幾何中線段的最值問題

1、幾何中線段的最值問題一、一條線段的最值問題一(1)借助旋轉求最值2013通州一模24 .已知：AD=2,BD=4,以AB為一邊作等邊三角形ABC.使C、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖，當/ADB=60時，求AB及CD的長；(2)當/ADB變化，且其它條件不變時，求CD的最大值，及相應/ADB的大小.2011豐臺一模25 .已知：在4AB價，BC=a,AC=b以A斯邊作等邊三角形ABD.探究下列問題：(1)如圖1,當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3,且/ACB=60，則CD=(2)如圖2,當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6,且/ACB=90，則CD=(3)如圖3,當/A

2、CB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側時，求CD的最大值及相應的/ACB的度數(shù).圖1圖2圖3(2)借助直角三角形性質求最值(1) 勾股定理(2) 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半(3) 直角三角形斜邊的兩條重要的線段，一是斜邊上的高，另一個是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的高是直角頂點到斜邊上所有點之中距離最短的，其長度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得.【例1】如圖，在AABC中，/C=90°,AC=2,BC=1,點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是【例2】如圖，ZXABC是邊長為定值m的正三角形, 在x軸上。求出

3、AC邊上的高線BD的長度； 當點C在y軸的正半軸滑動時，試求出點 已知點P是4ABC內(nèi)切圓的圓心，請求出C點與原點重合，點B在第一象限點，點A。到CA距離的最大值；OP的最大值。.點D在邊AC上(不與A, C重合)，連結BD ,設CF =kEF ,貝U k =;點共線，點F仍為BD中點，如圖22011海淀一模25.在RtABC中，/ACB=90°,tan/BAC=12F為BD中點.(1)若過點D作DELAB于E,連結CF、EF、CE,如圖1.(2)若將圖1中的ADE繞點A旋轉，使得D、E、B所示.求證：BE-DE=2CF;若BC=6,點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點

4、F始終為BD中點,求線段CF長度的最大值.2010海淀一模圖1圖2備圖25.已知：zAOB 中，AB=OB=2, zCOD 中,CD=OC =3,/ABO=/DCO .連接 AD、BC ,點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點.BA(1)如圖1,若A、O、C三點在同一直線上，且/ABO=60,則4PMN的形狀是2此時ADBCAD(2)如圖2,若A、0、C二點在同一直線上，且/ABO=2£,證明PMNs/XBAO,并計算CdBC的值(用含a的式子表示)；(3)在圖2中，固定AAOB,將ACOD繞點0旋轉，直接寫出PM的最大值.28.正方形ABCD的邊長為3,點E,F分別在射線DC,D

5、A上運動，且DE=DF.連接BF,作EHLBF所在直線于點H,連接CH.(1)如圖1,若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關系是;(2)如圖2,當點E在DC邊上且不是DC的中點時，(1)中的結論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；(3)如圖3,當點E,F分別在射線DC,DA上運動時，連接DH,過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K,連接CK,D(3)與圓相關2014燕山24.如圖1,已知AABC是等腰直角三角形，NBAC=90:S，點D是BC的中點.作正方形DEFG,使點A、C分別在DG和DE上，連接AE,BG.(1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關系是;(2)將正方形DEFG繞點

6、D逆時針方向旋轉«(0°<«<360),判斷(1)中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；若BC=DE=4,當AE取最大值時，求AF的值.圖1圖2+2013昌平一模24.在ABC中，AB=4,BC=6,/ACB=30°,將ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到A1BC1.(1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時，求/CC1A1的度數(shù)；(2)如圖2,連接AA1，CC1,若CBC1的面積為3,求ABA1的面積；(3)如圖3,點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中,點P的對應點是點P1,直接寫出線段

7、EP1長度的最大值與最小值.圖32015房山一模28.如圖1,已知線段BC=2,點B關于直線AC的對稱點是點D,點E為射線CA上一點，且ED=BD,連接DE,BE.(1)依題意補全圖1,并證明：4BDE為等邊三角形；(2)若/ACB=45。，點C關于直線BD的對稱點為點F,連接FD、FB.將4CDE繞點D順時針旋轉a、一一.一一II.,._度(0。VaV360。)得到CDE,點E的對應點為E',點C的對應點為點C'.如圖2,當0=30時，連接BC.證明：EF=BC;如圖3,點M為DC中點，點P為線段CE上的任意一點，試探究：在此旋轉過程中，線段PM長度的取值范圍？3.如圖25-

8、1,已知ABC是等腰直角三角形，/BAC=90，點D是BC的中點.作正方形DEFG,使點A、C分別在DG和DE上，連接AE,BG.(1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關系，請直接寫出你得到的結論.360° )，如圖 25-2 , 請說明理由.(2)將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后(旋轉角度大于0，小于或等于通過觀察或測量等方法判斷(1)中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立,F(3)若BC=DE=2,在25-2的旋轉過程中，當AE為最大值時，求AF的值.11.以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作AOBF口ACOD其中/AB3/DCO30。.

9、(1)點E、F、M分別是ACCDDB的中點，連接FMEM如圖1,當點DC分別在AOBO的延長線上時，£M=;EM如圖2,將圖1中的4AO選點O沿順時針方向旋轉口角(0°<«<60：),其他條件不變，判斷FM的值是否發(fā)生變化，并對你的結論進行證明；EM(2)如圖3,若BG36，點N在線段OD上，且NG2.點P是線段AB上的一個動點，在將4AO瞰點O旋轉的過程中，線段PN長度的最小值為,最大值為.(4)其他2011海淀一模224 .已知平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax(a+1)x與直線y=kx的一個公共點為A(4,8).(1)求此拋物線和直線的解析式

10、;(2)若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點 Q,求線段PQ長度的最大值;(3)記（1）中拋物線的頂點為 M,點N在此拋物線上，若四邊形 AOMN恰好是梯形，求點 N的坐標及梯形AOMN的面積.y*y+（備圖1)*-x（備圖2）朝陽25 .如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax+4的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C, /CBO的正切值是2.求此二次函數(shù)的解析式.（2）動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點A順時針旋轉，與直線AB重合時終止運動，直線l與BC交于點D,P是線段AD的中點.直接寫出點P所經(jīng)過的路線長.點D與B、C不重合時，過點D作DEXAC于點E、作DFX

11、AB于點F,連接PE、PF,在旋轉過程中，/EPF的大小是否發(fā)生變化？若不變，求/EPF的度數(shù)；若變化，請說明理由.在的條件下，連接EF,求EF的最小值.二、多線段的最值問題2013一模22海證25.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x-2mx+m+m的頂點為C.(1)求點C的坐標(用含m的代數(shù)式表示)；(2)直線y=x+2與拋物線交于A、B兩點，點A在拋物線的稱軸左側.若P為直線OC上一動點，求APB的面積；拋物線的對稱軸與直線AB交于點M,作點B關于直線MC的對稱點B'.以M為圓心，MC為半徑的圓上存在一點Q,使得QB'+JQB的值最小，則這個最小值為22012朝陽二模2

12、25.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax+bx+4經(jīng)過A(3,0)、B(4,0)兩點，且與y軸交于點C,點D在x軸的負半軸上，且BD=BC,有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動.(1)求該拋物線的解析式；(2)若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；(3)該拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MA的值最小？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.y5-4'3-2-2012東城一模3225.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+bx+c的圖象與x軸交于A(-

13、1,0)、B(3,0)兩點,2頂點為C.(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)點D為點C關于x軸的對稱點，過點A作直線l:y=43x+，3交BD于點E,過點B作直線BK/AD33交直線l于K點.問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P,使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；在(2)的條件下，若M、N分別為直線AD和直線l上的兩個動點，連結DN、NM、MK,求2012海淀二模24 .如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=2x2-2x與x軸負半軸交于點A,頂點為B,且對稱軸與x軸交m于點C.(1)求點B的坐標(用含m的代數(shù)式表示)；(2) D為BO中點

14、，直線AD交y軸于E,若點E的坐標為(0,2),求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點M在直線BO上，且使得AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐備用圖2010海淀二模25 .如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為(0,2)，點D在x軸的正半軸上，/ODB=30-OE為BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y=ax2十立x+c與x軸相交于A、F兩點(A在F的左側).6(1)求拋物線的解析式；(2)等邊OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；(3)點P為ABO內(nèi)的一個動點，設m=PA+PB+PO,請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長.2012豐臺一模25.已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點P(2,J3)為圓心的圓與y軸相切于點A,與x軸相交于B、C兩點(點B在點C的左邊).(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；1,(2)在(1)中的拋物線上是否存在點M,使MBP的面積是菱形ABCP面積的一.如果2存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；如果若不存在，請說明理由;(3)如果一個動點D自點P出發(fā)，先到達y軸上的某點，再到達x軸上某點，最后運動到(1)中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長.25.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+