微積分上知識點概括

1、知識點1. 定義域：偶次根式內(nèi)的式三0反三角函數(shù)的對應式的絕對值三1幕函數(shù)的幕旳指數(shù)函數(shù)的底0且工1對數(shù)函數(shù)的底0且工12. 幾個常用字母表示：總成本：C總收益：RL (x) =R (x) -C (x)總利潤：L J需求量：Qd供給量：Qs3. 夾逼準則4. 無窮小量：極限為零的變量設a,B是統(tǒng)一變化過程中的兩個無窮小量。如果lim = =0，則稱a是B的高階無窮小量，記作a=O( 0。如果lim二二0 ( C為常數(shù))，則稱a與0是同階無窮小量，特別,當C=1時，稱a與0是等價無窮小量，記作a 0。如果lim二=:，則稱a是0的低階無窮小量 常見等價無窮小量：當 xt 0 時,sinxx ,

2、tanxx , arcsinxx , ex-1 x ,2Xxn 1 x -1, 1-cosx , In (1+x) xn25. 求極限：共軛因子法：求極限煥亍 換元必須換極限過程:當a O,b0 = 0,m和n為非負整數(shù)時有a。當n二m時X > :n 丄n1a0xaqXmm -1b)xRxanb?0,當n ” m時,當n m時無窮多個無窮小的和未必是無窮小6兩個重要極限：lim沁=1xj x lim （1 -）x =e（1：:未定式）Xx7函數(shù)y=f（x）在點X。連續(xù)的條件： 函數(shù)y=f（ x）在點X。有定義 lim f （ x）存在 lim f（ x） =f （ Xo）xo連續(xù)=左連續(xù)

3、+右連續(xù)8間斷點：第一類間斷點：（左、右極限皆存在） 可去間斷點：左、右極限皆存在且相等 跳躍間斷點：左、右極限皆存在但不相等第二類間斷點：（左、右極限至少一個不存在） 無窮間斷點：極限為乂者 振蕩間斷點：函數(shù)f(x)二cos(1/x)或f(x)=sin(1/x)在x=0處無定義，且當x趨向于0時，對應的函數(shù)值在-1和1之間變動無數(shù)次，所以x=0 稱為 f(x)= cos(1/x)或 f(x)=sin(1/x)的“振蕩間斷點”。9閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理、介值定理、零點定理10. OO 分為 + OO 和 -Oiif (x) = ylim0(X。)Xdyx=x0=lim=Xr X0X=

4、Xof ( X ) -f (x0)X-X0(x)X=Xo12. 不連續(xù)一定不可導，連續(xù)也不一定可導13. 可導的奇(偶)函數(shù)的導數(shù)是偶(奇)函數(shù)14. 微分 dy=df (x) = f ( x) dx15. 邊際成本C (x)的經(jīng)濟意義：近似等于產(chǎn)量為x時再生產(chǎn)一個單位 產(chǎn)品所需要增加的成本邊際收益R (x)的經(jīng)濟意義：近似等于產(chǎn)量為X時再生產(chǎn)一個單位產(chǎn) 品所增加(或減少)的收益邊際利潤L (x)的經(jīng)濟意義：近似等于產(chǎn)量為 X時再生產(chǎn)一個單位產(chǎn) 品所增加(或減少)的利潤函數(shù)的彈性：Ey表示當自變量在點X=X0處變化1%時，f ( X )Ex y近似地變化 旦，記作：Ex=-1時，稱為單位彈性，

5、此時價格與需求變動的幅度相同； V-1時，稱為高彈性，此時需求的幅度大于價格變動的幅度，即此時價格上漲(或下跌)1%時，需求將減少(或增加)FI % -1V V 0 ,稱為低彈性，此時需求的幅度小于價格變動的幅度， 即 此時價格上漲(或下跌)1%時，需求將減少(或增加)r I %16. 羅爾定理：設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間【a, b】上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，且f (a) =f (b)，則在(a, b)內(nèi)至少存在一點 ，使 得 f ( ) =0拉格朗日中值定理：若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間【a, b】上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，則在(a, b)內(nèi)存在一點,使得f ( ) f (b)

6、-f (a)b-a柯西中值定理：若函數(shù)f (x)與g (x)在閉區(qū)間【a, b】上連續(xù)在 開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，且g' (x)在(a, b)內(nèi)恒不為零，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點霜使得尹)冊豈洛必達法則：0 (二)型未定式，分子、分母分別求導 0旳0 . 0 00 :，: - ： ,0 ,1 ，:-(或一)0比17函數(shù)導數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點可導函數(shù)的極值點必為駐點，不可導點也可能是極值點>0凹18. 凹凸性判斷：f(x) n =i<0凸19. 漸近線：水平漸近線：對于函數(shù)y=f ( x ),若lim f (x) A或lim f (x) = A，其中A為有限數(shù)，X

7、r =Xr-：則稱y = A為曲線二f (x)的水平漸近線對于函數(shù)y=f (x),若lim f (x廠，im f (x廠-,X- XoX-Xolim f (x) = +,m f (x)=-之一成立x > x0x > x0則稱x = x0為曲線y = f (x)的一條豎直漸近線f (x)a= limA (0)斜漸近線:xi xb= lim 'f (x) - ax1XT旳sinx, cosx,1 1cscx , secx 二sinxcosx20. 三角函數(shù)：丄 1 cosx 丄sinxcot， tanx 二tanx sinxcosx21. 偶次降次，奇次分一個因子湊微分22.

8、第二換元積分法："X2：令X=a"int (t<n)、x2 a2 :令x =a *tant (t< n)2fL冗廠2人丄小丨丄 n . x>a, t匕(0,)vx -a :令x = asect (0< t<)22、x< -a,令x=-4，轉(zhuǎn)化為 x>a23. 含需處十b,（九,a, bO）的積分，令翠a*MX+b=t24. 分部積分法：反對幕指三（三指），前面的取為J，后面的湊成dv基本三角公式2 2 2 2sin ： cos =1,1 tan：二sec：1 cob 二 cscsin2二=2sin ： cos：22cos2二=cos

9、 ： -sin :=1 - 2sin2:-2= 2cos 1-2sin2:21 -cos2：21 cos2：2r21cos2： - 2sin1 cos2： =2 cos2 :sin： sin2sin 2a - Pcos 2sin :-sin := 2cossin2-P2cos2 :Ra + P a - Pcos： cos ：二 2coscos 2 2r,a + P a - Pcoscos： = -2sinsin 2 2sin ： cos1 = - sin(a + P )+sin(a - P-亠；i sin :-2 -cos： cos :二1 cos(a + P )+coS(a _ P )sin

10、 ： sin :=-2 Cos(a + P )-cos(a _ P »cos。sin P =舟 sin(基本初等函數(shù)求導公式(1)(C) =0(2)L）八(sin x) = cosx(4)(cosx) - -sin x(5)(tan x)二 sec2 x(6)(cot x)二-csc2 X(secx) = secxta n x(8)(cscx) = -cscx(9)(ax)二 ax In a(10)(ex) =ex(11)1(log a x)xln a(12)十1(ln x)x 1(arcsinx)(arccosx) (13)yQI wOI 1 1 A. J *-x2(14)V Cl

11、 1 wwwOzvJ(arcta n x)1 +xG 廠F (15)(16)'clIL/L/Ul 入丿一11cotx1 x21 -X2函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設u丸(x)，八v(x)都可導，則(1)(u _ V)二 u _v(2)(Cu) - Cu( C 是常數(shù))(uv)二 u v uv(4)uu v - uvv _ v2反函數(shù)求導法則若函數(shù)x = "y)在某區(qū)間Iy內(nèi)可導、單調(diào)且Xy)T，則它的反函 數(shù)y = f(x)在對應區(qū)間lx內(nèi)也可導，且dy =丄1dx dxf (x) ®(y) 或dy復合函數(shù)求導法則設y =f(u)，而u = :(x)且f(u)及

12、I都可導，則復合函數(shù) 廠f(x) 的導數(shù)為dy dy dudxdu dx 或 y"= f "(u)中"(x)(2) x dx基本積分公式(1) kdx = kx C , dx = x C(5) exdx 二 ex C(6) cosxdx =sinx 亠C(7) sin xdx - -cosx C2sec xdx =tanx 亠C csc xdx - -cotx 亠C(10) secx tanxdx =secx C(11) cscxcotxdx = -cscx C(12) J 嚴=arcsinx+C-x2(13) 二 arctanx C1 +x(14)*lna -x2aa xa xdx-22x -a1 ln 2ax ax adx1x(15) f =一arctan_+C'a +xaa(16) J dx = arcsin - +C Ja2x2a(17) Jtan xdx = -ln cosx +C(18) Jcot xdx = In sin x + C(19) Jsecxdx= In secx+tanx +C(20) Jcscxdx = ln cscx cot x +C(21) 一x2=a2=ln x +