高中數(shù)學(xué)平面空間向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納 一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 2、向量加法：設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；，但這時(shí)必須“首尾相連”3、向量的減法： 相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4、實(shí)數(shù)

2、與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（）； （）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的5、兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6、平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。 2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則三平面向量的

3、數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則·=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=

4、當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：·O平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 空間向量與立體幾何1、空間向量及其運(yùn)算：（1）空間中的平行（共線）條件：（2）空間中的共面條件：共面（不共線）推論：對(duì)于空間任一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)、， ，則四點(diǎn)、共面（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量（4）空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算若，則： 注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；注2：空間中的基底要求不共面。2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：（1

5、）證明，即證明（2）證明，即證明（3）證明（平面）（或在面內(nèi)），即證明垂直于平面的法向量或證明與平面內(nèi)的基底共面；（4）證明，即證明平行于平面的法向量或證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；（5）證明兩平面（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；（6）證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。3、空間向量在立體幾何求值中的應(yīng)用：異面直線和的成角直線和平面的成角（為平面的法向量）平面與平面的成角（，分別為兩平面的法向量）或（需具體分析取哪一個(gè)）點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量）（其中點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）直線平面 （）的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到

6、平面的距離平面與平面（）的距離（為平面的法向量）轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的點(diǎn)到平面的距離異面直線和的距離（為既垂直于也垂直于的向量）（可以用，即兩直線上分別取一點(diǎn)）空間兩點(diǎn)，的距離坐標(biāo)形式下：兩點(diǎn)間距離公式基底形式下：若表示成，則可以得到：平面向量真題集訓(xùn)2004年（9）已知平面上直線的方向向量，點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分別是O1和A1，則，其中（    ）（A）（B）（C）2（D）22005年8. 已知點(diǎn)A（，1），B（0，0）C（，0）.設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有等于（    ）A. 2  

7、  B.      C. 3     D. 2006年（1）（文）已知向量（4，2），向量（，3），且/,則( )（A）9 (B)6 (C)5 (D)32007年5在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，則（ ）ABCD2009年6. 已知向量，則（ ）A. B. C. D. 2010年（8）中，點(diǎn)在上，平方若，則（ ）（A） （B） （C） （D）2011年（3）設(shè)向量、滿足，,則（A） （B） （C） （D） 利用向量法解決立體幾何問(wèn)題基本知識(shí)回顧向量平行，垂直的坐標(biāo)表示：平行x1y2-x2y1=0，垂直x1x2+

8、y1y2=0直線的方向向量：1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是：平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個(gè)向量垂直于平面,記作n,這時(shí)向量n叫做平面的法向量. 在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?設(shè)a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若na且nb,則n.換句話說(shuō),若n·a = 0且n·b = 0,則n 求平面法向量的基本

9、步驟：第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a = 0且n·b = 0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). (一).判定直線、平面間的位置關(guān)系（1）直線與直線的位置關(guān)系，不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a ,b. 若ab,即a=b,則ab. 若ab,即a·b = 0,則ab (2)直線與平面的位置關(guān)系 直線L的方向向量為a,平面的法向量為n,若an,即a =n,則 L 若an,即a·n = 0,則a .（3

10、)平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為n1 ,平面的法向量為n2若n1n2,即n1=n2,則若n1n2,即n1 ·n2= 0,則(二)、用向量解決距離問(wèn)題兩點(diǎn)間距離由可算出；若，則由數(shù)量積得 ，若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，則可直接用兩點(diǎn)間距離公式.點(diǎn)到直線的距離過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則由且點(diǎn)共線得，解出點(diǎn)后再求。異面直線、的距離可先設(shè)、的公垂線段（、），再由垂直向量性質(zhì)得，從而得到、的坐標(biāo)，最后算出所求.點(diǎn)到平面的距離先設(shè)平面的斜線為，再求的法向量，運(yùn)用向量平移，不難得到推論“等于在法向量上的射影的絕對(duì)值”，即，最后由此算出所求距離.兩平行平面之間的距離由平行平面間的距離定義知道，平面上任意一

11、點(diǎn)A到的距離就是到的距離，因此，我們也可把到的距離轉(zhuǎn)化為A到的距離，運(yùn)用求點(diǎn)與面距離的方法來(lái)求。(三)、用向量解決角的問(wèn)題兩條異面直線、間夾角在直線上取兩點(diǎn)A、B，在直線上取兩點(diǎn)C、D，若直線與的夾角為，則。注意,由于兩向量的夾角范圍為,而異面直線所成角的范圍為，若兩向量夾角為鈍角,轉(zhuǎn)化到異面直線夾角時(shí)為180°直線與平面所成的角（如圖）可轉(zhuǎn)化成用向量與平面的法向量的夾角表示，由向量平圖12圖11圖13移得：若時(shí)（圖）；若時(shí)（圖）.平面的法向量是向量的一個(gè)重要內(nèi)容，是求直線與平面所成角、求點(diǎn)到平面距離的必備工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出兩個(gè)不共線向量、，最后通過(guò)解方程組

12、得到.xyzABCC1A1B1GDE求二面角的大小已知二面角l，分別是平面和平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角l的大小為，規(guī)定0，則（這里若平面的法向量是二面角的內(nèi)部指向平面內(nèi)的一點(diǎn)，則平面的法向量必須是由平面內(nèi)的一點(diǎn)指向二面角的內(nèi)部，如圖2-1，否則從二面角內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)向兩個(gè)半平面作法向量時(shí)，二面角，如圖2-2）2-12-2ABCDl二面角的大?。ㄈ缬覉D），也可用兩個(gè)向量所成的夾角表示，在、上分別作棱的垂線、（、），從圖中可知：等于、所成的角. 2004年2012年云南省高考立體幾何解答題匯總2004年20（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，AC=1，C

13、B=，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M.（）求證CD平面BDM；（）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小.2005年（18）(本小題滿分12分)在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）證明AB平面VAD（）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小2006年（19）（本小題滿分分）如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)。（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；（II）設(shè)求二面角的大小。AEBCFSD2007年19（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點(diǎn) （1）證明平面；（2）設(shè)，求二面角的大小ABCDEA1B1C1D12008年（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小2009年18（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，平面（I）證明：（II）設(shè)二面角為60°，求與平面所成的角的大小。2010年（19）（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D為BB的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，AE=3 EB （）證明：DE為異面直線AB與CD的公垂線； （）設(shè)異面直線AB