202X202X學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1.2用二分法求方程的近似解課件新人教A版必修1 (3)

1、3.1.23.1.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航 課標(biāo)要求課標(biāo)要求1.1.理解二分法求解方程的近似解的原理和步驟理解二分法求解方程的近似解的原理和步驟. .2.2.能夠根據(jù)具體的函數(shù)能夠根據(jù)具體的函數(shù), ,借助學(xué)習(xí)工具借助學(xué)習(xí)工具, ,用二分法求方程用二分法求方程的近似解的近似解. .3.3.知道二分法是求方程近似解的一種常用方法知道二分法是求方程近似解的一種常用方法, ,體會(huì)體會(huì)“逐逐步逼近步逼近”的思想的思想. .素養(yǎng)達(dá)成素養(yǎng)達(dá)成1.1.通過(guò)二分法求解方程的近似值的過(guò)程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與通過(guò)二分法求解方程的近似值的過(guò)程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的

2、核心素養(yǎng). .2.2.通過(guò)二分法的程序化解決問(wèn)題的思想通過(guò)二分法的程序化解決問(wèn)題的思想, ,培養(yǎng)邏輯推理的培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)核心素養(yǎng). .新知導(dǎo)學(xué)新知導(dǎo)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)養(yǎng)成1.1.二分法的定義二分法的定義對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間a,ba,b上上 且且 的函數(shù)的函數(shù)y=f(x),y=f(x),通過(guò)不通過(guò)不斷地把函數(shù)斷地把函數(shù)f(x)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的零點(diǎn)所在的區(qū)間 , ,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近逼近 , ,進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法. .連續(xù)不斷連續(xù)不斷f(a)f(b)0f(a)f(b)0一分為二一分為二零點(diǎn)零點(diǎn)思考思考: :假

3、設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在定義域內(nèi)有零點(diǎn)在定義域內(nèi)有零點(diǎn), ,該零點(diǎn)是否一定能用二分法求該零點(diǎn)是否一定能用二分法求解解? ?答案答案: :二分法只適用于函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)二分法只適用于函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)( (即函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)相反即函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)相反),),因因此函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)的零點(diǎn)不能用二分法求解此函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)的零點(diǎn)不能用二分法求解, ,如如f(x)=(x-1)f(x)=(x-1)2 2的零點(diǎn)的零點(diǎn)就不能用二分法求解就不能用二分法求解. .給定準(zhǔn)確度給定準(zhǔn)確度,用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下零點(diǎn)近似值的步驟如下: :(1)(1)確定區(qū)間

4、確定區(qū)間a,b,a,b,驗(yàn)證驗(yàn)證 , ,給定準(zhǔn)確度給定準(zhǔn)確度.(2)(2)求區(qū)間求區(qū)間(a,b)(a,b)的中點(diǎn)的中點(diǎn)c.c.(3)(3)計(jì)算計(jì)算f(c):f(c):假設(shè)假設(shè)f(c)=0,f(c)=0,那么那么c c就是函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn); ;假設(shè)假設(shè)f(a)f(c)0,f(a)f(c)0,那么令那么令b=c(b=c(此時(shí)零點(diǎn)此時(shí)零點(diǎn)x0 );x0 );假設(shè)假設(shè)f(c)f(b)0,f(c)f(b)0,那么令那么令a=c(a=c(此時(shí)零點(diǎn)此時(shí)零點(diǎn)x0 ).x0 ).(4)(4)判斷是否到達(dá)準(zhǔn)確度判斷是否到達(dá)準(zhǔn)確度:即假設(shè)即假設(shè) , ,那么得到零點(diǎn)近似值那么得到零點(diǎn)近似值a(a(或或b);b

5、);否那么重復(fù)否那么重復(fù)(2)(2)(4).(4).f(a)f(b)0f(a)f(b)0(a,c)(a,c)(c,b)(c,b)|a-b|a-b|名師點(diǎn)津名師點(diǎn)津(1)(1)變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)假設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)變號(hào)假設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)變號(hào), ,這樣的零點(diǎn)叫做變號(hào)零點(diǎn)這樣的零點(diǎn)叫做變號(hào)零點(diǎn)( (圖圖(1)(1)中中,x0,x1,x2,x0,x1,x2都是變號(hào)零點(diǎn)都是變號(hào)零點(diǎn)););假設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)不變號(hào)假設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)不變號(hào), ,這樣的零這樣的零點(diǎn)叫做不變號(hào)零點(diǎn)點(diǎn)叫做不變號(hào)零點(diǎn). .如圖如圖(2)(2)中中, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2y=x2有一個(gè)不變號(hào)零點(diǎn)有一個(gè)不變號(hào)

6、零點(diǎn)( (或或叫二重零點(diǎn)叫二重零點(diǎn)).).(2)“(2)“準(zhǔn)確度與準(zhǔn)確度與“準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度: :近似數(shù)的誤差不超過(guò)某個(gè)數(shù)近似數(shù)的誤差不超過(guò)某個(gè)數(shù), ,就說(shuō)它的準(zhǔn)確度是多少就說(shuō)它的準(zhǔn)確度是多少, ,即設(shè)即設(shè)x x為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值,x,x為為x x的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值, ,假設(shè)假設(shè)|x-x|,|x-x|,那么那么xx是準(zhǔn)確度為是準(zhǔn)確度為的的x x的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值, ,準(zhǔn)確度簡(jiǎn)稱(chēng)精度準(zhǔn)確度簡(jiǎn)稱(chēng)精度. .用二分法求方程的近似解時(shí)用二分法求方程的近似解時(shí), ,只只要根的存在區(qū)間要根的存在區(qū)間(a,b)(a,b)滿(mǎn)足滿(mǎn)足|a-b|,|a-b|,兩端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)均兩端點(diǎn)或區(qū)間

7、內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)均可作為方程的近似解可作為方程的近似解. .準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到: :按四舍五入的原那么得到準(zhǔn)確值按四舍五入的原那么得到準(zhǔn)確值x x的前幾位近似值的前幾位近似值x,xx,x的最后一位有效數(shù)字在某一數(shù)位的最后一位有效數(shù)字在某一數(shù)位, ,就說(shuō)準(zhǔn)確到某一數(shù)位就說(shuō)準(zhǔn)確到某一數(shù)位. .如如:=:=3.141 592 6, 3.141 592 6, 假設(shè)取假設(shè)取3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字, ,那么那么x=3.14,x=3.14,準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到0.01(0.01(即即百分位百分位););假設(shè)取假設(shè)取5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字, ,那么那么x=3.141 6,x=3.141 6,準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到0.000 1

8、(0.000 1(即即萬(wàn)分位萬(wàn)分位).).課堂探究課堂探究素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升題型一二分法概念的理解題型一二分法概念的理解 例例1 (1)1 (1)以下函數(shù)圖象與以下函數(shù)圖象與x x軸均有交點(diǎn)軸均有交點(diǎn), ,其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是近似值的是( () )解析解析:(1):(1)能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù), ,在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反號(hào)相反, ,圖象要穿過(guò)圖象要穿過(guò)x x軸軸,B,B圖象不穿過(guò)圖象不穿過(guò)x x軸軸. .應(yīng)選應(yīng)選B.B.解析解析:(2):(2)因?yàn)榈谝淮嗡〉膮^(qū)間是因?yàn)榈谝淮嗡〉膮^(qū)間是-

9、2,4,-2,4,所以第二次所取的區(qū)間可能所以第二次所取的區(qū)間可能是是-2,1,1,4,-2,1,1,4,第三次所取的區(qū)間可能為第三次所取的區(qū)間可能為-2,-0.5,-0.5,1,1, -2,-0.5,-0.5,1,1, 2.5,2.5,4,2.5,2.5,4,應(yīng)選應(yīng)選D.D.(2)(2)在用二分法求函數(shù)在用二分法求函數(shù)f(x)f(x)零點(diǎn)近似值時(shí)零點(diǎn)近似值時(shí), ,第一次取的區(qū)間是第一次取的區(qū)間是-2,4,-2,4,那那么第三次所取的區(qū)間可能是么第三次所取的區(qū)間可能是( () )(A)1,4(A)1,4(B)-2,1(B)-2,1(C)-2,2.5(C)-2,2.5(D)-0.5,1(D)-0

10、.5,1方法技巧方法技巧(1)(1)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用, ,即條件即條件f(a)f(b)0f(a)f(b)0是必不可少的是必不可少的, ,對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用. .(2)(2)使用二分法確定零點(diǎn)所在區(qū)間的原那么是取與區(qū)間端點(diǎn)的值異號(hào)使用二分法確定零點(diǎn)所在區(qū)間的原那么是取與區(qū)間端點(diǎn)的值異號(hào)的區(qū)間中點(diǎn)的區(qū)間中點(diǎn). .即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練1-1:(1)(20211-1:(1)(2021湖南岳陽(yáng)一中階段檢測(cè)湖南岳陽(yáng)一中階段檢測(cè)) )用二分法求如下圖的用二分法求如下圖的圖象所表示的函數(shù)圖象所

11、表示的函數(shù)f(x)f(x)的零點(diǎn)時(shí)的零點(diǎn)時(shí), ,不可能求出的零點(diǎn)是不可能求出的零點(diǎn)是( () )(A)x1(A)x1(B)x2(B)x2(C)x3(C)x3(D)x4(D)x4解析解析:(1):(1)觀察題中圖象可知觀察題中圖象可知,x3,x3附近兩邊的函數(shù)值都為負(fù)值附近兩邊的函數(shù)值都為負(fù)值, ,所以所以x3x3不不能用二分法求得能用二分法求得, ,應(yīng)選應(yīng)選C.C.答案答案: :(1)C(1)C(2)(2)某同學(xué)在借助計(jì)算器求某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程方程lg x=2-xlg x=2-x的近似解的近似解( (準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度0.1)0.1)時(shí)時(shí), ,設(shè)設(shè)f(x)=lg x+x-2,f(x)=lg

12、x+x-2,算得算得f(1)0.f(1)0.在以下過(guò)程中在以下過(guò)程中, ,使用使用“二分法二分法又取了又取了4 4個(gè)個(gè)x x的值的值, ,計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù), ,并得出判斷并得出判斷: :方程的近似解為方程的近似解為x=1.8,x=1.8,那么他所取的那么他所取的x x的的4 4個(gè)值中最后一個(gè)值是個(gè)值中最后一個(gè)值是. .答案答案: :( (2)1.812 52)1.812 5 備用例備用例1 (1)1 (1)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)=x2-4x+tf(x)=x2-4x+t存在零點(diǎn)存在零點(diǎn), ,但不能用二分法求解但不能用二分法求解, ,那那么么t=t=. . (2)(2)函

13、數(shù)函數(shù)f(x)=x3-2x-5,f(2.5)0,f(x)=x3-2x-5,f(2.5)0,用二分法求方程用二分法求方程x3-2x-5=0 x3-2x-5=0在區(qū)間在區(qū)間(2,3)(2,3)內(nèi)的實(shí)根內(nèi)的實(shí)根, ,取區(qū)間中點(diǎn)為取區(qū)間中點(diǎn)為x0=2.5,x0=2.5,那么下一個(gè)有根的區(qū)間是那么下一個(gè)有根的區(qū)間是. .解析解析:(1):(1)由題意知函數(shù)由題意知函數(shù)f(x)=x2-4x+tf(x)=x2-4x+t與與x x軸只有一個(gè)交點(diǎn)軸只有一個(gè)交點(diǎn), ,故故=16-4t=0,=16-4t=0,那么那么t=4.t=4.(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(2)=23-2f(2)=23-22-5=-10,2-5=-1

14、0,f(3)=33-2f(2.5)0,f(3)=33-23-5=160,3-5=160,所以所以f(2)f(2.5)0,f(2)f(2.5)0,所以方程所以方程x3-2x-5=0 x3-2x-5=0在在(2,2.5)(2,2.5)內(nèi)有實(shí)根內(nèi)有實(shí)根. .答案答案:(1)4:(1)4(2)(2,2.5)(2)(2,2.5)題型二二分法的步驟題型二二分法的步驟 例例2 2 用二分法求方程用二分法求方程f(x)=0f(x)=0在在0,40,4上的近似解時(shí)上的近似解時(shí), ,最多經(jīng)過(guò)最多經(jīng)過(guò)次計(jì)算準(zhǔn)確度可以到達(dá)次計(jì)算準(zhǔn)確度可以到達(dá)0.001. 0.001. 答案答案: :1212方法技巧方法技巧即時(shí)訓(xùn)練即

15、時(shí)訓(xùn)練2-1:2-1:假設(shè)用二分法求函數(shù)假設(shè)用二分法求函數(shù)f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí), ,準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度為為0.001,0.001,那么完畢計(jì)算的條件是那么完畢計(jì)算的條件是. .題型三用二分法求方程的近似解題型三用二分法求方程的近似解 例例3 3 用二分法求方程用二分法求方程x3-x-1=0 x3-x-1=0在區(qū)間在區(qū)間(1,1.5)(1,1.5)內(nèi)的一個(gè)近似解內(nèi)的一個(gè)近似解( (準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度0.1).(0.1).(提示提示3332.6,1.312 532.261)3332.6,1.312 532.261)解解: :設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x3 3-x

16、-1,-x-1,因?yàn)橐驗(yàn)閒(1)=1-1-1=-10,f(1)=1-1-1=-10,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.8750,所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(1,1.5)(1,1.5)上存在零點(diǎn)上存在零點(diǎn). .取區(qū)間取區(qū)間(1,1.5)(1,1.5)作為初始區(qū)間作為初始區(qū)間, ,用二分法逐次計(jì)算列表如下用二分法逐次計(jì)算列表如下: :因?yàn)橐驗(yàn)閨1.375-1.312 5|=0.062 50.1,|1.375-1.312 5|=0.062 50.1,故函數(shù)故函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-x-1-x-1在在(1,1.5)(1,1.5)內(nèi)的一個(gè)近似零點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)近似零點(diǎn)為1.37

17、5.1.375.即方程即方程x x3 3-x-1=0-x-1=0在在(1,1.5)(1,1.5)內(nèi)的一個(gè)近似解為內(nèi)的一個(gè)近似解為1.375.1.375.端點(diǎn)端點(diǎn)( (中點(diǎn)中點(diǎn)) )中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)零點(diǎn)所在區(qū)間零點(diǎn)所在區(qū)間(1,1.5)(1,1.5)1.251.25f(1.25)0f(1.25)0f(1.375)0(1.25,1.375)(1.25,1.375)1.312 51.312 5f(1.312 5)0f(1.312 5)0(1.312 5,1.375)(1.312 5,1.375)方法技巧方法技巧使用二分法求方程的近似解應(yīng)轉(zhuǎn)化為求其相應(yīng)函數(shù)的近似零點(diǎn)使用二分法求方程的近似解

18、應(yīng)轉(zhuǎn)化為求其相應(yīng)函數(shù)的近似零點(diǎn), ,當(dāng)區(qū)當(dāng)區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)在滿(mǎn)足準(zhǔn)確度條件下的近似值相等時(shí)間兩個(gè)端點(diǎn)在滿(mǎn)足準(zhǔn)確度條件下的近似值相等時(shí), ,所得區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)所得區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的近似值便為所求方程的根的近似值便為所求方程的根( (或函數(shù)零點(diǎn)或函數(shù)零點(diǎn)).).即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練3-1:3-1:利用二分法求方程利用二分法求方程ln x=3-xln x=3-x的根的根( (準(zhǔn)確度為準(zhǔn)確度為0.1)(0.1)(以下數(shù)據(jù)以下數(shù)據(jù)可供參考可供參考:ln 2.50.916 3,ln 2.250.810 9,ln 2.1250.753 8,:ln 2.50.916 3,ln 2.250.810 9,ln 2.1250.7

19、53 8,ln 2.751.011 6,ln 2.187 50.782 8,ln 2.218 750.796 9,ln 2.751.011 6,ln 2.187 50.782 8,ln 2.218 750.796 9,ln 2.471 250.904 7).ln 2.471 250.904 7).解解: :令令f(x)=ln x+x-3.f(x)=ln x+x-3.因?yàn)橐驗(yàn)閒(2)=ln 2-10,f(2)=ln 2-10,所以取所以取(2,3)(2,3)作為函數(shù)零點(diǎn)計(jì)算的初始區(qū)間作為函數(shù)零點(diǎn)計(jì)算的初始區(qū)間, ,用二分法逐次計(jì)算用二分法逐次計(jì)算, ,列表列表如下如下: :因?yàn)橐驗(yàn)閨2.187

20、5-2.25|=0.06250.1.|2.187 5-2.25|=0.06250f(2.5)=0.146 30(2,2.5)(2,2.5)x x2 2=2.25=2.25f(2.25)=0.060 90f(2.25)=0.060 90(2,2.25)(2,2.25)x x3 3=2.125=2.125f(2.125)=-0.121 20f(2.125)=-0.121 20(2.125,2.25)(2.125,2.25)x x4 4=2.187 5=2.187 5f(2.187 5)=-0.029 70f(2.187 5)=-0.029 70(2.187 5,2.25)(2.187 5,2.25)學(xué)霸經(jīng)歷分享區(qū)學(xué)霸經(jīng)歷分享區(qū)(1)(1)使用使用“二分法時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)二分法時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn): :選好計(jì)算的初始區(qū)間選好計(jì)算的初始區(qū)間, ,保證所選區(qū)間既要符合條件保證所選區(qū)間既要符合條件, ,又要使其長(zhǎng)度又要使其長(zhǎng)度最短最短; ;計(jì)算時(shí)要根據(jù)給定的準(zhǔn)確度計(jì)算