完成這項(xiàng)工作 .解二：甲組 3 人 8 天能完成，因此 2 人 12 天能完成；乙組 4 人 7 天能完成，因 此 7人 4天能完成 .現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做 12天，乙組獨(dú)做 4天，問合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的

18、特殊性 . 解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心 算較好，很快就能得出答數(shù) .例 13 制作一批零件，甲車間要 10 天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要 6 天就能完成 . 乙車間與丙車間一起做，需要 8天才能完成 . 現(xiàn)在三個(gè)車間一起做， 完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件 2400個(gè). 問丙車間制作了多少個(gè)零件？ 解一：仍設(shè)總工作量為 1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了 4200個(gè)零件 .解二：10 與 6 最小公倍數(shù)是 30.設(shè)制作零件全部工作量為 30 份.甲每天完成 3 份，甲、乙一起每天完成 5 份，由此得出乙每天完成 2 份.乙、丙一起

19、，8天完成.乙完成8 X 2=16（份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是16 : 14=8 : 7.已知甲、乙工作效率之比是 3 : 2= 12 : 8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12: 8: 7.當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400-（ 12- 8 ） X 7= 4200 （個(gè)）.例 14 搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要 10小時(shí)，乙需要 12 小時(shí)，丙需要 15小時(shí). 有同樣的倉庫A和B,甲在A倉庫、乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助 甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn) . 最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完 . 問丙幫助甲、乙 各多少時(shí)間？解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉

20、庫的貨物的工作量是 1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量 2，所 需時(shí)間是答：丙幫助甲搬運(yùn) 3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn) 5小時(shí). 解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉庫的時(shí)間 . 本題計(jì)算當(dāng)然也可以整 數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫全部工作量為 60. 甲每小時(shí)搬運(yùn) 6，乙每小時(shí)搬運(yùn) 5，丙 每小時(shí)搬運(yùn) 4.三人共同搬完，需要60 X 2 -（ 6+ 5+ 4 ）= 8 （小時(shí)） .甲需丙幫助搬運(yùn)（ 60- 6 X 8 ）- 4= 3 （小時(shí)） .乙需丙幫助搬運(yùn)(60- 5 X 8 )- 4= 5 (小時(shí)).三、水管問題 從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的 . 水池的注水或排水相當(dāng)于一 項(xiàng)工程，注水量

21、或排水量就是工作量 . 單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效 率 . 至于又有注入又有排出的問題， 不過是工作量有加有減罷了 . 因此，水管問題 與工程問題的解題思路基本相同 .例 15 甲、乙兩管同時(shí)打開， 9分鐘能注滿水池 . 現(xiàn)在，先打開甲管， 10 分鐘后 打開乙管，經(jīng)過 3分鐘就注滿了水池 . 已知甲管比乙管每分鐘多注入 0.6 立方米 水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是 27立方米 .例 16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等 . 現(xiàn)在按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果 開始時(shí)就打開 10 根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間

22、注滿水池 . 問開始 時(shí)打開了幾根水管？答：開始時(shí)打開 6根水管.例 17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管 . 要灌滿一池水，單開 甲管需 3小時(shí)，單開丙管需要 5小時(shí). 要排光一池水，單開乙管需要、乙、的順序輪流打開1小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？ ，否則開甲管的過程中水池里的水就會(huì)溢出以后（20 小時(shí)），池中的水已有 此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30 尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬 3尺，又滑下 2 尺.問這只青蛙需要多少小 時(shí)才能爬到井口？看起來它每小時(shí)只往上爬 3- 2= 1 （尺），但爬了 27小時(shí)后，它再爬 1小時(shí)，往 上

23、爬了 3 尺已到達(dá)井口 .因此，答案是 28 小時(shí)，而不是 30小時(shí).例 18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入 4 立方米水 . 如果打開 5 個(gè)水龍頭， 2 小時(shí)半就 把水池水放空， 如果打開 8個(gè)水龍頭， 1 小時(shí)半就把水池水放空 .現(xiàn)在打開 13個(gè) 水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空？ 解：先計(jì)算 1 個(gè)水龍頭每分鐘放出水量 .2 小時(shí)半比 1 小時(shí)半多 60 分鐘，多流入水4 X 60= 240 （立方米）.時(shí)間都用分鐘作單位， 1 個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 - （ 5 X 150- 8 X 90 ） = 8 （立方米）,8 個(gè)水龍頭 1 個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 X 8 X 90，其中 90

24、 分鐘內(nèi)流入水量是 4 X 90 ，因此原來水池中存有水 8 X 8 X 90-4 X 90= 5400 （立方米） .打開 1 3個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水 8X 13，除去每分鐘流入 4，其余將放出原存 的水，放空原存的 5400，需要5400 -（8 X 13- 4 ） =54 （分鐘）.答：打開 1 3個(gè)龍頭，放空水池要 54分鐘. 水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān) 鍵是先求出池中原存有的水 . 這在題目中卻是隱含著的 .例 19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中， 每小時(shí)滲入水量是固定的 . 打開 A 管， 8小時(shí)可將滿池水排空，打開 C管，12小時(shí)

25、可將滿池水排空.如果打開A, B兩 管，4小時(shí)可將水排空.問打開B, C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？ 解：設(shè)滿水池的水量為 1.A管每小時(shí)排出A管4小時(shí)排出因此，B，C兩管齊開，每小時(shí)排水量是B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時(shí)間是答： B， C 兩管齊開要 4 小時(shí) 48 分才將滿池水排完 .本題也要分開考慮，水池原有水(滿池)和滲入水量 . 由于不知具體數(shù)量，像工 程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣 . 這里把兩種水量分別設(shè)成“ 1”. 但這兩種量 要避免混淆 . 事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為 8與 12的最小公倍數(shù) 24.1 7世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本 普遍算術(shù)一書，書中

26、提出了一個(gè) “牛 吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題 .從本質(zhì)上講，與例 18和例 19是類同 的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草 .這與原有水量、滲入 水量、水管排出的水量，是完全類同的 .例 20 有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長得一樣密，而且長得一 草；21 頭牛 9 星期吃完第 二片牧場(chǎng)的草 . 問多少頭牛 1 8星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草？解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量X牛頭數(shù)X星期數(shù).根據(jù)這一計(jì)算公式，可以 設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位 .原有草+4星期新長的草 =12X4. 原有草 +9 星期新長的草 =7X 9. 由此可得出，每星期新長的草是(7X 9-

27、12 X 4)-( 9-4) =3. 那么原有草是7X 9-3 X 9=36 (或者 12X4-3 X4) 對(duì)第三片牧場(chǎng)來說，原有草和 18 星期新長出草的總量是這些草能讓90 X 7.2 - 18=36 （頭）牛吃 18 個(gè)星期 .答：36 頭牛 18 個(gè)星期能吃完第三片牧場(chǎng)的草 .例 20 與例 19 的解法稍有一點(diǎn)不一樣 . 例 20 把“新長的”具體地求出來，把“原 有的”與“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計(jì)算 . 事實(shí)上，如果例 19 再有一個(gè)條件，例 如：“打開 B 管， 10 小時(shí)可以將滿池水排空 . ”也就可以求出“新長的”與“原 有的”之間數(shù)量關(guān)系 . 但僅僅是例 19 所求，是不需

28、要加這一條件 . 好好想一想， 你能明白其中的道理嗎？ “牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn) . 限于篇幅，我們只再舉一 個(gè)例子.例 21 畫展 9 點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng) . 從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘 來的觀眾人數(shù)一樣多 . 如果開 3 個(gè)入場(chǎng)口， 9 點(diǎn) 9 分就不再有人排隊(duì)，如果開 5 個(gè)入場(chǎng)口， 9 點(diǎn) 5 分就沒有人排隊(duì) . 問第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是 8 點(diǎn)幾分？ 解：設(shè)一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為 1 個(gè)計(jì)算單位 .從 9 點(diǎn)至 9 點(diǎn) 9 分進(jìn)入觀眾是 3X 9，從 9 點(diǎn)至 9 點(diǎn) 5 分進(jìn)入觀眾是 5X 5.因?yàn)橛^眾多來了 9-5=4（分鐘），所以每分鐘來

29、的觀眾是（3X 9-5 X 5）-（ 9-5） =0.5.9 點(diǎn)前來的觀眾是5X 5-0.5 X 5=22.5.這些觀眾來到需要22.5 - 0.5=45 （分鐘） .答：第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是 8 點(diǎn) 15 分.例 1、 挖一條水渠， 甲、乙兩隊(duì)合挖要六天完成。甲隊(duì)先挖三天，乙隊(duì)接著挖一天，可挖這條水渠的 3/10 ，兩隊(duì)單獨(dú)挖各需幾天？分析: 甲乙合作 1天后, 甲又做了 2天共 3/10-1/6=4/302-(3/10-1/6)=2- 4/30=15(天)1 十(1/6-1/15)=10(天)答:甲單獨(dú)做要 1 5天,乙單獨(dú)做要 10天 .例 2.一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時(shí)間可

30、提前 2 天完成，乙則要超 過規(guī)定時(shí)間 3 天才完成。現(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨(dú)做，剛好在 規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時(shí)間？解設(shè)：規(guī)定時(shí)間為X天.(甲單獨(dú)要X-2天,乙單獨(dú)要X+3天，甲一共做了 2天,乙一 共做了 X天)1/(X-2) X 2 + X/(X+3)=1X=12規(guī)定要 12天完成1 十1/(12-2)+1/(12+3)=1-(1/6)=6 天答： 兩人合作完成要 6天.例 3：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做 63天，再由乙做 28天完成，甲乙合作需要 48天完成。甲先做 42 天，乙做還要幾天？答：設(shè)甲的工效為 x, 乙的工效為 y63x+28y=148x+48

31、y=1 x=1/84y=1/112乙還要做（ 1-42/84 ）/ （ 1/112 ）=56（天）【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間 的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng) 工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單 位“ 1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“ 1”，這樣，工作 效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾）， 進(jìn)而 就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量=工作效率X工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量十工作效率工作時(shí)間=總工作

32、量十（甲工作效率+乙工作效 率）解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式例 1、一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要 10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要 15天完成， 現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解 題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量， 因此，把此項(xiàng)工程看作單位“ 1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需 10天完成，那么每天完成這 項(xiàng)工程的 1/10 ；乙隊(duì)單獨(dú)做需 15 天完成，每天完成這項(xiàng)工程的 1/15 ；兩隊(duì)合 做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（ 1/10 + 1/15 ）。由此可以列出算式：1-（ 1/10 + 1/15 ）= 1十1/6 = 6 （天）答：兩隊(duì)合做需要6 天完成例 2、一批零件，甲獨(dú)做 6 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 8 小時(shí)完成。現(xiàn)在兩人合做， 完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做 24 個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解 設(shè)總工作量為 1 ，則甲每小時(shí)完成 1/6 ，乙每小時(shí)完成 1/8 ，甲比乙每 小時(shí)多完成（ 1/