高中數(shù)學(xué)《點(diǎn)的軌跡方程探討》教學(xué)課例分析

1、高中數(shù)學(xué)點(diǎn)的軌跡方程探討教學(xué)課例分析1 教學(xué)設(shè)計(jì)1.1教學(xué)內(nèi)容分析“曲線的方程”是解析幾何中用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的主要內(nèi)容之一。求曲線的方程，教材介紹了直接法、待定系數(shù)法，同時(shí)在例習(xí)題中也出現(xiàn)了其它方法（如定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法等），但學(xué)生對(duì)求軌跡方程的方法與技能的掌握有待進(jìn)一步提高。因此，在小結(jié)復(fù)習(xí)課里，我以一道課本例題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，利用多媒體輔助教學(xué)，設(shè)計(jì)了一節(jié)“點(diǎn)的軌跡方程探討”課。 1.2教學(xué)目標(biāo)提高學(xué)生探求曲線軌跡方程的能力；培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、數(shù)形結(jié)合的能力；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2教學(xué)過(guò)程2.1創(chuàng)設(shè)情境師：羅雪同學(xué)在學(xué)完課本例題（人民教育出版社高中數(shù)學(xué)教材第二冊(cè)(上)的

2、.80頁(yè)例6）“已知點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（12，0）。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡是什么？”后，提出了如下的問(wèn)題： 已知點(diǎn)P是定圓C：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在下列條件下, 線段的中點(diǎn)的軌跡分別是什么?()定點(diǎn)在圓外；()定點(diǎn)在圓內(nèi)；()定點(diǎn)在圓上師：用幾何畫板追蹤點(diǎn)的軌跡功能進(jìn)行探討，你能幫助羅雪同學(xué)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 圖1學(xué)生1：線段的中點(diǎn)的軌跡仍然是一個(gè)圓。師：能證明嗎？學(xué)生2：如圖1.設(shè)點(diǎn)M（x,y）, 點(diǎn)（a,b），則點(diǎn)為(rcos,rsin)， 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有 , (其中是參數(shù))。 所以，無(wú)論點(diǎn)在圓外，

3、圓內(nèi)，還是圓上，線段PA的中點(diǎn)的軌跡都是圓師：很好！就此例中探求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，同學(xué)們還能提出哪些問(wèn)題？2.2提出問(wèn)題(1)如果定圓的圓心不在坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的軌跡如何？(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足什么條件時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡分別和定圓相交，相切，相離？(3)如果把圓換成橢圓，點(diǎn)的軌跡如何？(4)如果把圓換成雙曲線，點(diǎn)的軌跡如何？(5)如果把圓換成拋物線，點(diǎn)的軌跡如何？(6)如果點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡如何？ 2.3解決問(wèn)題師：現(xiàn)就同學(xué)們比較感興趣的問(wèn)題和問(wèn)題進(jìn)行探討。演示問(wèn)題：已知點(diǎn)P是定橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在下列條件下, 線段的中點(diǎn)的軌

4、跡是什么?()定點(diǎn)在橢圓外； ()定點(diǎn)在橢圓內(nèi)；()定點(diǎn)在橢圓上。學(xué)生：經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的軌跡仍然是橢圓。但從計(jì)算的結(jié)果看，卻不能確定是不是橢圓。我選擇的橢圓方程是，則點(diǎn)P為(4cos,3sin)。定點(diǎn)A (12,8) 則點(diǎn)M的參數(shù)方程為。從圖上看是橢圓，但書上沒(méi)有這種形式的橢圓方程。師：哪位同學(xué)能幫助他解決這個(gè)問(wèn)題呢？學(xué)生：是橢圓，并且是以為長(zhǎng)軸，為短軸的橢圓。師：那方程中“多出來(lái)”的6，4是什么呢？學(xué)生：(思考片刻)點(diǎn)（6，4）應(yīng)該是橢圓的中心。學(xué)生5：他所求出來(lái)的方程就是橢圓的方程，是一個(gè)中心被平移過(guò)的橢圓。點(diǎn)(6,4)是平移后的橢圓中心。師：非常好！我們?cè)诮滩纳蠈W(xué)的只是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的

5、橢圓，現(xiàn)在同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了中心不在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓。祝賀你們！我想知道，除了能用參數(shù)法求點(diǎn)的軌跡方程，還有其它方法嗎？學(xué)生：我們小組用相關(guān)點(diǎn)代入法求解。我們選擇的橢圓方程是設(shè)點(diǎn)（x,y）,點(diǎn)，則點(diǎn)為于是點(diǎn)的軌跡方程是。由作圖知，點(diǎn)的軌跡是以為中心，以a為長(zhǎng)軸、b為短軸的橢圓。圖2學(xué)生：我們小組是用定義法求解的。在對(duì)羅雪同學(xué)的問(wèn)題尋找答案的過(guò)程中，我們還發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：無(wú)論點(diǎn)在哪一個(gè)位置，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡都是一個(gè)圓，它們的半徑都相等，且圓心是線段CA的中點(diǎn)，半徑是圓C半徑的一半。于是在研究橢圓的時(shí)候我們利用這個(gè)規(guī)律，得到了如下的解答：如圖2所示，連接及在和中，設(shè)分別是線段的中點(diǎn)由中位線定理可知

6、又則所以，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，以a為長(zhǎng)軸的橢圓。 師：（其它同學(xué)露出贊許的目光）太美了！ 他從橢圓的第一定義的角度證明了點(diǎn)M的軌跡是橢圓。我也提一個(gè)問(wèn)題:如果A不是一個(gè)定點(diǎn)，而是線段：x-y=1(x-5,5)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡又如何呢？教師演示點(diǎn)M的動(dòng)態(tài)軌跡追蹤，如圖(第一秒）圖4(兩分鐘后)陰影部份所示。圖圖43教學(xué)反思(1) 引導(dǎo)學(xué)生在情境中質(zhì)疑、交流，構(gòu)建相關(guān)知識(shí)本節(jié)課采用數(shù)學(xué)“情境問(wèn)題”教學(xué)模式設(shè)計(jì)教學(xué)整節(jié)課形成了一個(gè)循環(huán)互動(dòng)，有機(jī)開放的教學(xué)系統(tǒng)。從羅雪同學(xué)提出的問(wèn)題引入課題，顯得自然，親切，激發(fā)了同學(xué)們的求知欲。隨著問(wèn)題的層層深入，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，學(xué)生在相互交流

7、、質(zhì)疑、碰撞中復(fù)習(xí)了探求點(diǎn)的軌跡方程的有關(guān)知識(shí)。(2)利用幾何畫板，豐富學(xué)生的想象空間選用了多媒體輔助教學(xué)，幾何畫板的追蹤點(diǎn)的軌跡功能豐富了學(xué)生的視野，形象而生動(dòng)地把曲線的方程、點(diǎn)的軌跡賦予了生命，讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)能順利的完成學(xué)習(xí)任務(wù)。(3)組織學(xué)生合作學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效益小組合作學(xué)習(xí)便于形成學(xué)習(xí)的合力，提高學(xué)習(xí)的效率。在課前按照均衡、協(xié)作的原則，把學(xué)生分為8個(gè)協(xié)作學(xué)習(xí)小組，以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力好，兼顧配備計(jì)算機(jī)操作技能好和語(yǔ)言表達(dá)能力強(qiáng)的同學(xué)組成小組。從實(shí)際教學(xué)情況看，每組的學(xué)生代表給出的都是一個(gè)共同研討出來(lái)的令人認(rèn)可的答案。(4)意料之外，情理之中 這節(jié)課，通過(guò)設(shè)置的問(wèn)題情境幫助學(xué)生鞏固相關(guān)點(diǎn)代入法和參數(shù)法，所以有意提了“課本例題（教材.80頁(yè)例6）”，利用幾何畫板追蹤點(diǎn)的軌跡功能，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的美，確實(shí)觸摸到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡