用等體積法解點(diǎn)到面的距離和體積立體幾何題

1、用等體積法解點(diǎn)到面的距離和體積2017.12立體幾何是每年高考中的一個(gè)重要考查對(duì)象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立體幾何題需要我們的看圖、讀圖、繪圖能力；也需要我們的轉(zhuǎn)化能力及空間想象能力 .因此許多同學(xué)學(xué)習(xí)起感覺到很困難很麻煩，導(dǎo)致在高考中失分較多，影響考試的成績?？v觀近年的高考,我們不難發(fā)現(xiàn)，在立體幾何的考試中，經(jīng)?？疾榈角簏c(diǎn)到面的距離和體積的問題，而這些問題的解決有時(shí)借助常規(guī)的方法并不能輕松地獲得結(jié)果.這時(shí)如果能想到等體積法， 則可以給你一種“柳暗花明又一村”的感覺.下面我們將從幾道高考題中感受到這種方法帶給我們的好處。（一）用等體積法求點(diǎn)到平面的距離1. 如圖，在長方體 ABCD

2、 A 1B1C1D1 中， AD=AA 1=1，AB=2 ，點(diǎn) E 在棱 AB 上移動(dòng)D 1C1(1) 證明： D1EA1D ；A 1B1(2) 當(dāng) E 為 AB 的中點(diǎn)時(shí) ,求點(diǎn) E 到面 ACD1的距離；DC(3) AE 等于何值時(shí)，二面角 D1 EC D 的大小為AEB4(1)，（ 3）略（）解：設(shè)點(diǎn)到平面 D1的距離為，在D1 中，D12 ，h D15 ，故S AD1C12513，而s ACE1AE BC122222V D1 AEC1DD 11h, 113h, h=1 3S AEC3 S AD1C2232. 如圖，已知四棱錐 PABCD ，PB AD ，側(cè)面 PAD 為邊長等于 2 的

3、正三角形，底面ABCD 為菱形，側(cè)面 PAD 與底面 ABCD 所成的二面角為120。（）求點(diǎn) P 到平面 ABCD 的距離；（）求面 APB 與面 CPB 所成二面角的大小。解：（）取 AD 的中點(diǎn) E，連結(jié) PE， BE。 PAD 為等邊三角形 PEADP又 PB ADCDEBAAD 平面 PBE AD BE PEB 為平面 PAD與平面 ABCD 所成二面角的平面角，即 PEB=120°。設(shè)點(diǎn) P 到平面 ABCD 的距離為 h,V PABE = V APBEs PEB ?AEPE ? BE ? AE ?sin 1203h=PE? sin120° =S AEBAE?B

4、E23所以點(diǎn) P 到平面 ABCD 的距離為。（）略。評(píng)：本題巧妙地借助二面角 PEB 所在平面與棱 AD 的垂直關(guān)系構(gòu)造了三棱錐 P AEB，從而避免了直接作 P 到平面 ABCD 的距離而求。（二）用等體積法求錐體體積3. 如圖，已知 VC 是 ABC 所在平面的一條斜線 ,點(diǎn) N 是 V 在平面 ABC 上的射影，且在 ABC 的高 CD 上。 AB=a,VC 與 AB 之間的距離為 h，點(diǎn) M VC 。（）證明 MDC 是二面角 M AB C 的平面角；（）當(dāng) MDC= CVN 時(shí)，證明 VC 平面 AMB ；（）若 MDC= CVN= （ 0），求四面體MABC 的體積。VM2（）、

5、（）略。CA（）解：由（）、（）知 AB 平面 MDC,MD 為 VC 與 AB 之間的NDB距離，即 MD=h ， MDC= ， 由（）知 MC MD MC=h ? tanS MCD = 1 MD ? MC= 1 h ? h ? tan22VMABC = VA MCD+VBMCD = 1 SMCD AB= 1? a?1h ? h? tan= 1 ah2 tan3326所以四面體 MABC 的體積是1 ah2 tan6評(píng)：本題巧妙地借助了棱AB 與二面角 MDC 所在平面垂直關(guān)系構(gòu)造了三棱錐A MCD 及三棱 BCDM ，從而避免了直接求ABC 的面積及底面 ABC 上的高。4. 如圖，已知正

6、四棱柱 ABCD A 1 B1 C1 D1，點(diǎn) E 在棱 DD 1上，截面 EAC D1B，且面 EAC 與底面 ABCD 所成角為 45°， AB=a 。（）求截面 EAC 的面積；（）求異面直線 A 1B1 與 AC 之間的距離；（）求三棱錐 B1EAC 的體積。解：（）、（）略。（）連結(jié) BD 交 AC 于 O，連結(jié) B1O。由（）可知D1C1AO 平面 B BDD且 AOE COE ,LAO=CO=2a ,A1121B 1AO 為三棱錐 A EOB1 的高 ,又 S EOB 1= S矩形 BDD1B1E S EODS BOB 1S ED1B 1= 3 a 241322DCVB 1 EAC =2VAEOB 1 =2 ?a 2 ?a=a33424AOB2 a 3 。所以三棱錐1EAC 的體積是B4評(píng)：本題巧妙地借助了 AC 與平面 B1BDD 1 所在平面垂直的關(guān)系構(gòu)造了三棱錐AEOB1 及三棱錐 CEOB1，從而避免了直接求平面AEC 上的高。通過以上4 道的解答 ,我們不難看出等體積法在處理點(diǎn)到面的距離和體積時(shí)非常