可測函數(shù)及其性質(zhì)(最新版)

1、第四章 可測函數(shù)四. 可測函數(shù)與零集的關(guān)系, aR E fa 定義1：設(shè)f(x)是可測集E上的實(shí)函數(shù)(可取 )，若 可測，則稱f(x)是E上的可測函數(shù)m 設(shè) E=0. aR,EfaE,所以Efa也為零測度集，故是可測集 s1fE f xf xEiiiiEEE 若 的定義域 可分為有限個(gè)互不相交的可測集，在每個(gè)上取常值c，則稱是 上的簡單函數(shù)。)()(1xcxfiEniiiiiExEExEx10)(注：0,1上的Dirichlet函數(shù)是簡單函數(shù)。| )()(|, 0, 000 xfxfxx時(shí)，有當(dāng)即對比：設(shè)f(x)為(a,b)上有限實(shí)函數(shù)，0( )( , )f xxa b在處連續(xù))()(lim0

2、0 xfxfxx若000,0,( (, )( (), )f U xU f x即使得000,0,(, )( )( (), )xU xf xU f x即當(dāng)時(shí)，有000,0,(,)( (), )f U xEU f x若使得）Ex 0設(shè)f(x)為E上有限實(shí)函數(shù)，稱f(x) 在 處連續(xù). , 上連續(xù)在則稱上每一點(diǎn)都連續(xù)在若EfEf( ),0,xf xa對s.t.證明：任取xEfa, 則f(x)a,由連續(xù)性假設(shè)知，( ,xx E faGU x令）則G為開集，為可測集，且 (,)()xfafaxxEEO EG E 所 以反 之( ( ,)( ( ), )( ,)xf U xEU f xa）( ,xU xEE

3、 fa即），E faGE故為可測集( ,)( ( ,)xx E faxx E faGEU xEU xEE fa=( ,)xx E faGU xGE fa反之，,E faGE faGE(1), aR E fa 可測(2), aR E fa 可測(3), aR E fa 可測(4), (|( )|)a bR ab E afbf x可測 充分性要求證明：定理1 設(shè)f(x)是可測集E上的實(shí)函數(shù)，下列任一條件都是f(x)在E上可測的充要條件=E faE E faE faE E fa或者 （1）和（2）等價(jià)fE faE faE E fa是可測函數(shù)是可測集f 是可測函數(shù)和（3）等價(jià)11nEfaEfan1f

4、( )(1)xEfanEfa是 可 測 函 數(shù)是 可 測 集是 可 測 集成 立11nE faE fan (1)f( ) x條件和是可測函數(shù)等價(jià)。1|( ) |nE afbE faE fbfxE faE afan 當(dāng)，1(1)f( )E faE fanx當(dāng)成立時(shí)，得是可測集，從而也是可測集是可測函數(shù)111siiE faE faEE faE fa 定理1: 可測函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)i1siEEl反之，若 , f(x) 在En上是可測函數(shù)，則f(x)在E上也是可測函數(shù)。11,EEE l即:若f(x)是E上的可測函數(shù), 可測，則f(x) 在E1上也是可測函數(shù)； E,ggfgff引理：設(shè)與為 上的

5、可測函數(shù) 則E與E都是可測集。=f0,（1）當(dāng)0時(shí)，常值函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，故是可測函數(shù)；/,/EfcE fcE fcEfcf 當(dāng)0時(shí)， cR,而是可測集，所以是可測集，因此是可測函數(shù)。同理可證0時(shí)成立。( ),f xb baRE fgaE bgaE gabE fgafggb (2)先設(shè)為某一有限實(shí)數(shù)，故是可測集，所以是可測函數(shù)。,- + ,aR E fgaE fg a 一般情況，- +- + gg aEE fg aE fgafgE由（1）知是可測函數(shù)，所以也是上的可測函數(shù)。由引理可知，是可測集，即是可測集，因此是上的可測函數(shù)。01/,01/0,001/,0E fE faaEfaE fE faE

6、 fE faa (3)222,faRE faE faE faE fa (4)先證是可測函數(shù)。（0）所以是可測集。22222a,1g(g)(g) ,g4R E faEE fafffff（0）所以是可測集，因此是可測函數(shù)。所以也是可測函數(shù)。,0| |,0E faE faaE faE a （5）( )sup( )( )inf( )lim( )inf sup( )lim ( )supinf( )nnnmnnm nnmnm nnxf xxf xf xfxf xfx即若fn(x)是E上的可測函數(shù),則下列函數(shù)仍為E上的可測函數(shù)。從而f (x)是一列連續(xù)函數(shù)（當(dāng)然是可測函數(shù)）的極限，故f (x)是可測函數(shù).n

7、nnoxxfxfxxfxxfxf11)()(lim)()(lim)( 證明：由于gn(x)limlimnnnnEfflimlimnnnnEff證明：發(fā)散點(diǎn)全體為 收斂點(diǎn)全體為limlimnnnnff在利用和是可測函數(shù)即可再 , 0, , , . .EMEmME MEaeE設(shè)是一個(gè)與集合 中點(diǎn)有關(guān)的命題如果存在且使得在上恒成立 則稱在 上幾乎處處成立記作于四. 可測函數(shù)與零集的關(guān)系例1：Reax . |tan|于.1 , 0 . 0)( 1 , 0于上的狄利克雷函數(shù)eaxD例2：注：在一零測度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測性證明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g ，則m E1=0從而 g(x)在E1上可測 ，定理： 設(shè)f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可測，則g(x)在E上也可測 另外f(x)在E2上可測，從而 g(