考研數(shù)學一真題及答案

1、2005年碩士研究生入學考試（數(shù)學一）試題及答案解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線 的斜漸近線方程為 【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可.【詳解】 因為a=， ，于是所求斜漸近線方程為（2） 微分方程滿足的解為.【分析】 直接套用一階線性微分方程的通解公式： ，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價為，于是通解為 =，由得C=0，故所求解為（3）設函數(shù)，單位向量，則=.【分析】 函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量的方向?qū)?shù)為： 因此，本題直接用上述公式即可.【詳解】 因為 ，于是所求方向?qū)?shù)為 =（4）設是由錐

2、面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側(cè)，則.【分析】 本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可.【詳解】 = （5）設均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 2 .【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設，有 =，于是有 （6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ + =二、選擇題（本題共8小題，每小題4分

3、，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）設函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導. (B) 恰有一個不可導點.(C) 恰有兩個不可導點. (D) 至少有三個不可導點. C 【分析】 先求出f(x)的表達式，再討論其可導情形.【詳解】 當時，； 當時，；當時，即 可見f(x)僅在x=時不可導，故應選(C).（8）設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)

4、是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當F(x)為偶函數(shù)時，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項. 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D); 故應選(A).（9）設函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導數(shù)， 具有一階導數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分別求出、，再比較答案即可.【詳解】 因為， ，于

5、是 ， ， ，可見有，應選(B).（10）設有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程 (A) 只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分別求出三個偏導數(shù)，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導數(shù)不為0，則可確定相應的隱函數(shù).【詳解】 令F(x,y,z

6、)=, 則 ， ，且 ，. 由此可確定相應的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 故應選(D).（11）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 討論一組抽象向量的線性無關性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】 方法一：令 ，則 ， .由于線性無關，于是有 當時，顯然有，此時，線性無關；反過來，若，線性無關，則必然有(,否則，與=線性相關)，故應選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無關的充要條件是故應選(B).（12）設A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,

7、B的伴隨矩陣，則(A) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. C 【分析】 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進行分析即可.【詳解】 由題設，存在初等矩陣（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可見應選(C).（13）設二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機事件與相互獨立，則(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2

8、(D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設，知 a+b=0.5又事件與相互獨立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故應選(B).（14）設為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，為樣本均值，為樣本方差，則(A) (B) (C) (D) D 【分析】 利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和分布、t分布及F分布的定義進行討論即可.【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能斷定(B)是正確選項. 因為 ，且相互獨立，于是

9、 故應選(D).三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設，表示不超過的最大整數(shù). 計算二重積分 【分析】 首先應設法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.【詳解】 令 ， .則 = （16）（本題滿分12分）求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x). 【分析】 先求收斂半徑，進而可確定收斂區(qū)間. 而和函數(shù)可利用逐項求導得到.【詳解】 因為，所以當時，原級數(shù)絕對收斂，當時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而（17）（本題滿分11分） 如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是

10、它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分【分析】 題設圖形相當于已知f(x)在x=0的函數(shù)值與導數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導數(shù)值.【詳解】 由題設圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個不同的點，使得【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應注意利用第一部分已

11、得結論.【詳解】 （I）令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上對f(x)分別應用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點，使得，于是 （19）（本題滿分12分）設函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（I）證明：對右半平面x0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達式.【分析】 證明（I）的關鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進行分解討論；而（II）中求的表達式，顯然應用積分與路徑無關即可. Y【詳解】 （I） l2

12、C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點且與C相接，則 .（II） 設，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關，故當時，總有. 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而（20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（I） 求a的值；（II） 求正交變換，把化成標準形；（III） 求方程=0的解.【分析】 （I）根據(jù)二次型的秩為2，可知對應矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（II）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換； （III） 利用第二步的結果，通過標準形求解即可.【詳解】 （I） 二次型對應矩陣為 ，由

13、二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標準形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).（21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相當于告之B的每一列均為Ax=0的解，關鍵問題是Ax=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0

14、的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見此時Ax=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關，可作為其基礎解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設,則其通解為 為任意常數(shù).（22）（本題滿分9分）設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II）的概率密度【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機變量函數(shù)的概

15、率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導得到相應的概率密度.【詳解】 （I） 關于X的邊緣概率密度= =關于Y的邊緣概率密度= = （II） 令，1） 當時，；2） 當時， =; 3) 當時，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：（23）（本題滿分9分）設為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差【分析】 先將表示為相互獨立的隨機變量求和，再用方差的性質(zhì)進行計算即可；求與的協(xié)方差，本質(zhì)上還是數(shù)學期望的計算，同樣應注意利用數(shù)學期望的運算性質(zhì).【詳解】 由題設，知相互獨立，且，（I） = =（II） = = = = =2006年碩士研

16、究生入學考試數(shù)學一試題及答案解析填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） 【分析】 本題為未定式極限的求解，利用等價無窮小代換即可.【詳解】 . （2） 微分方程的通解是【分析】 本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】 原方程等價為，兩邊積分得，整理得.（）（3）設是錐面的下側(cè)，則.【分析】 本題不是封閉曲面，首先想到加一曲面：，取上側(cè)，使構成封閉曲面，然后利用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可.【詳解】 設：，取上側(cè)，則 .而，.所以.（4）點到平面的距離.【分析】 本題直接利用點到平面距離公式進行計算即可.其中為點的

17、坐標，為平面方程.【詳解】 . （5）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 2 .【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設，有 于是有 ，而，所以.（6）設隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設知，具有相同的概率密度.則.【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：則.二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設函數(shù)具有二階導數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則

18、(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當時，故應選(). （8）設為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . 【分析】 本題首先由題設畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標系下累次積分即可.【詳解】 由題設可知積分區(qū)域如右圖所示，顯然是型域，則原式.故選（）.（9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. 【分析】 可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】 由收斂知收斂，所以級數(shù)收斂，故應選().或利用排除法：取，則可排除

19、選項（），（）；取，則可排除選項（）.故（）項正確.（10）設均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. 【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對應的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對應的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因為），若，則.故選（）.（11）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是(B) 若線性相關，則線性相關. (C) 若線性相關，則線性無關. (C) 若線性無關，則線性相關. (D) 若線性無關，則線性無關. C 【分析】 本題考查向量組的線性

20、相關性問題，利用定義或性質(zhì)進行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關，則，從而，向量組也線性相關，故應選().（12）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.【分析】 利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】 由題設可得，而，則有.故應選（）.（13）設為隨機事件，且，則必有(B) (B) (C) (D) B 【分析】 利用事件和的運算和條件概率的概念即可.【詳解】 由題設，知 ，即.又.故應選().（14）設隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(B) (B) (C) (D) D 【分析】 利用

21、標準正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設可得，則，即.其中是標準正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).三 、解答題：1523小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設區(qū)域， 計算二重積分 【分析】 由于積分區(qū)域關于軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結論簡化所求積分，又積分區(qū)域為圓域的一部分，則將其化為極坐標系下累次積分即可.【詳解】 積分區(qū)域如右圖所示.因為區(qū)域關于軸對稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則 ，故. （16）（本題滿分12分）設數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算. 【分析】 一般利用單調(diào)增

22、加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在. （）的計算需利用（）的結果.【詳解】 （）因為，則.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型，令，則，而，又.（利用了的麥克勞林展開式）故.（17）（本題滿分12分） 將函數(shù)展成的冪級數(shù). 【分析】 利用常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式.【詳解】 ，比較兩邊系數(shù)可得，即.而，故.（18）（本題滿分12分）設函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，且滿足等式.（I）驗證；（II）若，求函數(shù)的表達式. 【分析】 利用復合函數(shù)偏導數(shù)計算方法求出代

23、入即可得（I）.按常規(guī)方法解（II）即可.【詳解】 （I） 設，則.，.將代入得.（II） 令，則，兩邊積分得，即，亦即.由可得.所以有，兩邊積分得，由可得，故.（19）（本題滿分12分）設在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，且對任意的都有.證明：對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線，都有.【分析】 利用曲線積分與路徑無關的條件. 【詳解】 兩邊對求導得.令 ，則.設，則.則由可得.故由曲線積分與路徑無關的定理可知，對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線，都有.（20）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.【分析】 （I）根據(jù)系數(shù)

24、矩陣的秩與基礎解系的關系證明；（II）利用初等變換求矩陣的秩確定參數(shù)，然后解方程組.【詳解】 （I） 設是方程組的3個線性無關的解，其中 .則有.則是對應齊次線性方程組的解，且線性無關.（否則，易推出線性相關，矛盾）.所以，即.又矩陣中有一個2階子式，所以.因此.（II） 因為.又，則 .對原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，故原方程組與下面的方程組同解.選為自由變量，則.故所求通解為，為任意常數(shù).（21）（本題滿分9分）設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得.【分析】 由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣

25、的一個特征值和對應的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對應的特征向量.將的線性無關的特征向量正交化可得正交矩陣.【詳解】 ()因為矩陣的各行元素之和均為3，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對應的特征向量.對應的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設知，即，而且線性無關，所以是矩陣的二重特征值，是其對應的特征向量，對應的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù).()因為是實對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實對稱矩陣必可相似對角化，得.（22）（本題滿分9分）設隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變

26、量的分布函數(shù).()求的概率密度().【分析】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導得相應的概率密度或利用公式計算.【詳解】 （I）設的分布函數(shù)為，即，則1) 當時，；2) 當時， .3) 當時，.4) 當，.所以.（II） .（23）（本題滿分9分）設總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù)，求的最大似然估計.【分析】 先寫出似然函數(shù)，然后用最大似然估計法計算的最大似然估計.【詳解】 記似然函數(shù)為，則.兩邊取對數(shù)得，令，解得為的最大似然估計.2007年碩士研究生入學考試數(shù)學一試題及答案解析 一、選擇題：(本題共10小題，每小題4分，共40

27、分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1) 當時，與等價的無窮小量是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉(zhuǎn)化為其等價無窮小量，再進行比較分析找出正確答案.【詳解】 當時，有； 利用排除法知應選(B). (2) 曲線，漸近線的條數(shù)為(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出無定義點，確定其是否為對應垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線?！驹斀狻?因為，所以為垂直漸近線；又 ，所以y=0為水平漸近線；進一步，=， = =，于是有斜漸近線：y =

28、x. 故應選(D).(3) 如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間3，2，2，3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間2，0，0，2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 本題考查定積分的幾何意義，應注意f(x)在不同區(qū)間段上的符號，從而搞清楚相應積分與面積的關系?！驹斀狻?根據(jù)定積分的幾何意義，知F(2)為半徑是1的半圓面積：，F(xiàn)(3)是兩個半圓面積之差：=，因此應選(C).(4) 設函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是(A) 若存在，則f(0)=0. (B) 若存在，則f(0)=0. (C) 若存在，則存

29、在. (D) 若存在，則存在 D 【分析】 本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運算等進行分析討論?！驹斀狻?(A),(B)兩項中分母的極限為0，因此分子的極限也必須為0，均可推導出f(0)=0.若存在，則，可見(C)也正確，故應選(D). 事實上，可舉反例：在x=0處連續(xù)，且=存在，但在x=0處不可導。(5) 設函數(shù)f (x)在上具有二階導數(shù)，且 令, 則下列結論正確的是(A) 若，則必收斂. (B) 若，則必發(fā)散. (C) 若，則必收斂. (D) 若，則必發(fā)散. D 【分析】 可直接證明或利用反例通過排除法進行討論?！驹斀狻?設f(x)=, 則f (x)在上具有二

30、階導數(shù)，且，但發(fā)散，排除(C); 設f(x)=, 則f(x)在上具有二階導數(shù)，且，但收斂，排除(B); 又若設，則f(x)在上具有二階導數(shù)，且，但發(fā)散，排除(A). 故應選(D).(6) 設曲線具有一階連續(xù)偏導數(shù))，過第II象限內(nèi)的點M和第IV象限內(nèi)的點N，T為L上從點M到點N的一段弧，則下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 直接計算出四個積分的值，從而可確定正確選項。【詳解】 設M 、N點的坐標分別為. 先將曲線方程代入積分表達式，再計算有： ; ; .故正確選項為(B). (7) 設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是(A) . (B) . (C)

31、 . (D) . A 【詳解】用定義進行判定:令，得 .因線性無關，所以 又 ， 故上述齊次線性方程組有非零解, 即線性相關. 類似可得(B), (C), (D)中的向量組都是線性無關的. (8) 設矩陣, , 則A與B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【詳解】 由 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1,從而A與B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數(shù), 因此A與B合同. 故選(B) .(9) 某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0p1)

32、, 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為(A) (B) .(C) (D) C 【詳解】 “第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標, 前3次射擊中有1次命中目標, 由獨立重復性知所求概率為：. 故選(C) . (10) 設隨機變量(,)服從二維正態(tài)分布，且與不相關，分別表示，的概率密度，則在y的條件下，的條件概率密度為(A) (B) (C ) . (D) A 【詳解】 因(,)服從二維正態(tài)分布，且與不相關，故與相互獨立，于是 =. 因此選(A) .二、填空題：(1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上)(11) = 【分析】 先作變量代換，再分部積分。【詳

33、解】 = (12) 設f(u,v)為二元可微函數(shù)，則=【詳解】 利用復合函數(shù)求偏導公式，有= (13) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 其中為任意常數(shù).【詳解】 特征方程為 ，解得 可見對應齊次線性微分方程的通解為 設非齊次線性微分方程的特解為，代入非齊次方程可得k= 2. 故通解為(14) 設曲面，則= 【詳解】 由于曲面關于平面x=0對稱，因此=0. 又曲面具有輪換對稱性，于是=(15) 設矩陣, 則的秩為1.【詳解】 依矩陣乘法直接計算得 , 故r()=1. (16) 在區(qū)間(0, 1)中隨機地取兩個數(shù), 則兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為【詳解】 這是一個幾何概型, 設x, y為所取

34、的兩個數(shù), 則樣本空間, 記.故 ，其中分別表示A與W 的面積. 三、解答題：(1724小題，共86分. ) (17) (本題滿分11分) 求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值?！痉治觥?由于D為閉區(qū)域，在開區(qū)域內(nèi)按無條件極值分析，而在邊界上按條件極值討論即可?！驹斀狻?因為 ，解方程： 得開區(qū)域內(nèi)的可能極值點為.其對應函數(shù)值為又當y=0 時，在上的最大值為4，最小值為0.當，構造拉格朗日函數(shù) 解方程組 得可能極值點：，其對應函數(shù)值為 比較函數(shù)值，知f(x, y)在區(qū)域D上的最大值為8，最小值為0. (18) (本題滿分10分)計算曲面積分 其中為曲面的上側(cè)?！痉治觥?本題曲面不封閉，可考慮先添加一

35、平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【詳解】 補充曲面：，取下側(cè). 則 =其中為與所圍成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域. 由于區(qū)域D關于x軸對稱，因此. 又=其中.(19) (本題滿分11分)設函數(shù)f(x), g(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在，使得【分析】 需要證明的結論與導數(shù)有關，自然聯(lián)想到用微分中值定理。事實上，若令，則問題轉(zhuǎn)化為證明, 只需對用羅爾定理，關鍵是找到的端點函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個一階導數(shù)同時為零的點)，而利用F(a)=F(b)=0,

36、若能再找一點，使得，則在區(qū)間上兩次利用羅爾定理有一階導函數(shù)相等的兩點，再對用羅爾定理即可?！咀C明】 構造輔助函數(shù)，由題設有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)內(nèi)具有相等的最大值, 不妨設存在, 使得，若，令, 則若，因，從而存在，使 在區(qū)間上分別利用羅爾定理知，存在，使得. 再對在區(qū)間上應用羅爾定理，知存在，有， 即 (20) (本題滿分10分)設冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足(I) 證明：(II) 求y(x)的表達式.【分析】 先將和函數(shù)求一階、二階導，再代入微分方程，引出系數(shù)之間的遞推關系?！驹斀狻?(I)記y(x)=, 則代入微分方程有即 故有 即 (II

37、) 由初始條件知， 于是根據(jù)遞推關系式 有 故y(x)= =(21) (本題滿分11分)設線性方程組 與方程 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 兩個方程有公共解就是與聯(lián)立起來的非齊次線性方程組有解. 【詳解】 將與聯(lián)立得非齊次線性方程組: 若此非齊次線性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對的增廣矩陣作初等行變換得: .于是1 當a=1時，有=23，方程組有解, 即與有公共解, 其全部公共解即為的通解，此時，此時方程組為齊次線性方程組，其基礎解系為: ,所以與的全部公共解為，k為任意常數(shù).2 當a =2時，有=3，方程組有唯一解, 此時，故方程組的解為: , 即與有

38、唯一公共解: 為. (22) (本題滿分11分)設3階對稱矩陣的特征值 是的屬于的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(I) 驗證是矩陣的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量(II) 求矩陣【分析】 根據(jù)特征值的性質(zhì)可立即得B的特征值, 然后由B也是對稱矩陣可求出其另外兩個線性無關的特征向量.【詳解】 (I) 由 得 , 進一步 , ，故 ，從而是矩陣的屬于特征值2的特征向量.因, 及的3個特征值 得B的3個特征值為.設為B的屬于的兩個線性無關的特征向量, 又為對稱矩陣，得B也是對稱矩陣, 因此與正交, 即所以可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關的解： ,其基礎解系為: , , 故可取=,

39、=.即B的全部特征值的特征向量為: , , 其中,是不為零的任意常數(shù), 是不同時為零的任意常數(shù).(II) 令=, 則 ，得 =. (23) (本題滿分11分) 設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【詳解】 (I) .( II) 先求Z的分布函數(shù): 當Z0時, ;當時, ；當時, ；當時, .故Z+的概率密度為= (24) (數(shù)1, 3)(本題滿分11分) 設總體X的概率密度為 其中參數(shù)(01)未知, 是來自總體X的簡單隨機樣本, 是樣本均值(I) 求參數(shù)的矩估計量；(II) 判斷是否為的無偏估計量,并說明理由.【詳解】 (I) 令 , 其中 ，解方程

40、得的矩估計量為: =.(II) ,而 ，故,所以不是的無偏估計量.2008年考研數(shù)學一試題分析、詳解和評注一、選擇題：(本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))（1）設函數(shù)，則的零點個數(shù)為【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3【答案】應選(B).【詳解】顯然在區(qū)間上連續(xù)，且，由零點定理，知至少有一個零點又，恒大于零，所以在上是單調(diào)遞增的又因為，根據(jù)其單調(diào)性可知，至多有一個零點故有且只有一個零點故應選(B).（2）函數(shù)在點(0,1)處的梯度等于【 】(A) (B) . (C) . (D) . 【答案

41、】 應選(A).【詳解】因為所以，于是.故應選(A).（3）在下列微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是【 】(A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】 應選(D).【詳解】由，可知其特征根為，故對應的特征值方程為所以所求微分方程為應選(D).（4）設函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是【 】(A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調(diào)，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調(diào)，則收斂. 【答案】 應選(B).【詳解】若單調(diào)，則由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界知，若單調(diào)有界，因此若收斂故應選(B).（5）設為階非零矩陣，為階單位矩陣若，則【 】 則下列結論正確的是：(A) 不可逆，則

42、不可逆. (B) 不可逆，則可逆.(C) 可逆，則可逆. (D) 可逆，則不可逆. 【答案】應選(C).【詳解】故應選(C).，故，均可逆故應選(C).（6）設為3階實對稱矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標準方程的圖形如圖，則的正特征值個數(shù)為【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 應選(B).【詳解】此二次曲面為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，此曲面的標準方程為故的正特征值個數(shù)為1故應選(B).（7） 設隨機變量獨立同分布且的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為【 】(A) . (B) . (C) . (D) .【答案】應選(A)【詳解】故應選(A)（8）設隨機變量, , 且相關系數(shù)

43、，則【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】應選 (D)【詳解】用排除法設由，知，正相關，得排除（A）和（C）由，得，從而排除(B).故應選 (D)二、填空題：(914小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.)（9）微分方程滿足條件的解是 .【答案】 應填【詳解】由，得兩邊積分，得代入條件，得所以（10）曲線在點的切線方程為 .【答案】 應填【詳解】設，則，于是斜率故所求得切線方程為（11）已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為 .【答案】 【詳解】由題意，知的收斂域為，則的收斂域為所以的收斂域為(12)設曲面是的上側(cè)，則 .【答案】 【詳解】作輔助面取下側(cè)則由高斯公式，有(13) 設為2階矩陣，為線性無關的2維列向量，則的非零特征值為_.【答案】應填1【詳解】根據(jù)題設條件，得記，因線性無關，故是可逆矩陣因此，從而記，則與相似，從而有相同的特征值因為，故的非零特征值為1(14) 設隨機變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則_【答案】應填.【詳解】因為服從參數(shù)為1的