金融數(shù)學(xué)引論北大版第4章答案

1、第四章習(xí)題答案1 現(xiàn)有1000 元貸款計(jì)劃在5 年內(nèi)按季度償還。已知季換算名利率6%，計(jì)算第2年底的未結(jié)貸款余額。解： 設(shè)每個(gè)季度還款額是R ，有Ra(4)5p6% = 1000解得R ，代入B2 的表達(dá)式B2 = Ra(4)3p6%= 635.32 元2 設(shè)有10000 元貸款，每年底還款2000 元，已知年利率12% ，計(jì)算借款人的還款總額等于原貸款額時(shí)的未結(jié)貸款余額。解：n =100002000= 5B5 = 10000 × (1 + i)n 2000snp12% = 4917.72 元3 某貸款在每季度末償還1500 元，季換算名利率10% ，如果已知第一年底的未結(jié)貸款余額為

2、12000 元，計(jì)算最初的貸款額。解： 以季度為時(shí)間單位，i = 2.5% 。B0 = B1 v + 1500a4pi = 16514.4 元4 某貸款將在15 年內(nèi)分期償還。前5 年每年底還4000 元，第二個(gè)5 年每年底還3000 元，最后5 年每年底還2000 元。計(jì)算第二次3000 元還款后的未結(jié)貸款余額的表達(dá)式。解： 對(duì)現(xiàn)金流重新劃分，有B7 = 2000a8p + 1000a3p北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第1 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究5 某貸款將以半年一次的年金方式在3 年半內(nèi)償還，半年名利率8% 。如果已知第4 次還款后的未結(jié)貸款余額為5000 元，計(jì)算原始貸款金額。解： 設(shè)原始

3、貸款額為L(zhǎng) ，每次還款為R ，以半年為時(shí)間單位，有5000 = Ra3p4% L = Ra7p4% 整理得：L = 5000 a7pa3p= 10814.16 元6 現(xiàn)有20000 元貸款將在12 年內(nèi)每年底分期償還。若(1+i)4 = 2 ，計(jì)算第4 次還款后的未結(jié)貸款余額。解： 設(shè)第4 次還款后的未結(jié)貸款余額為L(zhǎng) ，每次還款為R ，有20000 = R a12pi L = R a8pi 把(1 + i)4 = 2 代入整理得：L = 5000 1 (1 + i)81 (1 + i)12= 17142.86 元7 20000 元抵押貸款將在20 年內(nèi)每年分期償還，在第5 次還款后，因資金短缺

4、，隨后的兩年內(nèi)未進(jìn)行正常還貸。若借款人從第8 年底重新開(kāi)始還貸，并在20年內(nèi)還清。計(jì)算調(diào)整后的每次還款額。解： 設(shè)正常每次還款為R ，調(diào)整后每次還款X ，以當(dāng)前時(shí)間和第5 年底為比較日，有20000 = Ra20pXa13p v2 = Ra15p整理得：X = 20000 a15p a20p (1 + i)2a13p8 某貸款L 原計(jì)劃在25 年內(nèi)分年度等額還清。但實(shí)際上從第6 次到第10 次的還款中每次多付K 元，結(jié)果提前5 年還清貸款。試證明：K =a20p a15pa25p a5p L證： 以第20 年年底為比較日，設(shè)每次還款為R ，有L = Ra25pKs5p (1 + i)10 =

5、Ra5p整理即得。9 設(shè)Bt 表示未結(jié)貸款余額，證明：(1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (Bt+1 Bt+2)2;(2) Bt + Bt+3 < Bt+1 + Bt+2證： (1)(Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (R + Bt+11 + i Bt+1) (Bt+2 (1 + i)Bt+2 R)=R iBt+11 + i (R iBt+2)= (R iBt+1) R i(1 + i)Bt+1 R)1 + i= (R iBt+1)2= (Bt+1 Bt+2)2(2)Bt Bt+1 = R iBt< R iBt+2= Bt+2 Bt+3) Bt + Bt

6、+3 < Bt+1 + Bt+2默認(rèn)每次還款額是相同的！10 某貸款按季度分期償還。每次1000 元，還期5 年，季換算名利率12%。計(jì)算第6 次還款中的本金量。解：P6 = B5 B6= 1000a205p3% 1000a206p3% = 1000 × 1.0315= 641.86 元11 n 年期貸款，每年還款1元。試導(dǎo)出支付利息的總現(xiàn)值(去掉：之和)。解： 設(shè)第t 年支付的利息為It ，有It = iBn+1t= ian+1tp= 1 vn+1t支付利息的總現(xiàn)值為：I =nt=1Itvt=nt=1(1 vn+1t)vt= anp nvn+112 設(shè)10000 元貸款20

7、年還清，年利率10%，證明第11 次中的利息為10001 + v10元。此處有改動(dòng)10000改成1000證： 設(shè)每期還款額為R ，由上題的結(jié)論有I11 = R(1 v10)=10000a20p (1 v10)= 10000 i1 + v10=10001 + v1013 設(shè)有20 次分期還貸，年利率9%。問(wèn)：第幾次還款中的本金量與利息量差額最小。解： 不妨設(shè)每次還款額為1。Pt It = vnt+1 (1 vnt+1)= 2vnt+1 1由2vnt+1 1 = 0 t 12.96驗(yàn)證t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量與利息量差額最小。14 現(xiàn)有5 年期貸款，分季度償還。已知第3 次

8、還款中的本金為100 元，季換算的名利率10%。計(jì)算最后5 次還款中的本金量之和。解： 以一季度為時(shí)間單位，設(shè)每次還款額為R，由題意得Rv203+1 = 100 R =100v18于是最后5 次本金總額為R(v1 + + v5) = 724.59 元15 現(xiàn)準(zhǔn)備用20 年時(shí)間分期償還一筆貸款，且已知前10 年的年利率為i ，后10年的年利率為j 。計(jì)算：(1) 第5 次償還中的利息量；(2) 第15 次償還中的本金量。解： 設(shè)初始貸款量為1 ，每年還款額為R ，有：1 = Ra10pi + Ra10pj (1 + i)10) R =1a10pi + (1 + i)10a10pj (1) I5

9、= iB4= iR(a6pi + (1 + i)6a10pj )(2) P15 = B14 B15= Ra6pj Ra5pj = R(1 + j)616 原始本金為A 的抵押貸款計(jì)劃在盡可能長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)每年償還K ，且最后一次將不足部分一次還清。計(jì)算：(1) 第t 次償還的本金量；(2) 攤還表中的本金部分是否為等比數(shù)列？解： 設(shè)總還款次數(shù)為n ，最后一次還款中不足部分設(shè)為B 。(1) 利用追溯法可得Bt =A(1 + i)t Kstp , t < n0, t = n故Pt =(K iA)(1 + i)t1, t < n(k iA)(1 + i)n1 + B, t = n(2) 顯然

10、前n 1 次本金呈等比數(shù)列，最后一次與前面沒(méi)有等比關(guān)系。17 現(xiàn)有20 年的抵押貸款分年度償還，每次1元。如果在第7 次正常還款的同時(shí)，額外償還原攤還表中第8 次的本金，而且今后的還款仍然正常進(jìn)行。（正常的意思是依然按照攤還表進(jìn)行，改變期限，每次還款的金額不變）。證明：還貸期間節(jié)約的利息為1 v13 。證： 在第7 次額外多還以后，第n 次還款剛好對(duì)應(yīng)原攤還表中第n + 1 次的還款。所以節(jié)約的利息為原攤還表中第8 次還款中的的利息量，為1 v13 。18 總量為L(zhǎng) 的貸款分10 年償還，已知v5 =23。計(jì)算：(1) 前5 次償還中的本金之和；(2) 如果最后5 次還款因故取消，計(jì)算第10

11、年底的未結(jié)貸款余額。解： (1) 由題意得前5 次償還本金之和為R(v10 + + v6) = Rv6 1 v51 v=La10pv1 vv5(1 v5)=L1 v10 v5(1 v5)= 0.4L(2) 利用追溯法B10 = L(1 + i)10 Rs5p (1 + i)5= Lv10 Lv10 v51 v10= 0.9L19 現(xiàn)有35 年貸款按年度償還。已知第8 次還款中的利息為135 元，第22 次還款中的利息為108 元，計(jì)算第29 次還款中的利息量。解： 由I8 = R(1 v28)I22 = R(1 v14)R = 144v7 =12于是I29 = R(1 v7)= 144 

12、15; 12= 72 元20 某貸款分n 次等額償還，實(shí)利率為i ，已知第K 次還款前的未結(jié)貸款余額首次低于原始貸款額的一半。計(jì)算K。解： 由題意得L = RanpBk2 = Rank+2p > L2Bk1 = Rank+1p <L22vnk+2 vn 6 12vnk+1 vn > 1故K = n + 1 ln(vn + 1) ln 2ln v + 1其中x 表示取整函數(shù)。21 設(shè)有年利率2.5%的15000 元貸款，每年償還1000 元。計(jì)算第幾次還款中本金部分最接近利息部分的4 倍解： 設(shè)第k 次還款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法Bk1 = L(1 + i)k

13、1 Rsk1p Ik = iBk1 = iL(1 + i)k1 R(1 + i)k1 1Pk = R Ik = R(1 + i)k1 iL(1 + i)k1再由Pk = 4Ik 得k 11。22 某貸款在每年的2 月1 日等額還貸。已知1989 年2 月1 日的還款中利息為103.00 元，1990 年2 月1 日的還款中利息為98.00 元，年利率8% 。計(jì)算：(1)1990 年還款中的本金部份；(2) 最后一次不足額還款的日期和金額。解： (1) 設(shè)In, Pn 為別為n 年的利息部分和本金部分，I1990 = I1989 iP1989 P1989 = 62.5又I1989 + P1989

14、 = I1990 + P1990 P1990 = 67.5(2) 利用遞推公式容易求得2000 年2 月1 日還款后未結(jié)貸款余額為101.43 元，已經(jīng)小于165.5 元。同時(shí)易得B1989 = 1225 。設(shè)最后一次還款在2000年2月1日后經(jīng)過(guò)時(shí)間t收回。于是t滿足1225 = 165.51 v11+ti t = 0.653故最后一次還款時(shí)間為2000 年9 月24 日，金額為165.5 × 1.08t10.08 = 106.67元。建議把最后不足部分的償還方法說(shuō)清楚，我們用的是：不足部分在下一年的等價(jià)時(shí)間償還的方法。與原答案有出入23 某貸款通過(guò)2n 次償還。在第n 次償還后，

15、借款人發(fā)現(xiàn)其負(fù)債為原始貸款額的3/4 ，計(jì)算下一次還款中利息部份的比例。解： 由題意得34L = Ranpi L = Ra2npi vn =13而In+1 = R(1 vn)，故利息部分所占的比例是23。24 某銀行提供月利率1% 的抵押貸款，如果借款人提前將貸款余額一次付清，只需對(duì)當(dāng)時(shí)余額多付出K% 。如果某人在第5 年底找到另一家銀行提供月利率0.75% 的10 年貸款，對(duì)這個(gè)借款人來(lái)說(shuō)K 的最大可接受值為多少？解： K 最大可接受，即這個(gè)借款人在兩家銀行每月的還款額相同。a120p0.75% = (1 + K%)a120p1% K = 13.258%25 現(xiàn)有10000 元貸款利率10%

16、 。已知借款人以8% 累積償債基金，第10 年底的償債基金余額為5000 元，第11 年的還款金額為1500 元。計(jì)算：(1) 1500 元中的利息量；(2) 1500 元中的償債基金存款；(3) 1500 元中償還當(dāng)年利息的部分；(4) 1500 元中的本金量；(5) 第11 年底的償債基金余額。解： (1) I11 = 10000 × 10% = 1000 元；(2) 償債基金存款額為1500 1000 = 500 元；(3) 也即是計(jì)算凈利息: 1000 5000 × 8% = 600 元；(4) 本金量1500 600 = 900 元；(5) 11 年底的償債基金余

17、額5000 × (1 + 8%) + 500 = 5900 元。26 證明：anpi&j =snpj 1 + isnpj 。證： 利用L = Ranpi&j L = (R iL)snpj 消去R可得(Lanpi&j iL)snpj = L再適當(dāng)變形便可得結(jié)論。27 現(xiàn)有利率為9%的10000 元貸款，每年底還利息，同時(shí)允許借款人每年初以利率7%向償債基金存款K 。如果在第10 年底償債基金的余額恰足以償還貸款。計(jì)算K。解： 由題意得K¨s10p7% = 104 K = 676.4328 現(xiàn)有10 年期貸款年利率5%，每年底還貸1000 元。貸款的一半

18、按攤還方式進(jìn)行，另一半按額外提供4%年利率的償債基金方式還款。計(jì)算貸款額。解： 設(shè)貸款額為X ，有X/2 = R1a10p5% X/2 = R2anp5%&4% 1000 = R1 + R2整理得到X2(1a10p5% +1anp5%&4% ) = 1000X = 7610.48 元29 為期10 年的12000 元貸款，每半年還款1000 元。已知前5 年以i(2) = 12%計(jì)息，后5 年以i(2) = 10% 計(jì)息。每次還款除利息外存入利率i(2) = 8% 的償債基金。計(jì)算第10 年底償債基金與貸款之間的差額。解： 前5 年每半年放入償債基金1000 12000 

19、15; 6% = 280后5 年每半年放入償債基金1000 12000 × 5% = 400故第10 年底償債基金余額為280s10p4% × (1 + 4%)10 + 400s10p4% = 9778.6于是差額為2221.4 元。30 為期10 年的3000 元貸款，以i(2) = 8% 計(jì)息。如果借款人將貸款的1/3 通過(guò)存入利率i(2) = 5% 的償債基金償還，剩余的2/3 通過(guò)存入利率i(2) = 7% 的償債基金償還。計(jì)算每年的還款總額。解： 設(shè)對(duì)于1/3 部分貸款每年還款為R1 ，剩余部分貸款每年還款為R2 。有(R1 1000 × 4%)s20p

20、2.5% = 1000(R1 2000 × 4%)s20p3.5% = 2000分別解得R1 = 79.15,R2 = 150.72。故每年的總還款額為R1 + R2 = 229.87 元31 為期31 年的400000 元貸款,每年底還款36000 元，若以年利率3%建立償債基金。計(jì)算原貸款利率。解： 設(shè)原貸款利率就是i 。有(36000 400000i)s31p3% = 400000解得i 7% 。32 某20 年期末年金，以前10 年利率8%后10 年利率7%計(jì)算的現(xiàn)值為10000元。某投資者以年利率9% 買(mǎi)得該年金，并允許以累積償債基金的方式收回這筆資金，償債基金前10 年利

21、率為6%，后10 年利率為5%。計(jì)算償債基金的存款額。解： 設(shè)期末年金每年的金額是R ，償債基金存款額為X ，未結(jié)貸款余額為P ，有10000 = Ra10p8% + Ra10p7% (1 + 8%)10R = X + P × 9%P = Xs10p 6%(1 + 5%)10 + Xs5%p解得：X = 246.95 元有待討論！我們認(rèn)為年利率9% 就是利率i33 某n 年期利率為i 的貸款，以利率j 建立償債基金。試給出以下各問(wèn)的表達(dá)式(1 6 t 6 n )：(1) 貸方每年得到的利息；(2) 償債基金每年的存款額；(3) 第t 年償債基金所得利息；(4) 償債基金在第t 年底的

22、余額；(5) 第t 年底的未結(jié)貸款余額；(6) 第t 年支付的凈利息；(7) 第t 年支付的本金。解： 設(shè)貸款額為L(zhǎng)。(1) 貸方每年得到的利息為iL ；(2) 由償債基金的定義知，償債基金每年的存款額為L(zhǎng)snpj (3) 償債基金在t 1 年末的余額是Lsnpj st1p ，故在第t年所得利息為jL(1 + j)t1 1(1 + j)n 1(4) 償債基金在第t 年底的余額是Lsnpj stpj = L(1 + j)t 1(1 + j)n 1(5) 第t 年底的未結(jié)貸款余額為L(zhǎng) L(1 + j)t 1(1 + j)n 1= L(1 + j)n (1 + j)t(1 + j)n 1(6) 第t

23、 年支付的凈利息為iL jL(1 + j)t1 1(1 + j)n 1(7) 第t 年支付的本金量是第t 年償債基金所得利息與第t 年存入償債基金金額之和，即為jL(1 + j)t1 1(1 + j)n 1+Lsnpj =j(1 + j)t1L(1 + j)n 134 為期10 年的100000 元貸款，貸款利率12%，同時(shí)以年利率8%建立償債基金。已知前5 年還款為K ；后5 年還款為2K 。計(jì)算K 。解： 每年的利息為100000 × 12% = 12000故100000 = (K 12000)s5p8% (1 + 8%)5 + (2K 12000)s5p8% 解得K = 134

24、54.36 元。35 某10000 元貸款以利率i(12) = 15% 按月償還利息，同時(shí)以利率i(12) = 9% 每月存款100 元累積償債基金。一旦償債基金的余額達(dá)到10000 元，則結(jié)束還貸。計(jì)算借款人總的還款額。解： 每月還利息為10000 × i(12)12= 125 元，于是每月總支出為100 + 125 = 225再由100snp7.5% > 10000 n = 75但需要注意100snp7.5% 10, 000 = 18.33 ，故最后一個(gè)月放入償債基金的應(yīng)是100 18.33 元。所以總共還款額為75 × 225 18.33 = 16856.67

25、元36 為期25 年的100000 元貸款，貸款利率12%。如果貸款人從每年的還款中以年利率i 提取利息，同時(shí)將剩余部份以利率j 累積償債基金。分別對(duì)j = 8%, 12%和16%三種情況計(jì)算i 。解： j = 12%相當(dāng)于按照攤還方式對(duì)應(yīng)的利率。設(shè)每次還款額為R ，于是R =La25p0.12 再根據(jù)償債基金的定義有(R iL)s25pj = L解得i =1a25p12% 1s25pj 代入數(shù)據(jù)便有(1) j = 8% 時(shí)，i = 11.38%；(2) j = 12% 時(shí)，i = 12%；(3) j = 16% 時(shí)，i = 12.35%。37 現(xiàn)有10 年期貸款按月償還，其中月?lián)Q算名利率i(

26、12) = 12% ，首次為600 元，然后每次增加5 元。(1) 計(jì)算原始貸款金額；(2) 證明：Pt = P1(1 + 0.01)t1 + 5st1p1% 。解： L = 595s120p1% + 5Ia120p1% = 58490.89 元；證： 這個(gè)題證明方法不唯一，比如利用遞推關(guān)系，找規(guī)律再用歸納法證明。下面給出的證明方法是作者認(rèn)為最簡(jiǎn)單的。如果每次還款額是一樣的，那么Pt 呈等比數(shù)列，且Pt = P1(1+i)t1 。于是我們只需要將兩種還款方式進(jìn)行比較即可。下面用B1t 表示等額還款時(shí)第t次的未結(jié)貸款余額，B2t 表示按題中方式進(jìn)行還款時(shí)第t 次的未結(jié)貸款余額。于是B1t = L

27、(1 + i)t 600stpi B2t = L(1 + i)t 600stpi 5Ist1pi 故P2t P1t = (B2t1 B2t ) (B1t1 B1t )= (B2t1 B1t1) + (B1t B2t )= 5(Ist1pi Ist2pi )= 5st1pi (直接帶公式化簡(jiǎn))于是Pt = P1(1 + 0.01)t1 + 5st1p1% 38 某帳戶現(xiàn)有1000 元存款，每月實(shí)利率1%，且月月結(jié)算。如果每次恰好在利息結(jié)算的下一個(gè)瞬間取出100 元。問(wèn)：最多可以提取幾次？同時(shí)給出該帳戶每月余額和利息的列表。解： 設(shè)第t 個(gè)月帳戶余額為Bt ，于是Bt = 1000(1 + i)t

28、 100stpi 容易算得t = 10 時(shí)，帳戶余額首次低于100 元，故最多能夠提取10 次。每月結(jié)余和利息列表如下：月份利息帳戶余額0 0.00 1000.001 10.00 910.002 9.10 819.103 8.19 727.294 7.27 634.565 6.35 540.916 5.41 446.327 4.46 350.788 3.51 254.299 2.54 156.8310 1.57 58.4039 已知某貸款每半年償還K 元，且三次連續(xù)還貸后的貸款余額為：5190.72 ，5084.68 和4973.66 。計(jì)算K。解： 利用追溯法可得5190.72(1 + i)

29、 K = 5084.685084.68(1 + i) K = 4973.66由此可解得K = 349.81 元。40 利率為i 的貸款L ，每次償還K ，直至最后的不足額(不足金額K )還款。證明：Bt =Ki (Ki L)(1 + i)t。證： 利用追溯法Bt = L(1 + i)t Kstpi = L(1 + i)t K(1 + i)t 1i=Ki (Ki L)(1 + i)t41 現(xiàn)有1000000 遺產(chǎn)，年投資收益5%。由A，B 和C 三人繼承。A 每年從本金中得到125000 元，累計(jì)5 年；B 每年從本金中得到75000 元，累計(jì)5 年；C每年得到利息。計(jì)算三人的遺產(chǎn)繼承份額。解：

30、 (1) A 繼承遺產(chǎn)的終值為125, 000s5p5% = 690, 703.91 元；(2) B 繼承遺產(chǎn)的終值為75, 000s5p5% = 414, 422.34 元；(3) C 繼承遺產(chǎn)的終值為1, 000, 000(1 + 0.05)5 125, 000s5p5% 75, 000s5p5% = 171, 155.31 元故三人的遺產(chǎn)繼承份額分別為54.12%、32.47%、13.41%。42 某10 年期年金，每季度500 元，年利率8%。計(jì)算10 年間所有的利息收入。解： 設(shè)季實(shí)利率為i ，則i 滿足(1+i)4 = 1+8% 。解得i = 1.94% 。于是利息收入為500s4

31、0pi 500 × 40 = 9811.27 元43 現(xiàn)有5 年期10000 元貸款，半年換算名利率12%。若在償還利息之后，借款人每年年底以年利率8%的存款方式累積貸款本金。計(jì)算5 年內(nèi)的還貸總額。解： (1) 每年償還利息為10, 000 × 12%2× 2 = 1200 元。(2) 每年償還本金為10000s5p8% = 1704.56 元。故5 年內(nèi)還貸總額為(1200 + 1704.56) × 5 = 14522.82 元北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第17 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究44 某貸款以每年年底還3000 元償還，季換算名利率10%。若第

32、3 次還款中的利息量為2000 元，計(jì)算第6 次還款中的本金量。解： 設(shè)等價(jià)年實(shí)利率為i ，則i = (1 + 10%4 )4 1 = 10.38%。由題意3000(1 vn2) = 2000解得vn2 =13。故第六次還款中的本金為3000vn5 = 3000vn2v3 = 1344.84元45 現(xiàn)有10 年期5000 元貸款，季換算名利率10%。借款人在第10 年底一次性償還所有累計(jì)利息和本金。為此，以半年換算名利率7%累計(jì)償債基金。計(jì)算償債基金的每次存款額。解： 設(shè)每次存入償債基金金額為R，由題意得Rs20p3.5% = 5000(1 + 2.5%)40解得R = 474.73 元。46

33、 現(xiàn)有3000 元貸款按季度分20 次攤還，第11 次和12 次因故取消。經(jīng)協(xié)商，攤還從第13 次重新開(kāi)始，且每次金額為N，但是第14 ，16 ，18 和20 次的還款都比正常還款逐次增加40 元。已知半年換算名利率8，計(jì)算N 為多少方可保證按原計(jì)劃如期還貸。解： 設(shè)季度實(shí)利率為i ，由題意有3000 = Ra20pi (1 + i)2 = 1 +8%2Ra10pi (1 + i)2 = Na8pi + 40Ia4p4% i 0.0198R 183.087N 185.08 元47 設(shè)有10 年期貸款，其還款方式為：首次還款全部用于還利息，第2 次還款為第一次的兩倍，第三次還款為第一次的三倍，依

34、次類推。證明：Ia10p = ap證： 不妨設(shè)貸款總額為1 ，利率為i ，則第n 年還款為ni 。于是1 = iIa10p故Ia10p =1i= ap北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第18 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究48 某貸款分10 次償還，第1 次還款10 元，第2 次還款9 元，依次類推。證明：第6次還款中的利息為：(5 a5p )元。證： 由題意得L = Da10p 。利用追溯法B5 = L(1 + i)5 (5s5p + Da5p )于是I6 = iB5= iL(1 + i)5 5is5p iDa5p= (10 a10p )(1 + i)5 5(1 + i)5 1 5(1 + i)5 s5p

35、 = 5 s10p (1 + i)5 + s5p= 5 a5p49 某貸款的償還方式為：第1 年底200 元，以后每年遞增50 元，直至1000 元。問(wèn)：如果年利率4% ，第4 次還款中的本金量。解： 利用預(yù)期法可得B3 = 300a14pi + 50Ia14pi = 6795.18 元故第4 次還款中的本金量為350 iB3 = 78.19 元50 某1000 元貸款，每半年一次分10 次等額償還本金，同時(shí)按照半年換算名利率6% 償還利息。為了保證半年換算名利率10% 的收益率，計(jì)算該貸款的出讓價(jià)格。解： 設(shè)出讓價(jià)格為P ，P × (1 +10%2)10=100010 s10p5%

36、 +100010× 6%2× (Da)10p5% =1480.45 P = 908.87 元北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第19 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究51 現(xiàn)有8000 元20 年期抵押貸款，每半年償還100 元再加上以利率5% 計(jì)算的貸款余額的利息。在恰好得到第15 次還款后，貸款人轉(zhuǎn)賣了這個(gè)貸款，價(jià)格滿足：貸款利率為6%，償債基金利率為4%。假定以上所有利率均為半年換算名利率。證明：(1) 如果每半年的凈回報(bào)相等，貸款轉(zhuǎn)讓價(jià)格為75s25p2% + 62501 + 0.03s25p2% 元= 4412 元；(2) 如果每半年的償債基金的存款額相同，則轉(zhuǎn)讓價(jià)格為s25p2

37、% 0.03a25p3% a25p3% + 1251 + 0.03s25p2% 元= 4453 元證：52 設(shè)有利率10%的2000 元貸款，其還貸方式為：第一年底400 元，然后按4%的比例遞增，最后一次將小量余額付清。計(jì)算(1) 計(jì)算第3 年底的未結(jié)貸款余額；(2) 計(jì)算第3 次償還中的本金量。解： 做攤還表。次數(shù)利息部分還款額本金部分未結(jié)貸款余額1 200 400 200 18002 180 416 236 15643 156.40 432.64 276.24 1287.7653 兩筆30 年等額貸款都以4%利率償還。甲每年等額償還；乙每年的還款中的本金量為常數(shù)，利息按攤還方式。計(jì)算甲的

38、還款額首次超過(guò)乙的時(shí)刻。解： 設(shè)貸款總額為1 ，甲乙每年的還款額分別為R甲,R乙,nR甲a30p4% = 1R乙,n =130+31 n30× 4%解R甲> R乙,n 得n > 12.6所以，甲的還款額在第13 次首次超過(guò)乙。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第20 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究54 甲以實(shí)利率i 投資。其中第1 年底取出利息收入的162.5%，第2 年底取出利息收入的325%，依此類推。已知在第16 年底原始投資資金全部收回。計(jì)算i。依此類推，有歧義，加上“第3 年底取出利息收入的487.5%”解： 考慮最后一年，設(shè)第15 年底未結(jié)余額為1 ，第16 年底取出利息收

39、入i 的162.5 × 15 ，于是1 + i = 162.5% × 15i解得：i = 4.28%55 貸款額為a25p 的貸款以連續(xù)年金方式償還，連續(xù)償還函數(shù)為1 ，期限為25年。如果：i = 0.05，計(jì)算第6 年到第10 年間的償還利息總額。與原答案有出入解： 記利息力為I = 106 25tvstdsdt= 106(1 v25t) ln vdt=4 +v15 v19ln v=2.2520456 證明：(1 + i)t stp antp =anpantp證： 兩邊同時(shí)乘anp ，移項(xiàng)得：(1 + i)tanp = antp + stp左邊(1 + i)tanp 為n

40、期標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)年金在t期期末的現(xiàn)值右邊antp + stp 是n 期標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)年金前t 期與后n-t 期在t 期期末的現(xiàn)值之和。于是得證。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第21 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究57 設(shè)有連續(xù)方式償還的n 年期貸款，時(shí)刻t 的償還額為t 。給出未結(jié)貸款余額的計(jì)算式。解：Bk = nktvtkdt= n0tvtkdt k0t(1 + i)ktdt= (1 + i)k(Ia)np (Is)kp nen(ln n + 1) ses(ln s + 1)或者Bk = nktvtkdt= nk0(t + k)vtdt = (Ia)nkp + kankp58 現(xiàn)有連續(xù)方式償還的10 年期貸款，其

41、貸款余額呈線性變化。已知連續(xù)利率為10%。計(jì)算：(1) 前5 年償還的本金總額；(2) 前5 年償還的利息總額。解： 設(shè)貸款總余額1(1) dBt = d(1 t10) =110，所以前5 年償還的本金總額為12(2) 前5 年償還的利息總額I 為： 50iBtdt=10% × (5 2520) = 0.37559 已知某保險(xiǎn)賠償方式為：截至索賠發(fā)生后t 時(shí)刻的未賠償額為et 。(1) 求連續(xù)賠償函數(shù)；(2) 索賠發(fā)生時(shí)的未賠償額；(3) 如果連續(xù)利率為 ，計(jì)算所有未賠償額在時(shí)刻t 的現(xiàn)值。解： (1) P(t) = dBt = et(2) 把t = 0 代入得：B0 = 北京大學(xué)數(shù)

42、學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第22 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究(3) tPtesds= te(+)sds= + set60 現(xiàn)有2000 元貸款是通過(guò)每季度償還P 元進(jìn)行還貸。貸款方要求對(duì)未結(jié)貸款余額中低于500元的部分按利率i(4)1 = 16% 計(jì)息，對(duì)超過(guò)500元的部分按利率i(14)2 = 14% 計(jì)息，如果已知第一年底的余額為1000 元，計(jì)算P 。0 1 2 3 4P P P P5001500i(4)1i(4)2解: 注意到在第一年中余額都在500 元以上，所以把2000(= 1500 + 500) 元拆成兩個(gè)現(xiàn)金流，于是以第一年底為比較日，有500 × (1 +i(4)14)4 +

43、1500 × (1 +i(4)24)4 P s4p3.5% = 1000解得P = 309.9 元61 設(shè)有按季度分期償還的1000 元貸款，每次還款100 元，不足部分的余額最后一次付清。貸款方要求對(duì)未結(jié)貸款余額中低于500 元的部分利率i(4) = 12%計(jì)息，對(duì)超過(guò)500元的部分利率i(4) = 8% 計(jì)息。(1) 計(jì)算第4 次還款中的本金；(2) 證明：在未結(jié)貸款余額達(dá)到500 元之前，每次的本金量加上一個(gè)常數(shù)后形成等比數(shù)列，即Pt+1 + KPt + K= 1 + j , t = 1, 2, . . . , n 1北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第23 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究并

44、計(jì)算K 和j 。解: 注意到4 次還款后余額還在500 元以上，所以可以分成兩個(gè)現(xiàn)金流500 × 12%4= 15 元100 15 = 85 元500 × (1 +8%4)3 85 × s3p2% = 270.47 元100 15 270.47 × 8%4= 79.59 元證: 由上面的分析有Bn = 500 + 500 × (1 +8%4)n 85 × snp2% Pn = 100 (Bn1 500) × 2% + 500 × 3%)= 100 (500 × 1.02n1 85 × 1.02n

45、1 10.02) × 2% + 15)= 75 × 1.02n1因此K = 0 , j = 2%默認(rèn)：期末，好像算得有問(wèn)題.62 某3000 元貸款要求在一年內(nèi)逐月分期償還。對(duì)未結(jié)貸款余額在1000 元以下的部分以月利率1.5% 計(jì)息；對(duì)未結(jié)貸款余額在1000 元到2000 元之間的部分以月利率1.25% 計(jì)息；對(duì)未結(jié)貸款余額在2000 元到3000 元之間的部分以月利率1% 計(jì)息。計(jì)算每次的還款金額。解: 若都是按1.5% 收利息，則每次的應(yīng)還款是3000a12p1.5% = 275.04若都是按1% 收利息，則每次的應(yīng)還款是3000a12p1% = 266.55北京大學(xué)

46、數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第24 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究因此，所求應(yīng)在266.55 和275.04 之間。由此，可以推斷出在第4 次還款后余額第一次在2000 元以下，第9 次還款后余額第一次在1000 元以下。設(shè)每次的還款額是X 元。第四次還款后的余額為B4 = 2000 + 1000 × (1 + 1%)4 (X (1000 × 1.5% + 1000 × 1.25%) × s4p1% = 3152.27 4.0604X第八次還款后的余額為B8 = 1000 + (B4 1000) × (1 + 1.25%)4 (X 1000 × 1.

47、5%) × s4p1.25% = 3323.05 8.34289XB8 = Xa4p1.5% = 3.85438X聯(lián)立解得X = 272.44 元63 證明等式，并解釋其含義：anp + in1i=0 antp = n.證: 等式左邊是一個(gè)n 期的標(biāo)準(zhǔn)期末年金的初值和n 個(gè)分別是n, n 1, . . . , 1 的期末年金的和，如圖所示。0 1 2 3 . . . . . 71 1 1 . . . . . 1i i i . . . . . i. . . . .i ii1 1 1 . . . . . 1ni (n 1)i . . . . . i可以對(duì)現(xiàn)金流重新劃分，如上所示?？紤]初始

48、值為n ，利息為i 的攤還表，剛好如上：第一行、第二行分別是每次攤還的本金和利息。所以等式得證。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第25 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究64 某遺產(chǎn)恰好可以以年利率3.5%每年得到10000 元，累計(jì)10 年。已知在過(guò)去的5 年中按計(jì)劃實(shí)施，但是實(shí)際的年收益率為5%。問(wèn)：第5 年底遺產(chǎn)本身多收入多少利息。解: 設(shè)遺產(chǎn)期初的現(xiàn)值為X 。有:X = 10000 × a10p3.5% = 83166.05第5 年底的遺產(chǎn)本身應(yīng)收入的利息為:I = 3.5% × 10000 × (a10p + a9p + a8p + a7p + a6p ) = 1198

49、4.47元第5 年底的遺產(chǎn)本身實(shí)際收入的利息為:I = 5% × (B0 + B1 + B2 + B3 + B4)= 5% × (X + (1 + 5%)X 10000+ (1 + 5%)2X 10000 × s2p5% + (1 + 5%)3X 10000 × s3p5% + (1 + 5%)4X 10000 × s4p5% )= 17720.93 元第5 年底多收入的利息為17720.93 11984.47 = 5736.46 元65 某人在銀行存入10 年定期存款，計(jì)劃10 年底連本帶利取出10000 元，年利率5% 在第5 年底銀行下調(diào)

50、利率為4%。分別計(jì)算前5 年和后5 年每年的存款額。解: 設(shè)前5 年和后5 年每年的存款額分別為R1,R2 。R1 s10p5% = 10000R1 s5p5% (1 + 4%)5 + R2 s5p4% = 10000北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第26 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究解得: R1 = 795.05 元R2 = 859.46 元66 某企業(yè)當(dāng)前產(chǎn)品的月產(chǎn)量為9000 個(gè)單位，單位售價(jià)為85 元?，F(xiàn)有一種新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)計(jì)劃：初始貸款1500000 元（每月付利息1.5%，本金40 個(gè)月后一次還清），然后每月成本為15816 元，新產(chǎn)品的設(shè)計(jì)月產(chǎn)量為12000 個(gè)單位。如果該企業(yè)有能力以月利率1%累計(jì)償債基金。企業(yè)希望新產(chǎn)品月利潤(rùn)超過(guò)老產(chǎn)品30000 元，且單位價(jià)格下降X ，計(jì)算X 。解： 有方程9000×8