函數(shù)的換元積分法（Word）

1、 / 18 編號編號 學(xué)學(xué)士士學(xué)學(xué)位位論論文文一元函數(shù)的換元積分法一元函數(shù)的換元積分法 學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 專 業(yè)： 年 級： 完成日期： 中文摘要不定積分的概念較為簡單，但從計(jì)算上講是較為復(fù)雜的，如同數(shù)學(xué)中一般逆運(yùn)算比正運(yùn)算困難一樣，不定積分作為微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，其難易程度卻相差甚遠(yuǎn)，若把求導(dǎo)數(shù)比喻為將一根繩子打結(jié)，求不定積分則是解結(jié)，解結(jié)顯然比打結(jié)難，有時(shí)甚至解不開。而且利用直接積分法所能計(jì)算的不定積分是非常有限的，因此，有必要進(jìn)一步研究不定積分的其它計(jì)算方法，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推得一種十分重要的積分方法換元積分法（通常稱為換元法） 。該法可分為兩類，即第一類和第二類換元法。關(guān)鍵詞：

2、關(guān)鍵詞：一元函數(shù)一元函數(shù)；不定積分；換元法不定積分；換元法目錄中文摘要中文摘要 .0引言引言 .11. 換元積分法換元積分法 .11.1 第一類換元積分法 .112 第二類換元積分法 .313 求三角函數(shù)(sin ,cos )Rxx 的不定積分.10總結(jié)總結(jié) .12參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .13致謝致謝 .14引言換元積分法是把積分化為可以利用積分公式的一個重要方法。其形式有兩種。第一類換元法和第二換元法。第一類換元法是由( )g u的原函數(shù)而獲得( )f x 的原函數(shù)主要采取的方法便是“湊”的方法。第二換元法是已知( )f x 有原函數(shù)而用來得到( )g u的原函數(shù)，它是第一換元法的可逆過程。1.

3、 換元積分法定義：我們將把復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法反過來用于求不定積分，即利用變量代換的方法將所要求的不定積分變?yōu)榛痉e分表中所已有的形式或原函數(shù)為已知的其它形式來求函數(shù)的不定積分，這種方法稱為換元積分法。1.11.1 第一類換元積分法第一類換元積分法定理定理 1 1：（第一類換元積分法）若函數(shù)( )ux在 , a b 可導(dǎo)，且( )x， ,u 有( )( )F uf u，則函數(shù) ( )( )fxx存在原函數(shù) ( )Fx，即 ( )( ) ( )fxx dxFxc （1） 證法只需證明 ( ) ( )( )Fxfxx 證明：證明：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 ( )( )( )FxF ux=( )( )f

4、 ux ( )fx( )x 。第一類換元積分法指出，求（1）式等號左端的不定積分，設(shè)( )xu則化為求不定積分( )f u du，若( )f u 存在原函數(shù)( )F u ，則( )f u du=( )F uc最后在將( )ux代入上式等號的左，右兩端，就得到所求的不定積分。 ( ) ( ) ( )fxx dxFxc 由于( )( )x dxdx，第一類換元積分法可表為( ) ( )( ) ( )( )( )xufxx dxfx dxf u du=( )( ) ( )uxF ucFxc ；第一類換元積分法的一般步驟：若某積分( )g x dx可化為 ( )( )fxx dx的形式，且( )f u

5、 du比較容易積分，那么可按下列方法和步驟來計(jì)算所給積分（1）湊微分：設(shè)法將積分 ( )g x dx變形為 ( )( )fxx dx的形式，從而可得： ( )g x dx= ( )( )fxx dx= ( )( )fx dx（2）作變量代換：作變量代換( )ux，則( )( )dux dxdx，從而將積分變?yōu)? )g x dx= ( )( )fxx dx=( )f u du 并計(jì)算該積分； （3）將變量回代：根據(jù)所作代換，用( )x替換積分結(jié)構(gòu)中的u，從而求得結(jié)構(gòu)得原積分的結(jié)果。即： ( )( ) ( )( )( )| ( )uxg x d xf u duF ucFxc 。注：顯然第一步是第一

6、類換元積分法的關(guān)鍵，第一類換元積分法叫做湊微分法。例例 1 1： 求不定積分 51(1)Ixdx 與 1002(1)Ixdx 解：解：用線性質(zhì)可直接求得13522221(1 510105)Ixxxxxdx=357232221105254337xxxxxxc 若用求1I的方法來計(jì)算2I ，顯然是不可想象的為此，可用第一類換元法來計(jì)算：1(1)2xx；10022(1)(1)Ixxx dx 1002 (1) 1(1)(1)xxdx1x u1002 (1)uudu = 1021012112()102101uuc102101212(1)(1)51101xxc 若用計(jì)算2I 的方法來計(jì)算1I應(yīng)得 7613

7、21(1)(1)73Ixxc；例例 2 2：求 2dxxpxq解：解：二次三項(xiàng)式2xpxq在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，所以設(shè)2xpxq有一對共軛復(fù)根iu，這時(shí)2xpxq22()24ppxq2()x+2u 其中2p 24puq對這一情形有222()dxdxxpxqxu=1arctanxcuu2212arctan44pxcppqq；1 12 2 第二類換元積分法第二類換元積分法定理定理 2 2：（第二類換元積分法） 若函數(shù)( )xt在 , 可導(dǎo)，( )atb，且( )0t 。函數(shù)( )f x 在 , a b 有定義，t , ，有( ) ( )( )G tftt 則函數(shù)( )f x 在 , a b 存在原函數(shù)

8、，且1( )( )f xGxc 。證明：證明：已知 ,t 有( )0t，則函數(shù)( )xt存在可導(dǎo)的反函數(shù)1( )tt由復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有1 ( )Gx1( ).( )G tx1( )( )( )fttt= ( )( )ftf x 。第二類換元積分法指出，求1( )( )f x dxGxc式等號左端的不定積分，設(shè)( )xt，則化為求不定積分 ( )( )fttdt。若 ( )( )ftt存在原函數(shù)( )G t，則 ( )( )( )ftt dtG tc最后將1( )tt代入上式等號右端，就得到所求的不定積分1( )( )f x dxGtc由于 ( )( )t dtdt 第二類換元積分

9、法可表為 ( )( ) ( )( )( )xtf x dxftt dtG tc1( )tx1( )Gxc；例例 3 3：求 22ax dx (0)a xa22ax解：解：利用三角變換去根式：令sinxat ()22t 則 cosdxatdt，arcsinxta； axa 根據(jù)公式 22222( ) ( )sin. cost dtftax dxaat atdt 222cos coscosattdtatdt =22(1 cos2 )(cos2)22aat dtdttdt =2221(sin2 )sin22224aaattcttc為把t回代成x的函數(shù)，根據(jù)sinxat作一輔助直角三角形如圖可知22c

10、osaxta 代入上式得22222arcsin22axxax dxaxca例例 4 4： 求11dxxx分析：分析：被和函數(shù)中有兩個不同的根號，作變換時(shí)應(yīng)考將兩個極號同時(shí)去掉或變成其它可積出來的情形 。解：解：令 221()2txt于是2211()2txt 22221 212tttdxdttt=4312tdtt從而有 11dxxx=422311.11 2122tdtttttt=4223321(1)(1)2222ttttdtdttttt=231111(1)2dtttt 2111(ln)22ttctt 因?yàn)?212txt，2112txt 所以1xxt 故得 11dxxx1221111ln(1)21

11、(1)xxxxxxxx+c=2xx1ln(1)2xx11(1)(1)22xxxxc解法解法 2 2：先作恒等變形有221111(1)( 1)dxxxdxxxxx=112xxdxx=1(2 x11221xx)dx=1122xxxdxx （1）令1xtx 于是21xtx ，211xt，222(1)tdxdtt 從而有1xdxx=222222222(1)1(1)tdtdtdtttt =21111ln()1211tdtttt=1ln1tt122221(1)12(1)dtdtdtttt=11111ln()21211tcttt=1ln21111()211111xxcxxxxxx=ln( 1)(1)xxxx

12、c （2）將（2）代入（1）得到1ln(1)2211dxxxxxxx12(1)xxc例例 5 5：求 22dtxa， 0a ，xa解法解法 1 1：令secxat，(0,)(, )22t，于是sec tandxattdt，222tantanxaatat 。其中當(dāng)(0,)2t時(shí)取正號，(, )2t時(shí)取負(fù)號。22sec tantandxattdtatxa=secln sectantdtttc 。當(dāng)2222lnlnxxacxxacaa ，xa當(dāng)2222lnlnxxacxxacaa ，xa 又因當(dāng) xa 時(shí)有222222222lnlnlnxaxxxaxaxxxa 222222lnlnlnaxxaaxx

13、a 所以對所有xa均有2222ln.dxxxacxa例例 6 6：求 11xdxx解：解：21111241111xxxxdxdxdxIxxx由于111xdxxtx令2122242222ln222ttdtdttcttt 1122 12ln12xxcx 2112411sec122xdxxx令231tansec1secsec23sec23secd218secsec3sec2sec3d 134tanln sectan223cos1d 2tan132tanln sectan4221 2tan2d 22 tan1132tanln sectan2ln222 tan12c 23211ln 212(1)2ln2

14、21xxxxxxxcxx 12122 112ln1212xxxIxxxxxx 32ln 2(1)21xxxc 12()ccc例例 7 7：試用多種方法求不定積分24dxxx 解法解法 1 1：相繼使用第一，第二換元積分法，得到2222121( )242112 ( )1dxdudxuxxx （令secut）1sec tan1ln sectan2tan2ttdtttct 2211ln1ln2224xuuccx 解法解法 2 2：由于12(2)2xdxxxx 因此又可令22xtx由此解出222(1)1txt，22421txt，228(1)tdxdtt并得到 22222221182(1)4(1)1tt

15、tdttdttttt 11122lnln21222txxcctxx21ln224xcx ；1 13 3 求三角函數(shù)求三角函數(shù)(sin ,cos )Rxx 的不定積分的不定積分(sin ,cos )Rxx dx 常常有多種方法，其中有一種是萬能的，盡管這種方法不是最簡便的。 設(shè)tan2xt ()x有2arctanxt 221dxdtt22222sincos2tan2222sin1sincos1tan222xxxtxxxxt22222222cossin1tan1222cos1cossin1tan222xxxtxxxxt有 2222212(sin ,cos )(,)111ttRxx dxRdtttt

16、顯然，上式等號右端的被積函數(shù)是有理函數(shù)，因此三角函數(shù)(sin ,cos )Rxx 存在被等函數(shù)的原函數(shù)。煥元tan2xt。稱為關(guān)于(sin ,cos )Rxx 的萬能換元。例例 8 8：求2211 2 cosrdxrxr (01,)rx解：設(shè)tan2xt有2arctanxt 221dxdtt，221cos1txt 222222211211 2 cos11 21rrdxdttrxrtrrt2222222(1)2(1)1(1)(1)1()1rrdtdtrrrtrtr 112arctan2arctan(tan)112rrxtccrr在某些特殊情形下，要會選擇更方面的變量替換。例如：(1) ( sin

17、 ,cos )(sin ,cos )RxxRxx 可令costx。(2) (sin , cos )(sin ,cos )RxxRxx 可令sintx。(3) ( sin , cos )(sin ,cos )RxxRxx可令tantx。例例 9 9：求44cos2sincosxdxxx解：解：本題屬上述特殊情形（3）令tantx則有222444cossin1tan(tan )sincostan1xxxdxdxxxx2242211111ttdtdtttt21()1()2ttdttt 1()utt令22duu =111()2 222duuu=12ln2 22ucu=221sec2 tanln2 2s

18、ec2 tanxxcxx ；總結(jié) 此論文中主要介紹解不定積分過程中有難易程度的有些問題所利用的一種方法換元積分法，其主要形式有兩種，第一類換元法和第二類換元法和它們之間的關(guān)系。還有介紹求三角函數(shù)不定積分的一種方法萬能換原法。通過利用這些方法解決了計(jì)算不定積分過程所遇到的故障。參考文獻(xiàn)1 劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義（上）M . 北京高等教育出版社，2003: 291316.2 李成章. 數(shù)學(xué)分析（上）M. 北京科學(xué)出版社，1999.5: 208 . 3劉勇 . 數(shù)學(xué)分析新講M. 北京大學(xué)出版社，1990： 210.4 趙顯曾. 數(shù)學(xué)分析的方法與題解M. 陜西師范大學(xué)出版社，2005： 246.5 吳良森. 數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書上冊M. 北京高等教育出版，2008： 231.6 吳良森. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解M. 北京科學(xué)出版社