函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)設(shè)計(jì)（Word）

1、函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)設(shè)計(jì)一內(nèi)容和內(nèi)容解析函數(shù)的單調(diào)性是研究當(dāng)自變量x不斷增大時(shí)，它的函數(shù)y增大還是減小的性質(zhì)如函數(shù)單調(diào)增表現(xiàn)為“隨著x增大，y也增大”這一不變的特征與函數(shù)的奇偶性不同，函數(shù)的奇偶性是研究x成為相反數(shù)時(shí)，y是否也成為相反數(shù)，即函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值類似，是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個(gè)定義域上不一定具有這與函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最大值、最小值不同，它們是函數(shù)的整體性質(zhì)，即函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性的研究方法也具有典型意義，體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法這就是，加強(qiáng)數(shù)與形的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般首先借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增、減變化的直觀特征，進(jìn)

2、一步量化，發(fā)現(xiàn)增、減變化數(shù)字特征，從而進(jìn)一步加以解析研究，數(shù)學(xué)刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用（內(nèi)部）；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容的研究中也有重要的應(yīng)用（外部）二目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課要求學(xué)生理解函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的意義，掌握用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）。1要求能夠以具體的例子說(shuō)明函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性；2能夠舉例說(shuō)明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個(gè)定義域上未必具有單調(diào)性，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；3對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)，能夠按照單調(diào)性的

3、定義，證明它的單調(diào)性：在區(qū)間上任意取x1，x2，x1x2，作差f（x2） f（x1），然后判斷這個(gè)差的符號(hào)，從而證明函數(shù)在該區(qū)間上具有單調(diào)性。三教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)是，初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，初步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是一個(gè)刻畫(huà)某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念；進(jìn)入高中以后，又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)。學(xué)生還了解函數(shù)的三種表示方法，特別是可以借助圖像直觀對(duì)函數(shù)性質(zhì)加以考察。此外，還學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等幾個(gè)簡(jiǎn)單而具體的函數(shù)，了解它們的圖像及性質(zhì)。尤其值得注意的是，學(xué)生有利用函數(shù)圖像進(jìn)行兩個(gè)數(shù)大小比較的經(jīng)驗(yàn)。這些都是在函數(shù)單調(diào)性教學(xué)時(shí)值得關(guān)注的

4、，是建立函數(shù)的單調(diào)性的生長(zhǎng)點(diǎn)。學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在于，難以把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來(lái)，難以用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)單調(diào)性的特征。即由“隨著x的增大，y也增大”（單調(diào)增）這一自然語(yǔ)言到“由（區(qū)間上）任意的x1x2有f（x1）f（x2）”（單調(diào)增）數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換其中最難理解的是為什么要用“任意”二字，在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的x1x2刻畫(huà)。當(dāng)然，應(yīng)該注意到，企圖在一節(jié)課中就實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的真正理解也是不現(xiàn)實(shí)的。在今后，學(xué)生通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決具體問(wèn)題，等一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)可以逐步理解這個(gè)概念。教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)一系列具體問(wèn)題的研究，經(jīng)

5、過(guò)歸納、抽象、概括，逐步由“隨著x的增大，2 / 8y也增大”（單調(diào)增）這一自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成“由（區(qū)間上）任意的x1x2到f（x1）f（x2）”（單調(diào)增）數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言單調(diào)減的數(shù)學(xué)刻畫(huà)將會(huì)迎刃而解。教學(xué)中，教師要找出建立概念的關(guān)鍵之處，明確學(xué)生建立這個(gè)概念到底難在哪里其次是采取適當(dāng)?shù)姆椒?，注意啟發(fā)引導(dǎo)，不以自己的想法代替學(xué)生的想法，把單調(diào)性的定義告訴學(xué)生注意引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念形成的關(guān)節(jié)點(diǎn)處的討論、交流等活動(dòng)。不要使學(xué)生僅記住意義，模仿練習(xí)不要簡(jiǎn)化概念發(fā)生過(guò)程的教學(xué)，把重心放在具體函數(shù)單調(diào)性證明的訓(xùn)練上，放在作差后如何證明f（x2）f（x1）0的技巧訓(xùn)練上概念的形成過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)歸納、概括的過(guò)程，

6、是一個(gè)由特殊到一般，由具體到抽象的過(guò)程教師應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到，學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的改變不僅是要教師講、教師引導(dǎo)，還需要學(xué)生的親身體驗(yàn)，親自參與，與同伴交流。四學(xué)習(xí)行為分析要使得學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，具體可以進(jìn)行如下的操作。1可以先讓學(xué)生觀察圖像，由圖像的升降，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化，得到圖像上升相應(yīng)的是“隨著x的增大，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y也增大”；圖像下降相應(yīng)的是“隨著x的增大，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y減小”。從圖像直觀的形象刻畫(huà)轉(zhuǎn)化為數(shù)值之間的關(guān)系，加強(qiáng)數(shù)與形結(jié)合的意識(shí)。2函數(shù)圖像的“升”與“降”是兩種不同的性質(zhì)特征，需要分類研究。明確首先研究函數(shù)圖像上升的情況，即先研究“隨著x的增大，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y也增大”這一特征。滲

7、透重要思想。分類思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，分類討論是常用的討論問(wèn)題的方法。也體現(xiàn)了先解剖一個(gè)麻雀，重點(diǎn)研究函數(shù)單調(diào)增的情況，這樣函數(shù)單調(diào)減就迎刃而解了。3要刻畫(huà)“隨著x的增大，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y也增大”這一現(xiàn)象，能否在該區(qū)間上取兩個(gè)固定的值x1，x2，如果“當(dāng)x1x2時(shí)，有f（x1）f（x2）”，從而得到在該區(qū)間上總有f（x1）f（x2）？可以讓學(xué)生舉反例加以說(shuō)明。培養(yǎng)舉反例的能力。4要刻畫(huà)“隨著x的增大，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y也增大”這一現(xiàn)象，能否在該區(qū)間上取兩個(gè)值x1，x2，其中x1是區(qū)間左端點(diǎn)，x2可以在區(qū)間內(nèi)任意取值，如果“當(dāng)x1x2時(shí)有f（x1）f（x2）”，能否得到在該區(qū)間上總有f（x1）f（x2

8、）？仍然讓學(xué)生舉反例加以說(shuō)明。5在區(qū)間（a，b）上，存在無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)值，x1x2x3x4xn，有f（x1）f（x2）f（x3）f（x4）f（xn），能否得到在區(qū)間（a，b）上函數(shù)具有“隨著x的增大，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y也增大” 這一特征。這是具有一定挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，需要學(xué)生作出認(rèn)真思考。6在區(qū)間（a，b）上怎樣取值，使得“當(dāng)x1x2時(shí)，有f（x1）f（x2）”成立，就能夠得到函數(shù)在區(qū)間（a，b）上，隨著x的增大，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y也增大呢？引導(dǎo)學(xué)生得到：允許在區(qū)間（a，b）上任意取值x1，x2時(shí)，“當(dāng)x1x2時(shí)，有f（x1）f（x2）”就可以得到函數(shù)單調(diào)性的特征。從而產(chǎn)生函數(shù)單調(diào)性的定義。五教學(xué)支持條件分析為了有

9、效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可，可以借助計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器繪制函數(shù)圖像，同時(shí)輔以坐標(biāo)計(jì)算、跟蹤點(diǎn)以及等手段觀察函數(shù)值的變化。獲得函數(shù)單調(diào)增、減的直觀感受。六教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1課題引入設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生感受研究函數(shù)單調(diào)性的必要性。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法，緊接著對(duì)函數(shù)要研究些什么？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，應(yīng)該認(rèn)識(shí)函數(shù)的各種特征。這樣，通過(guò)研究描述客觀世界變化規(guī)律的這一數(shù)學(xué)模型，可以把握現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律。對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，最基本的就是要描述變化的快或慢、增或減相應(yīng)的，函數(shù)的重要特征就包含：函數(shù)的增與減（單調(diào)性），函數(shù)的最大值、最小值，等等。從研究問(wèn)題的方法上說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念之后應(yīng)該揭示它的特征

10、，研究它的性質(zhì)讓學(xué)生感受到，緊接著關(guān)注函數(shù)的性質(zhì)是必然的學(xué)習(xí)任務(wù)另一方面，還可以由教師引導(dǎo)，借助對(duì)一些函數(shù)圖象的直觀觀察、對(duì)所觀察到的特征的歸類，引入函數(shù)的某類性質(zhì)的研究比如，觀察下圖中各個(gè)函數(shù)的圖像，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化特征嗎？ 圖1還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察比較多的函數(shù)的圖象，并進(jìn)行一些歸類說(shuō)說(shuō)你為什么把這些函數(shù)歸為一類。比如都單調(diào)增的歸成一類；圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱（偶函數(shù)）的歸為一類，等等，更好地體現(xiàn)“事物變化過(guò)程中，保持不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)”這樣就形成了課題提出的契機(jī)，使得當(dāng)前來(lái)討論函數(shù)的一些性質(zhì)成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)研究哪些性質(zhì)？先研究什么性質(zhì)？我

11、們先研究函數(shù)的某一種特征，如函數(shù)增減變化的特征總之，作為教學(xué)活動(dòng)的第一環(huán)節(jié)，課題的提出應(yīng)該是自然的，學(xué)生容易共鳴的問(wèn)題另一種就是，由具體事例引入創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景：圖2表示的是某地24小時(shí)溫度變化的情況你能說(shuō)說(shuō)溫度變化特點(diǎn)嗎？可能的回答是，在夜里的0點(diǎn)到2點(diǎn)，溫度越來(lái)越低，夜里2點(diǎn)到白天的下午2點(diǎn)，溫度不斷升高，下午2點(diǎn)到夜里又不斷下降引出“函數(shù)值y隨著自變量x的值增大而增大以及隨著自變量x的值增大而見(jiàn)效”等一話題當(dāng)然由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并提出學(xué)習(xí)的課題更好這可以視學(xué)生的具體情況確定 圖2數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該注意，力求教會(huì)學(xué)生自己提出問(wèn)題，并找到研究問(wèn)題的方法，學(xué)會(huì)研究問(wèn)題2問(wèn)題鏈設(shè)計(jì) 問(wèn)題設(shè)計(jì)的目的大體從三

12、個(gè)層次上展開(kāi)。首先觀察圖像，描述變化規(guī)律，如上升、下降，從幾何直觀角度加以認(rèn)識(shí)；然后，結(jié)合圖、表，用自然語(yǔ)言描述，即y隨x的增大而增大（或減?。?；最后，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述變化規(guī)律，逐步實(shí)現(xiàn)用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的變化規(guī)律。問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)由具體到抽象，由特殊到一般，由遠(yuǎn)及近，一步一步地促使學(xué)生形成概念。問(wèn)題1 列表描點(diǎn)，畫(huà)函數(shù)f（x）x2的圖像。x432101234f（x）x216941014916 意圖：列表描點(diǎn)（自變量取值總是從小到大的選取，這與考察函數(shù)單調(diào)性時(shí)自變量總是從小到大取值是一致的，這也是學(xué)生早就熟悉的。這樣可以不必討論，函數(shù)在某區(qū)間上遞增是指從左到右的問(wèn)題），通過(guò)計(jì)算函數(shù)值可以體

13、驗(yàn)當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小變化規(guī)律。問(wèn)題2 利用畫(huà)出的圖像，請(qǐng)描述函數(shù)值增減變化特征。從函數(shù)圖像及上述表格可以看出（這并不困難）：圖象在y軸左側(cè)“下降”，也就是，在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）反而減?。粓D象在y軸右側(cè)“上升”，也就是，在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）也隨著增大。意圖：幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形所反映出的特征。借助圖像，體驗(yàn)自變量從小到大變化時(shí)，函數(shù)值大小變化在圖形上的表現(xiàn)。 圖3問(wèn)題3 當(dāng)x從小到大變化時(shí)，y的值如何變化？意圖：是對(duì)前一個(gè)問(wèn)題（直觀）的再一次概括，一次自然語(yǔ)言描述。而且，既不能說(shuō)隨著x的增大y增大，也不能說(shuō)隨著x的增大y減小。學(xué)生

14、必須分段回答這個(gè)問(wèn)題，體驗(yàn)函數(shù)的這一特征是函數(shù)的局部特征。問(wèn)題4 比較下列各數(shù)的大小。22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。就x在（0，+）從小到大取值時(shí)，具體討論函數(shù)值的大小變化。這不難得到223242（4.5）2（5.1）2（6.3）2。顯然有：當(dāng)0x1x2x3x4x5x6時(shí)，有0xxxxxx時(shí)，即0y1y2y3y4y5y6。意圖：由具體的數(shù)字特征逐步向抽象的符號(hào)描述過(guò)渡。問(wèn)題5 對(duì)于函數(shù)一個(gè)函數(shù)f（x），如果12時(shí)，有f（1）f（2），能否說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增呢？問(wèn)題6 函數(shù)f（x），對(duì)于（0，）上的無(wú)數(shù)個(gè)自變量的值x1，x2，x3，當(dāng)0x1x2x3

15、時(shí)，有0y1y2y3，能否說(shuō)函數(shù)f（x）在（0，）上遞增呢？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明。意圖：這兩個(gè)問(wèn)題的目的是，逐步由“靜態(tài)”、“有限”向“動(dòng)態(tài)”、“無(wú)限”過(guò)渡?；卮疬@些問(wèn)題需要一定的抽象思維。問(wèn)題6引導(dǎo)學(xué)生用反例說(shuō)明問(wèn)題，以便抓住問(wèn)題的正面特征。問(wèn)題7 在函數(shù)yx2的圖像位于y軸右邊的部分隨便（任意）取兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別是x1，x2，即當(dāng)0x1x2時(shí)，是否總有y1y2呢？意圖：抽象前的鋪墊，以“隨便”替代“任意”容易被接受。問(wèn)題8 在函數(shù)yx2的圖像位于y軸左邊的部分任意取兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別是x1，x2，即當(dāng) x1x20時(shí)，是否總有y1y2呢？意圖：把“隨便”換成“任意”并不突然。任意x1x20時(shí)，有y1y2

16、。而0x1x2不變。這樣，基本完成難點(diǎn)的突破。問(wèn)題9 在函數(shù)yx2的圖像上任意取兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別是x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，是否總有y1y2呢？意圖：函數(shù)遞增、遞減描述需要分段表述。問(wèn)題10 你能否舉出一個(gè)具體的函數(shù)的例子，使得它在區(qū)間（，）上，對(duì)任意x1x2，總有y1y2。意圖：學(xué)生為尋找例子，會(huì)首先從形象直觀的角度尋找思考，如f（x）x3。加強(qiáng)幾何直觀與抽象表述之間的聯(lián)系。問(wèn)題11 你能否舉出一個(gè)具體函數(shù)的例子，使得它在區(qū)間（0，）上，對(duì)任意x1x2，總有y1y2。意圖：使得學(xué)生把當(dāng)前學(xué)習(xí)的內(nèi)容與以前學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，先有函數(shù)性質(zhì)特征再尋找具體函數(shù)的例子。從具體到抽象，從抽象到具體，體

17、驗(yàn)函數(shù)的這一特征?？赡芘e出的例子是f（x）。也有可能學(xué)生舉出的例子是f（x）x2，等。3先對(duì)具體函數(shù)下單調(diào)性的定義函數(shù)f（x）x2，對(duì)于x（0，）上的任意x1x2，都有f（x1）f（x2），我們說(shuō)函數(shù)f（x）x2在（0，）上是增函數(shù)。對(duì)于x（，0）上的任意x1x2，都有f（x1）f（x2），我們說(shuō)函數(shù)f（x）x2在（0，）上是減函數(shù)。4函數(shù)在區(qū)間a，b上單調(diào)性的定義問(wèn)題12 函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上是增函數(shù)如何刻畫(huà)？遞減呢？意圖：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)一步，以此作為函數(shù)單調(diào)性的定義。5單調(diào)性的認(rèn)識(shí)問(wèn)題13 函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）上，總有f（x）f（0），能否說(shuō)f（x）在（0，

18、）上單調(diào)增？請(qǐng)舉例說(shuō)明。意圖：概念辨析。學(xué)生容易畫(huà)出圖形來(lái)加以說(shuō)明。從反面進(jìn)一步體驗(yàn)到，函數(shù)單調(diào)性中“任意x1x2，都有f（x1）f（x2）”中“任意”二字的意義，體驗(yàn)到為什么要在區(qū)間上任意取大小不同的兩個(gè)值。以后學(xué)習(xí)立體幾何直線與平面垂直的定義時(shí)，可以加深對(duì)為什么要“任意”取值的理解。一條直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，并不能斷定這條直線與平面垂直，而如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則直線與平面垂直。6單調(diào)性應(yīng)用概念的應(yīng)用有助于對(duì)概念的理解，有助于進(jìn)一步把握概念的本質(zhì)通過(guò)一些具體的函數(shù)單調(diào)性的證明或者函數(shù)單調(diào)區(qū)間的劃分可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性概念例1 物理學(xué)中的波利爾定律p（k是正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)體積V減小，壓強(qiáng)p將增大試用函數(shù)的單調(diào)