電磁場理論第三周課件

1、 Properties of the static electric field: (divergenceless, irrotational) or (solenoidal, curl-less) Electric potential: irrotational (curl-less ) field Ethe rotation (curl) of the field E equals zeroline integral along a closed path (circulation) equals zero line integral independent of the path a p

2、otential function can be defined for the vector field E E=-gradient() The principle of superposition for the electric potential: calculation of the potential for various charge distribution The equi-potential (isopotential) surface of the electric field, its equation The differential equation of the

3、 electric potential: Poissons equation, Laplaces equationE 一、電偶極子的電場 二、均勻外電場對(duì)電偶極子的作用 一、介質(zhì)及其分類 二、電介質(zhì)的極化和電極化強(qiáng)度 三、束縛電荷 四、電位移矢量和介質(zhì)中的高斯定理 五、例題 六、介質(zhì)中靜電場的基本方程 一、兩種不同媒質(zhì)間電場的邊界條件 二、兩種不同介質(zhì)間電場的邊界條件 三、介質(zhì)與導(dǎo)體間電場的邊界條件 例題 一、導(dǎo)體 二、孤立導(dǎo)體與雙導(dǎo)體的電容 例題 三、部分電容 四、多導(dǎo)體系統(tǒng)中兩導(dǎo)體間的電容001 144r rQQrrrr 式中11222222cos1cos24lllrrrlrrr 1122

4、2222cos1cos24lllrrrlrrr 兩個(gè)等值異號(hào)的電荷，其間距l(xiāng)這樣的電荷系統(tǒng)稱為電偶極子，簡稱偶極子。設(shè)電偶極子的中心到遠(yuǎn)處任一點(diǎn)P的距離為r則電偶極子的兩異號(hào)電荷在點(diǎn)P的電勢即電偶極勢為遠(yuǎn)小于它們到場點(diǎn)的距離，rllrrrr-r+20cos4QlrQpl 是由 指向 的兩電荷間的距離矢量。 取近似得到：定義電偶極矩為：對(duì)電勢取負(fù)梯度得：lQQ30303cos42cossin4rrprprEekee你自己可以得到上述公式嗎？不妨試一試！223000cos444rprrrp ep r30303cos42cossin4rrprprEekee因此，電偶極子在遠(yuǎn)處的場強(qiáng)正比于其偶極矩，反

5、比于距離的立方，且與極角有關(guān)。（0，pi,分析在兩個(gè)電荷之間的線段上，為什么有不一致的情況出現(xiàn)？）處于均勻外電場中的電偶極子，由于組成它的兩個(gè)電荷等值而異號(hào)，故它們所受的電場力等值而反向。但兩力不在同一條直線上。因此，電偶極子將受到一個(gè)力矩的作用，此力矩為22Q llTFFlEpE可見，力矩T將使電偶極子的電矩p轉(zhuǎn)向外電場E的方向。 l 均勻與非均勻 線性與非線性 各向同性與各向異性 在外電場的作用下，介質(zhì)中的正、負(fù)電荷朝相反的方向發(fā)生微小的位移，從而產(chǎn)生偶極矩的現(xiàn)象稱為介質(zhì)的極化。 介質(zhì)的極化有三種不同的情形。第一種是介質(zhì)中的原子核和其周圍的電子云在外電場的作用下朝相反的方向位移，而使原子核

6、偏離電子云的中心，從而產(chǎn)生偶極矩，這稱為電子極化（或感生極化）。 第二種是某些介質(zhì)的分子具有固有偶極矩，由于它們凌亂排列而使其宏觀的電偶極矩為零。在外電場的作用下，分子的偶極矩轉(zhuǎn)向外電場方向，而分子的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)則破壞偶極矩的這種取向，從而建立一種極化的平衡，于是得到一個(gè)平均的凈取向作用，這稱為取向極化。 第三種是介質(zhì)的分子由帶相反電荷的離子組成。在外電場的作用下，正、負(fù)離子從其平衡位置發(fā)生位移，這稱為離子極化。電介質(zhì)極化的程度用電極化強(qiáng)度矢量P即偶極矩密度。它是一個(gè)宏觀量。如果設(shè)n是單位體積的分子數(shù)，而是每個(gè)分子的平均偶極矩，來表征。它是單位體積nPp對(duì)于絕大多數(shù)電介質(zhì)，理論和實(shí)驗(yàn)表明，極化

7、強(qiáng)度和介質(zhì)中的總電場之間存在著線性關(guān)系，可表示為e0 PE式中e稱為介質(zhì)的電極化率。 的電偶極矩，p則極化強(qiáng)度為書上提到了均勻、線性、各向同性的概念，分別指：電極化率與位置無關(guān)（介質(zhì)中各點(diǎn)一樣）;與場強(qiáng)的大小無關(guān)（不是場強(qiáng)的函數(shù)）;與場強(qiáng)的方向無關(guān)（與場強(qiáng)的指向無關(guān)，是一個(gè)數(shù)， 而非矩陣，各個(gè)方向上一樣）。束縛面電荷分布，其密度為dpSpQdSP n介質(zhì)極化后，介質(zhì)分子中的正、負(fù)電荷分離，于是在介質(zhì)內(nèi)部和其表面上分別出現(xiàn)束縛電荷。 dddddpppQnQVnQnlSpSPSdSlp P束縛體電荷分布，其密度為上述公式也可以通過計(jì)算電偶極子所產(chǎn)生的場而得到，從而驗(yàn)證了其正確性。dSl0p E0E

8、P0DEPDdSQDS根據(jù)高斯定理：也就是：定義稱作電位移矢量則： 微分形式積分形式為：dSQDS對(duì)于均勻、線性、各向同性的電介質(zhì)，電位移矢量可表示為DE00e1r e01r 00PED01rrPD =1rpr 有兩塊面積很大的平行導(dǎo)體板，板間距離為d(遠(yuǎn)小于平板的長和寬)，接于電壓為U的直流電源上充電后斷開電源，然后在兩極板間放入一塊與極板面積相同且厚度為d，介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)板。試求： (1)放入介質(zhì)板前后平行板間的電場強(qiáng)度及自由電荷與束縛電荷的面密度； (2)若電源不斷開，對(duì)放入介質(zhì)板后的情況重新進(jìn)行計(jì)算，并討論平行板電容器的電容。SdUSwitchSdUSwitchSdUSwitch

9、(1)SdUSwitch(2)(4)(3)SdUSwitch電場強(qiáng)度為多少？自由電荷密度為多少？由于電容器面板面積遠(yuǎn)大于二者之間的距離，所以可以當(dāng)作無窮大的帶電平面，于是，二者之間的場強(qiáng)為勻強(qiáng)電場，并且在電容器之外無電場。ss/(20)ss/(20)+=s/0由于兩個(gè)極板之間的電場均勻，而他們之間的電壓為U，根據(jù)電勢差和電場強(qiáng)度之間的關(guān)系，很容易得到：EU/d；又根據(jù)上面的描述，可以知道，E s/0，兩個(gè)式子聯(lián)立，可以得到自由電荷的密度為： s0 U/dSdUSwitch電場強(qiáng)度為多少？自由電荷密度為多少？另外，利用兩個(gè)極板之間的電勢所滿足的拉普拉斯方程，可以得到電勢是一個(gè)一元線性函數(shù)axb，

10、故其負(fù)梯度必然為一個(gè)常數(shù)，即電場強(qiáng)度勻強(qiáng)，從而可以得到電場強(qiáng)度的大小，為： EU/d。對(duì)上下極板分別使用高斯定理，如圖所示，則很容易得到自由電荷的密度：s0 U/dSdUSwitch(4)電場強(qiáng)度為多少？自由電荷密度和束縛電荷密度為多少？顯然，自由電荷的面密度不會(huì)發(fā)生任何變化，因?yàn)殚_關(guān)是打開的。s0 U/d根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理， sE，所以，可以得到， Es/U/（rd）所以，Pe0E（r1）0E而束縛電荷面密度為：dpSpQdSP nSdUSwitchSdUSwitchSdUSwitch(1)(3)(2)（1）（3）中電場強(qiáng)度為多少？自由電荷密度和束縛電荷密度為多少？ 注意：在利用公式計(jì)算束

11、縛電荷面密度的時(shí)候，一定要注意法線方向的正確選擇，否則，計(jì)算的結(jié)果與正確結(jié)果相差負(fù)號(hào)。關(guān)鍵是：法線正方向一定是從所研究的介質(zhì)表面指向其外部外部的方向。 已知無限長同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為r1，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為r2，二者之間的電壓為U，并設(shè)外導(dǎo)體接地，如圖所示。試求同軸線內(nèi)的電場強(qiáng)度。r1r2r1 你能夠正確的計(jì)算同軸線內(nèi)外導(dǎo)體表面所帶的自由電荷面密度嗎？ 你能夠正確的計(jì)算同軸線內(nèi)部介質(zhì)靠近內(nèi)外導(dǎo)體表面所帶的束縛電荷面密度嗎？dSQDS D =d0lEl0 EDEDE積分形式 微分形式1212nnSSDDnDD1212ttEEnEnESnn221121121212n

12、nDDnn1212ttEE在兩種不同介質(zhì)的分界面上，電力線和電位移線將以相同的方式發(fā)生折射。 1122sinsinEE111222coscosEE111222tantanrr式中1與2分別是1E2E與和分界面法線之間的夾角。 nSSDn0()tEC常數(shù)在介質(zhì)和導(dǎo)體的分界面上，由于靜電平衡而使導(dǎo)體內(nèi)部的電荷及電場均為零，可得導(dǎo)體表面上的邊界條件為： 如圖所示的雙層介質(zhì)平行板電容器中，設(shè)極板的面積為 ，介電常數(shù)為 與 的兩層介質(zhì)的厚度分別為 與 。電容器兩極板間的電壓為U。試求兩介質(zhì)中的電場強(qiáng)度、電容器的電容及介質(zhì)表面上的束縛電荷分布。S121d2dS12d1d2難點(diǎn)：每層介質(zhì)中的電場都是均勻的，

13、可以通過拉普拉斯方程來證明，也可以通過無窮大帶電平面的性質(zhì)來推斷。因和 得221121dddEdEUBCCAlElE22111211221ddUddUE22112211212ddUddUE2211EEABC+-UEEPP1122Ddd1212SSS在 極板A 上電容SddUED2211112211ddSUSUQCS212211111CCSdSdCABC+-UEEPP1122Ddd1212SSSDDEPBS2r2r20220222b1nPDDPPCS1r2r2r2r1r1r2121b1111nPnPDDEPAS1r1r10110111b1nPABC+-UEEPP1122Ddd1212SSS 有一

14、個(gè)半徑為 ，帶電量為 的導(dǎo)體球，其球心位于兩種不同的均勻介質(zhì)的分界平面上，如圖所示。試求兩介質(zhì)中的電場強(qiáng)度和分界面上的電荷分布。aQaQ12可以采用試探法，也可以用嚴(yán)格的方法得到。尤其值得一提的是，本題目對(duì)應(yīng)了一大批類似的題目，只要保證滿足軸對(duì)稱的條件，上述方法屢試不爽。 求球內(nèi)介質(zhì)中 的勢和場及電容 積分兩次得 用邊界條件 求積分常數(shù)0dddd1222rrrr21CrC1rr U2rr 0oQ+Qrr21U 電場中導(dǎo)體的性質(zhì)： 導(dǎo)體內(nèi)部的電場強(qiáng)度處處為零； 導(dǎo)體內(nèi)部電荷密度為零； 電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上； 導(dǎo)體是一個(gè)等勢體，它的表面是一個(gè)等勢面； 在導(dǎo)體的表面，電力線垂直于導(dǎo)體表面；空間

15、一個(gè)孤立導(dǎo)體的電容是指它與無窮遠(yuǎn)處選為電勢參考點(diǎn)的另一導(dǎo)體間的電容，其值為該導(dǎo)體所帶的電量與其電勢之比，即QC兩導(dǎo)體間的電容是一個(gè)導(dǎo)體的電量與兩導(dǎo)體間的電壓之比， 即QCU12Ua 設(shè)雙根傳輸線軸線間的距離 遠(yuǎn)大于其半徑 。試求該傳輸線單位長度的電容。DaaDr場強(qiáng)20022rrrrrlrrlreeeEcos2)sin(cos2220rDDrDrrrrrleeeeEeecos2sincos2cos1222220rDDrDrDDrDrrrl0rlrDreE1120 xDerDrrrD-rDPPrrooaaerer12+ll0兩線間的電壓雙根傳輸線單位長的電容rrDrUaDalaDad112d0r

16、EaaDrDrlaDallnlnln200aDaaDUCllnln000rD-rDPPrrooaaerer12+ll0對(duì)于兩個(gè)以上的多導(dǎo)體系統(tǒng)，例如三個(gè)導(dǎo)體和大地組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)，當(dāng)它們處于線性介質(zhì)或真空中時(shí)，并取大地作為電勢的參考點(diǎn)，應(yīng)用疊加原理，則每一導(dǎo)體的電勢和這三個(gè)導(dǎo)體的電量之間的關(guān)系可以寫為111112213322112222333311322333QQQQQQQQQ其中具有相同下標(biāo)的系數(shù)ii稱為自電勢系數(shù)，ij具有不同下標(biāo)的系數(shù)稱為互電勢系數(shù)。顯然，所有的電勢系數(shù)都大于零。Q1,1Q2,2Q3,3123111 112213 3221 122223 3331 132233 3QQQ

17、解此方程可得：式中的系數(shù)ij也都是由三導(dǎo)體的幾何形狀、它們之間的相互位置ii稱為導(dǎo)體ij稱為及其周圍介質(zhì)決定的常數(shù)，其中具有相同下標(biāo)的系數(shù)的自電容系數(shù)（或自感應(yīng)系數(shù)0），具有不同下標(biāo)的系數(shù)導(dǎo)體間的互電容系數(shù)（或互感應(yīng)系數(shù)00對(duì)于N個(gè)導(dǎo)體和大地（參考導(dǎo)體）所組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)，111101212112212122202231122NNNNNNNNNNNNQC UC UC UQC UC UC UQC UC UCU式中具有相同下標(biāo)的系數(shù) 稱為導(dǎo)體的自部分電容，即各導(dǎo)體具有不同下標(biāo)的系數(shù) 稱為相應(yīng)兩導(dǎo)體間的互部分電容。 iiCijC分別與大地之間的那一部分電容。上式變?yōu)榭梢?，?duì)于多導(dǎo)體系統(tǒng)中的任意一個(gè)導(dǎo)

18、體，其上面所帶的電荷，都可以分成N份，每一份都隨著該導(dǎo)體于其他導(dǎo)體（或大地）之間的電勢差的改變而成比例的變化，就好像他們之間有一個(gè)個(gè)電容一樣，故，將這些都稱為部分電容。如下所示：他們構(gòu)成了一個(gè)電容網(wǎng)絡(luò)。123C11C33C22C12C13C2312C11C12C22C12并（C11串C22）12C11C12C22注意兩導(dǎo)體之間的電容與他們之間的部分電容的差別。 Electric dipole: the potential of the dipole, the electric field of the dipole, electric dipole in the uniform electric field (force, torque)，electric