一元二次方程綜合培優(yōu)1難度大-含參考答案

1、一元二次方程提高題1、已知，則的值是 .2、已知，則.3、若，且，則.4、已知方程沒有實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式.5、已知，則y的最大值為 .6、已知，則（ ）A、 B、 C、 D、7、已知，則.8、已知，則.9、已知，則.10、若方程的二根為，且，則 ( )A、小于1 B、等于1 C、大于1 D、不能確定11、已知是方程的一個(gè)根，則的值為 .12、若，則（ ）A、2011 B、2010 C、2009 D、200813、方程的解為 .14、已知，則的最大值是（ ）A、14 B、15 C、16 D、1815、方程恰有3個(gè)實(shí)根，則（ ）A、1 B、1.5 C、2 D、2.516、方程的全體實(shí)數(shù)根之積為（ ）

2、A、60 B、 C、10 D、17、關(guān)于x的一元二次方程（a為常數(shù)）的兩根之比，則（ ）A、1 B、2 C、 D、18、已知是、方程的兩個(gè)實(shí)根，則.19、若關(guān)于x的方程只有一解，求a的值。中考真題1、若，則的值為（ ）2、已知實(shí)數(shù)、滿足，且，則的值為（ ）A、1 B、3 C、3 D、103、實(shí)數(shù)x、y滿足方程，則y最大值為（ ）A、 B、 C、 D、不存在4、方程的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）A、2 B、3 C、4 D、55、已知關(guān)于x的方程的兩根分別為和1，則方程的兩根為（ ）A、和1 B、和1 C、和 D、和6、實(shí)數(shù)x、y滿足，記，則u的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、7、已知實(shí)數(shù)m，n

3、滿足，則.9、已知方程的兩實(shí)根的平方和等于11，k的取值是（ ）A、或1 B、 C、1 D、310、設(shè)a，b是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，則.13、已知方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范圍。14、已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，且，試問：y值是否有最大值或最小值，若有，試求出其值，若沒有，請(qǐng)說明理由。15、求所有有理數(shù)q，使得方程的所有根都是整數(shù)。一元二次方程培優(yōu)題及參考答案1、已知，則的值是（ D ）A、2001 B、2002 C、2003 D、2004答案：D解析：由得：歸納：本題解決的方法是通過降次達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。2、已知，則.答案：2002解析：由得：，原式歸納：本題解決的方法是通過

4、降次達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。3、若，且，則.答案：解析：由得：，即 把a(bǔ)和作為一元二次方程的兩根歸納：本題是通過構(gòu)造一元二次方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。4、已知方程沒有實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式.答案：2考點(diǎn)：根的判別式。分析：由方程沒有實(shí)數(shù)根，得，求的a的范圍，然后根據(jù)此范圍化簡(jiǎn)代數(shù)式。解答：解：已知方程沒有實(shí)數(shù)根，即，得則代數(shù)式歸納：本題考查了一元二次方程根的判別式。當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。同時(shí)考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義。5、已知，則y的最大值為 .答案：考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值。專題：計(jì)算題；換元法分析：此題只需先令，用x表示t，代入求y關(guān)于t的二次函數(shù)的最值即可。解答

5、：令，則又，且y關(guān)于t的二次函數(shù)開口向下，則在處取得最大值即y最大值為，即 歸納：本題考查了二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是采用換元法，將用t來表示進(jìn)行解題比較簡(jiǎn)便。6、已知，則（ ）A、 B、 C、 D、答案：B考點(diǎn)：根的判別式。專題：綜合題。分析：由，得到a，b兩個(gè)負(fù)數(shù)，再由，這樣可以把a(bǔ)，b看作方程的兩根，根據(jù)根的判別式得到，解得，然后由得到.解答：， ，可以把a(bǔ)，b看作方程，解得 ，即點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式：如方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及絕對(duì)值的含義。7、已知，則.答案：0考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方。分析：本題乍看下無法代數(shù)求值，也無

6、法進(jìn)行因式分解；但是將已知的兩個(gè)式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口。由可得；將其代入得：；此時(shí)可發(fā)現(xiàn)正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；然后代值運(yùn)算即可。解答： 又 ，即， 歸納：本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法8、已知，則.答案：考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用。專題：整體思想。分析：根據(jù)已知條件可得到，然后整體代入代數(shù)式求值計(jì)算即可。解答： 原式點(diǎn)評(píng)：這里注意把要求的代數(shù)式進(jìn)行局部因式分解，根據(jù)已知條件，整體代值計(jì)算。9、已知，則.答案：0考點(diǎn)：拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配方、待定系數(shù)法。專題：計(jì)算題分析：先將字母b表示字母a，

7、代入，轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，從而得到的值。解答： 代入，可得（，即， 歸納：本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法。解題關(guān)鍵是將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式。10、若方程的二根為，且，則 ( )A、小于1 B、等于1 C、大于1 D、不能確定答案：A考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系專題：計(jì)算題分析：方程的二根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件即可求解。解答：方程的二根為， ， 歸納：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵掌握，是方程的兩根時(shí)，11、已知是方程的一個(gè)根，則的值為 .答案：考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用。專題：整體思想。分析：根據(jù)已

8、知條件可得到，即然后整體代入代數(shù)式求值計(jì)算即可。解答：是方程的一個(gè)根 ，即原式點(diǎn)評(píng)：這里注意把要求的代數(shù)式進(jìn)行局部因式分解，根據(jù)已知條件，整體代值計(jì)算。12、若，則（ ）A、2011 B、2010 C、2009 D、2008答案：B考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用專題：計(jì)算題；整體思想分析：將化簡(jiǎn)為，整體代入變形的式子，計(jì)算即可求解解答：，即 歸納：本題考查因式分解的運(yùn)用，注意運(yùn)用整體代入法求解。13、方程的解為 .答案：考點(diǎn)：利用方程的同解原理解答。專題：計(jì)算題。 解答：兩邊同時(shí)平方得：整理得： 再平方得： 解得：歸納：本題考查將無理方程通過平方的方式轉(zhuǎn)化為有理方程解答。14、已知，則的最大值是（ ）A

9、、14 B、15 C、16 D、18答案：B考點(diǎn)：完全平方公式。分析：由得代入，通過二次函數(shù)的最值，求出它的最大值。解答：化為， 故二次函數(shù)開口向下，當(dāng)時(shí)表達(dá)式取得最大值由于 所以時(shí)此時(shí)，表達(dá)式取得最大值：15點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查曲線與方程的關(guān)系，直接利用圓錐曲線解答比較麻煩，利用轉(zhuǎn)化思想使本題的解答比較簡(jiǎn)潔，注意二次函數(shù)閉區(qū)間是的最大值的求法。15、方程恰有3個(gè)實(shí)根，則（ ）A、1 B、1.5 C、2 D、2.5答案：C考點(diǎn)：解一元二次方程-公式法；絕對(duì)值；一元二次方程的解。專題：解題方法。分析：因?yàn)榉匠讨袔в薪^對(duì)值符號(hào)，所以討論方程的根分兩種情況：當(dāng)時(shí)，原方程為；當(dāng)時(shí)，原方程為解答：當(dāng)

10、時(shí)，原方程為：，化為一般形式為：用求根公式得：當(dāng)時(shí)，原方程為：，化為一般形式為：用求根公式得：方程的根恰為3個(gè)，而當(dāng)時(shí)，方程的3個(gè)根分別是，歸納：本題考查未知數(shù)的取值范圍，以確定字母系數(shù)m的值。16、方程的全體實(shí)數(shù)根之積為（ ）A、60 B、 C、10 D、答案：A考點(diǎn)：換元法解分式方程。專題：換元法。分析：設(shè)，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。解答：設(shè)，則 ，解得，當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得或歸納：本題考查了用換元法解分式方程，解次題的關(guān)鍵是把看成一個(gè)整體來計(jì)算，即換元法思想。17、關(guān)于x的一元二次方程（a為常數(shù)）的兩根之比，則（ ）A、1 B、2 C、 D、答案：C考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)

11、的關(guān)系及求解。解答：設(shè)的兩根分別為，由根與系數(shù)的關(guān)系得：， 歸納：本題考查了用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題，關(guān)鍵是利用公式巧妙變形。18、已知是、方程的兩個(gè)實(shí)根，則.答案：5考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；代數(shù)式求值；完全平方公式。專題：計(jì)算題。分析：由方程的根的定義，可知，移項(xiàng)，得，兩邊平方，整理得；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知；將兩式分別代入，即可求出其值。解答：是方程的根 又、方程的兩個(gè)實(shí)根 歸納：本題主要考查了方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。難度中等。關(guān)鍵是利用方程根的定義及完全平方公式將所求代數(shù)式降次，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解。19、若關(guān)于x的方程只有一解，求a的值。答案：或考點(diǎn)：

12、解分式方程。分析：先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個(gè)解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出a的值。解答：原方程化為（1）當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解，（2）當(dāng)時(shí)，方程，總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由題意知必有一個(gè)根是原方程的增根，從原方程知增根只能是0或1，顯然0不是的根，故，得綜上可知當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解，時(shí)，歸納：本題考查了解分式方程。注意：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個(gè)解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個(gè)解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個(gè)解，而其中一個(gè)是原方20、已知二次函數(shù)滿足且對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的解析式?？?/p>

13、點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：取，由，能夠求出的值；由，知，所以，由，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，知，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，由此能求出的表達(dá)式。解答：解：（1）二次函數(shù)滿足且取，得 所以 ，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立 對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立 點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)恒成立條件的靈活運(yùn)用。21、已知.（1）對(duì)任意，當(dāng)有，求證：兩個(gè)不相等的實(shí)根且有一根在（，）內(nèi)。（2）若在（，）內(nèi)有一根為m且.若的對(duì)稱軸為.求證：.考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)；

14、等差數(shù)列的性質(zhì)專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）通過計(jì)算一元二次方程的判別式大于0，可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；設(shè)方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由，可得方程有一個(gè)根屬于（，）（2）由題意可得，即，由于 ，故，由證得結(jié)論。解答：證明：（1） 整理得： 故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根令 則又 則故方程有一根在（，）內(nèi)。（2）方程在（，）內(nèi)有一根為m 故點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。一元二次方程成都四中考試真題1、若，則的值為（ ）A、3 B、4 C、5 D、6答案：4考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用。專題：整體思想。解答： 歸納：本題關(guān)鍵是將作為整體，

15、然后將進(jìn)行因式分解變形解答。2、已知實(shí)數(shù)、滿足，且，則的值為（ ）A、1 B、3 C、3 D、10答案：D解析：由得：，即，即 把和作為一元二次方程的兩根，即歸納：本題是通過構(gòu)造一元二次方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。3、實(shí)數(shù)x、y滿足方程，則y最大值為（ ）A、 B、 C、 D、不存在答案：B考點(diǎn)：根的判別式。專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想。分析：先把方程變形為關(guān)于x的一元二次方程，由于此方程有解，所以，這樣得到y(tǒng)的不等式，解此不等式，得到y(tǒng)的取值范圍，然后找到最大值。解答：把看作為關(guān)于x的，并且此方程有解，所以，即， 故y的最大值是點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程（，a，b，c為常數(shù)）根的判別

16、式。當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根。同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和一元二次不等式的解。4、方程的正根的個(gè)數(shù)為（ ）A、3個(gè) B、2個(gè) C、1個(gè) D、0個(gè)答案：D考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象。分析：此題實(shí)質(zhì)是求函數(shù)和函數(shù)的圖象在一、四象限有沒有交點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)已知函數(shù)的圖象的交點(diǎn)情況，直接判斷。解答：設(shè)函數(shù)，函數(shù)函數(shù)的圖象在一、三、四象限，開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），對(duì)稱軸函數(shù)的圖象在一、三象限；而兩函數(shù)在第一象限沒有交點(diǎn)，交點(diǎn)在第三象限即方程的正根的個(gè)數(shù)為0個(gè)。歸納：此題用函數(shù)知識(shí)解答比較容易，主要涉及二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的有關(guān)性質(zhì)，同

17、學(xué)們應(yīng)該熟記且靈活掌握。5、方程的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5答案：C考點(diǎn)：零指數(shù)冪。專題：分類討論。分析：方程的右邊是1，有三種可能，需要分類討論。第1種可能：指數(shù)為0，底數(shù)不為0；第2種可能：底數(shù)為1；第3種可能：底數(shù)為，指數(shù)為偶數(shù)。解答：（1）當(dāng)，時(shí)，解得；（2）當(dāng)時(shí)，解得或1；（3）當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，解得因而原方程所有整數(shù)解是，1，共4個(gè)。點(diǎn)評(píng)：本題考查了：（a是不為0的任意數(shù)）以及1的任何次方都等于1。本題容易遺漏第3種可能情況而導(dǎo)致誤選B，需特別注意。6、關(guān)于x的方程的兩根分別為和1，則方程的兩根為（ ）A、和1 B、和1 C、和 D、和答案：B考點(diǎn)：解一元二

18、次方程-因式分解法；一元二次方程的解分析：因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根為和1，所以方程可以方程因式為，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。解答：的兩根為和1 整理得： ，把b，c代入方程，得：，歸納：本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的兩根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。7、實(shí)數(shù)x、y滿足，記，則u的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、答案：A考點(diǎn)：完全平方公式。專題：綜合題。分析：把原式的xy變?yōu)?，根?jù)完全平方公式特點(diǎn)化簡(jiǎn)，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范圍；再把原式中的xy變?yōu)?，同?/p>

19、得到xy的另一個(gè)范圍，求出兩范圍的公共部分，然后利用不等式的基本性質(zhì)求出的范圍，最后利用已知表示出，代入到u中得到，的范圍即為u的范圍。解答：由得： 即，則由得：即，則 不等式兩邊同時(shí)乘以得：兩邊同時(shí)加上2得：，即 則u的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：此題考查了完全平方公式，以及不等式的基本性質(zhì)，解題時(shí)技巧性比較強(qiáng)，對(duì)已知的式子進(jìn)行了三次恒等變形，前兩次利用拆項(xiàng)法拼湊完全平方式，最后一次變形后整體代入確定出u關(guān)于xy的式子，從而求出u的范圍。要求學(xué)生熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們乘積的2倍等于兩數(shù)和或差的平方8、已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則.考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。分析：根據(jù)

20、題意：由得：；由得：，又因?yàn)椋?，因此可以把，作為一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：.解答：， 把，作為一元二次方程的兩根 歸納：本題考查的是用構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解答問題，本題的關(guān)鍵是利用已知進(jìn)行變形是關(guān)鍵所在，不要忽視了這個(gè)條件隱含的題意。9、已知方程的兩實(shí)根的平方和等于11，k的取值是（ ）A、或1 B、 C、1 D、3答案：C考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式。分析：由題意設(shè)方程兩根為，得，然后再根據(jù)兩實(shí)根的平方和等于11，從而解出k值。解答：設(shè)方程兩根為，得， 解得或歸納：此題應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題，利用兩根的和與兩根的積表

21、示兩根的平方和，把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題。10、設(shè)a，b是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，則.答案：考點(diǎn)：一元二次方程的解；二次根式的化簡(jiǎn)求值。專題：方程思想。分析：一個(gè)根代入方程，得到a，b等式，再由a，b是整數(shù)，可以求出a，b的值。解答：，把代入方程有：a，b是整數(shù) 歸納：本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a，b是整數(shù)就可以求出a，b的值。11、已知函數(shù)，（b，c為常數(shù)），這個(gè)函數(shù)的圖象與 x軸交于兩個(gè)不同的兩點(diǎn)A（，0）和B（，0）且滿足.（1）求證：（2）若，試比較與的大小，并加以證明。考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)。專題：證明題；探究型。分析：（1）首先利用求根公式

22、求出x的值，再由求解；（2）已知推出根據(jù)推出答案。解答：證明：（1）令中得到又 （2）由已知 即歸納：綜合考查了二次函數(shù)的求根公式、用函數(shù)的觀點(diǎn)看不等式等知識(shí)。12、已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和，并且拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)（2，0）的兩旁。（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求a的值?？键c(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)；根與系數(shù)的關(guān)系。.分析：（1）由一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0和根的判別式求出a的取值范圍。設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），且，、是的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再利用的根的判別式求a的取值范圍，又拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)（2，0）的兩旁，利用根與系數(shù)的關(guān)系確定；（2）把代數(shù)式變形后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值。解答：解：（1）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解得：，且 設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），且、是的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根a為任意實(shí)數(shù)由根與系數(shù)關(guān)系得：，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)（2，0