《高等工程力學(xué)》講義第9章結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定計(jì)算(正式)

1、.第四篇 結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定計(jì)算第9章 結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定計(jì)算9.1 兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述 在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，除保證結(jié)構(gòu)必須滿足強(qiáng)度條件和剛度條件外，往往還應(yīng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的驗(yàn)算。在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算中，需要對(duì)結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)作更深層次的考察。從穩(wěn)定性角度來(lái)考察，平衡狀態(tài)實(shí)際上有三種不同的情況：穩(wěn)定平衡狀態(tài)、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)和中性平衡狀態(tài)。設(shè)結(jié)構(gòu)原來(lái)處于某個(gè)平衡狀態(tài)，后來(lái)由于受到輕微干擾而稍微偏離其原來(lái)位置。當(dāng)干擾消失后，如果結(jié)構(gòu)能夠回到原來(lái)的平衡位置，則原來(lái)的平衡狀態(tài)為穩(wěn)定平衡狀態(tài)；如果結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能回到原來(lái)位置，則原來(lái)的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的中間過(guò)渡狀態(tài)稱為中性平衡狀態(tài)。 在結(jié)構(gòu)穩(wěn)

2、定計(jì)算中，通常仍采用小撓度理論，其優(yōu)點(diǎn)是可以用比較簡(jiǎn)單的方法得到基本正確的結(jié)論。如果希望得到更精確的結(jié)論，則需要采用較為復(fù)雜的大撓度理論。隨著荷載的逐漸增大，結(jié)構(gòu)的原始平衡狀態(tài)可能由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱為失穩(wěn)。結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)有兩種基本形式：分支點(diǎn)失穩(wěn)和極值點(diǎn)失穩(wěn)。下面以壓桿為例加以說(shuō)明。9.1.1 分支點(diǎn)失穩(wěn) 圖9-1（a）所示為簡(jiǎn)支壓桿的完善體系或理想體系：桿件軸線是理想的直線（沒(méi)有初曲率），荷載P是理想的中心受壓荷載（沒(méi)有偏心）。隨著壓力P逐漸增大的過(guò)程，我們考察壓力P與中點(diǎn)撓度之間的關(guān)系曲線，稱為P-曲線或不平衡路徑（圖9-1（b）。圖9-1

3、分支點(diǎn)失穩(wěn)（a）理想的中心受壓桿；（b）P曲線 當(dāng)荷載值Pl小于歐拉臨界值時(shí)，壓桿只是單純受壓，不發(fā)生彎曲變形（撓度0），壓桿處于直線形式的平衡狀態(tài)（稱為原始平衡狀態(tài)）。在圖9-1（b）中，其P-曲線由直線OAB表示，稱為原始平衡路徑（路徑）。如果壓桿受到輕微干擾而發(fā)生彎曲，偏離原始平衡狀態(tài)，則當(dāng)干擾消失后，壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)。因此，當(dāng)PPcr時(shí)，原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。也就是說(shuō)，在原始平衡路徑上，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。這時(shí)原始平衡形式是唯一的平衡形式。當(dāng)荷載值P2大于Pcr時(shí)，原始平衡形式不再是唯一的平衡形式，壓桿既可處于直線形式的平衡狀態(tài)，還可處于彎曲形式的平衡狀態(tài)。也就是說(shuō)，

4、這時(shí)存在兩種不同形式的平衡狀態(tài)。與此相應(yīng)，在圖9-1（b）中也有兩條不同的P-曲線：原始平衡路徑（由直線BC表示）和第二平衡路徑（根據(jù)大撓度理論，由曲線BD表示。如果采用小撓度理論進(jìn)行近似計(jì)算，則曲線BD退化為水平直線BD）。進(jìn)一步還可看出，這時(shí)原始平衡狀態(tài)（C點(diǎn)）是不穩(wěn)定的。如果壓桿受到干擾而彎曲，則當(dāng)干擾消失后，壓桿并不能回到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的原始平衡狀態(tài)，而是繼續(xù)彎曲，直到圖中D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的彎曲形式的平衡狀態(tài)為止。因此，當(dāng)P2Pcr時(shí)，在原始平衡路徑上，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。兩條平衡路徑和的交點(diǎn)B稱為分支點(diǎn)。分支點(diǎn)B將原始平衡路徑分為兩段：前段OB上的點(diǎn)屬于穩(wěn)定平衡，后段BC上的點(diǎn)屬于不穩(wěn)

5、定平衡。也就是說(shuō)，在分支點(diǎn)B處，原始平衡路徑與新平衡路徑同時(shí)并存，出現(xiàn)平衡形式的二重性，原始平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡，出現(xiàn)穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變。具有這種特征的失穩(wěn)形式稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)形式。分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載稱為臨界荷載，對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。分支點(diǎn)失穩(wěn)又稱為第一類失穩(wěn)。圖9-2 分支點(diǎn)失穩(wěn)（a）受結(jié)點(diǎn)荷載的剛架；（b）受水壓力的圓拱；（c）窄條梁其他結(jié)構(gòu)也可能出現(xiàn)分支點(diǎn)失穩(wěn)現(xiàn)象，其特征仍然是在分支點(diǎn)PPcr處，原始平衡形式由穩(wěn)定轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定，并出現(xiàn)新的平衡形式。例如9-2（a）所示承受結(jié)點(diǎn)荷載的剛架，在原始平衡形式中，各柱單純受壓，剛架無(wú)彎曲變形；在新的平衡形式中，剛架產(chǎn)生側(cè)移，出現(xiàn)彎曲變形

6、。又如圖9-2（b）所示承受靜水壓力的圓拱，在原始平衡形式中，拱單純受壓，拱軸保持為圓形；在新的平衡形式中，拱軸不再保持為圓形，出現(xiàn)壓彎組合變形。再如圖9-2（c）所示懸臂窄條梁，在原始平衡形式中，梁處于平面彎曲狀態(tài)；在新的平衡形式中，梁處于斜彎曲和扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。9.1.2 極值點(diǎn)失穩(wěn)圖9-3（a）、（b）分別為具有初曲率的壓桿和承受偏心荷載的壓桿，它們稱為壓桿的非完善體系。圖9-3 極值點(diǎn)失穩(wěn)（a）有初彎曲的壓桿；（b）偏心荷載壓桿；（c）P-曲線 圖9-3（a）、（b）中的非完善壓桿從一開(kāi)始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。按照小撓度理論，其P-曲線如圖9-3（c）中的曲線OA所示。在初始階段撓度增加較

7、慢，以后逐漸變快，當(dāng)P接近中心壓桿的歐拉臨界值Pe時(shí)，撓度趨于無(wú)限大。如果按照大撓度理論，其P-曲線由曲線OBC表示。B點(diǎn)為極值點(diǎn)，荷載達(dá)到極大值。在極值點(diǎn)以前的曲線段OB，其平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；在極值點(diǎn)以后的曲線段BC，其相應(yīng)的荷載值反而下降，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。在極值點(diǎn)處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。這種失穩(wěn)形式稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。其特征是平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象，而P-曲線具有極值點(diǎn)。極值點(diǎn)相應(yīng)的荷載極大值稱為臨界荷載。極值點(diǎn)失穩(wěn)又稱為第二類失穩(wěn)。 對(duì)工程中的結(jié)構(gòu)而言，多數(shù)受壓構(gòu)件均處于偏心受壓狀態(tài)（即壓力和彎矩同有的狀態(tài)），是非完善的壓桿體系，它們多屬于第二類失穩(wěn)問(wèn)題。 最后，對(duì)穩(wěn)定問(wèn)

8、題與強(qiáng)度問(wèn)題的區(qū)別作一點(diǎn)說(shuō)明。 強(qiáng)度問(wèn)題是指結(jié)構(gòu)在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下它的最大應(yīng)力不超過(guò)材料的允許應(yīng)力，其重點(diǎn)是在內(nèi)力的計(jì)算上。對(duì)大多數(shù)結(jié)構(gòu)而言，通常其應(yīng)力都處于彈性范圍內(nèi)而且變形很小。因此，按線性變形體系來(lái)計(jì)算，即認(rèn)為荷載與變形之間呈線性關(guān)系，并按結(jié)構(gòu)未變形前的幾何形狀和位置來(lái)進(jìn)行計(jì)算，疊加原理適用，通常稱此種計(jì)算為線性分析或一階分析。對(duì)于應(yīng)力雖處于彈性范圍但變形較大的結(jié)構(gòu)（如懸索），因變形對(duì)計(jì)算的影響不能忽略，應(yīng)按結(jié)構(gòu)變形后的幾何形狀和位置來(lái)進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)，荷載與變形之間已為非線性關(guān)系，疊加原理不再適用，這種計(jì)算稱為幾何非線性分析或二階分析。 穩(wěn)定問(wèn)題與強(qiáng)度問(wèn)題不同，它的著眼點(diǎn)不是放在計(jì)算最大應(yīng)

9、力，而是研究荷載與結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力之間的平衡上，看這種平衡是否處于穩(wěn)定狀態(tài)，即要找出變形開(kāi)始急劇增長(zhǎng)的臨界點(diǎn)，并找出與臨界狀態(tài)相應(yīng)的最小荷載（臨界荷載）。由于它的計(jì)算要在結(jié)構(gòu)變形后的幾何形狀和位置上進(jìn)行，其方法也屬于幾何非線性范疇，疊加原理不再適用，故其計(jì)算也屬二階分析。穩(wěn)定計(jì)算是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一個(gè)重要專題，本章只討論完善體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題，并根據(jù)小撓度理論求臨界荷載。確定臨界荷載的方法很多，其中最基本和最重要的是靜力法和能量法。以下就直桿穩(wěn)定問(wèn)題對(duì)這兩個(gè)方法分別加以介紹。9.2 穩(wěn)定問(wèn)題的分析方法靜力法根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的確定臨界荷載的方法，稱為靜力法。9.2.1 靜力法確定有限自由度

10、體系的臨界荷載下面結(jié)合圖9-4（a）的單自由度體系說(shuō)明解法。在圖9-4（a）中，AB為剛性壓桿，底端A為彈性支承，其轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)為k。圖9-4 單自由度失穩(wěn)（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式在分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題中，臨界狀態(tài)的靜力特征是平衡形式的二重性。靜力法的要點(diǎn)是在原始平衡路徑之外尋找新的平衡路徑，確定二者交叉的分支點(diǎn)，由此求出臨界荷載。顯然，桿AB處于豎直位置時(shí)的平衡形式（圖9-4（a）是其原始平衡形式?，F(xiàn)在尋找桿件處于傾斜位置時(shí)新的平衡形式（圖9-4（b）。根據(jù)小撓度理論，其平衡方程為 （9-1）由于彈性支座的反力矩MAk，所以 （9-2）應(yīng)當(dāng)指出，在穩(wěn)定分析中，平衡方程是針對(duì)變形后的結(jié)

11、構(gòu)新位置寫出的（不是針對(duì)變形前的原始位置），也就是說(shuō)，要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的影響。在應(yīng)用小撓度理論時(shí)，由于假設(shè)位移是微量，因而對(duì)結(jié)構(gòu)中的各個(gè)力要區(qū)分為主要力和次要力兩類。例如在圖9-4（b）中，縱向力P是主要力（有限量），而彈性支座反力矩MAk是次要力（微量）。建立平衡方程時(shí)，方程中各項(xiàng)應(yīng)是同級(jí)微量，因此對(duì)主要力P的項(xiàng)要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的微量變化（如式（9-1）中的第一項(xiàng)為主要力P乘以微量位移l），而對(duì)次要力的項(xiàng)則不考慮幾何尺寸的微量變化（見(jiàn)例9-1）。式（9-2）是以位移為未知量的齊次方程。齊次方程有兩類解：即零解和非零解。零解（0）對(duì)應(yīng)于原始平衡形式，即平衡路徑；非零解（0）是新

12、的平衡形式。為了得到非零解，齊次方程（9-2）的系數(shù)應(yīng)為零，即或 （9-3）式（9-3）稱為特征方程。由特征方程得知，第二平衡路徑為水平直線。由兩條路徑的交點(diǎn)得到分支點(diǎn)，分支點(diǎn)相應(yīng)的荷載即為臨界荷載，因此 （9-4）例9-1 圖9-5（a）所示是一個(gè)具有兩個(gè)變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸結(jié)點(diǎn)B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k。試求其臨界荷載Pcr。圖9-5 兩個(gè)自由度的體系（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式解：設(shè)體系由原始平衡狀態(tài)（圖9-5（a）的水平位置）轉(zhuǎn)到任意變形的新?tīng)顟B(tài)（圖9-5（b），設(shè)B點(diǎn)和C點(diǎn)的豎向位移分別為y1和y2，相應(yīng)的支座反力分別為 同時(shí)，

13、A點(diǎn)和D點(diǎn)的支座反力為 注意，本問(wèn)題中縱向力P是主要力，橫向力Y、R為次要力。因而這里及下面寫平衡方程時(shí)，主要力的項(xiàng)均考慮了結(jié)構(gòu)變形的微量變化y，而次要力的項(xiàng)則沒(méi)有考慮幾何尺寸的微量變化（跨度仍用l）。變形狀態(tài)的平衡條件為 即 （a）這是關(guān)于y1和y2的齊次方程。如果系數(shù)行列式不等于零，即則零解（即y1和y2全為零）是齊次方程（a）的唯一解。也就是說(shuō)，原始平衡形式是體系唯一的平衡形式。 如果系數(shù)行列式等于零，即 （b）則除零解外，齊次方程（a）還有非零解。也就是說(shuō)，除原始平衡形式外，體系還有新的平衡形式。這樣，平衡形式即具有二重性，這就是體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征。方程（b）就是穩(wěn)定問(wèn)題的特征

14、方程。展開(kāi)式（b），得由此解得兩個(gè)特征值：其中最小的特征值叫做臨界荷載，即將特征值代回式（a），可求得y1和y2的比值。這時(shí)位移y1、y2組成的向量稱為特征向量。如將Pkl/3代回式（a），則得y1y2，相應(yīng)的變形曲線如圖9-6（a）所示。如將Pkl代回式（a），則得y1y2，相應(yīng)的變形曲線如圖9-6（b）所示。圖9-6 例9-1的失穩(wěn)形態(tài)（a）第一失穩(wěn)形態(tài)；（b）第二失穩(wěn)形態(tài)9.2.2 靜力法確定無(wú)限自由度體系的臨界荷載前面討論了有限自由度體系的穩(wěn)定問(wèn)題，現(xiàn)在討論無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定問(wèn)題，壓桿穩(wěn)定為其典型的代表。 靜力法的解題思路仍舊是：先對(duì)變形狀態(tài)建立平衡方程，然后根據(jù)平衡形式的二重性建立

15、特征方程，最后，由特征方程求出臨界荷載。 在無(wú)限自由度體系中，平衡方程是微分方程而不是代數(shù)方程，這是與有限自由度體系不同的。 等截面壓桿圖1-7所示為一等截面壓桿，下端固定，上端有水平支桿，現(xiàn)采用靜力法求其臨界荷載。圖9-7 上端鉸支下端固定的壓桿 在臨界狀態(tài)下，體系出現(xiàn)新的平衡形式，如圖中虛線所示。柱頂有未知水平反力R，彈性曲線的微分方程為或改寫為其中上式的解為常數(shù)A、B和未知力R可由邊界條件確定。 當(dāng)x0時(shí)，y0，由此求得A0。當(dāng)xl時(shí)，y0和y/0，由此得 （9-5）因?yàn)閥(x)不恒等于零，所以A、B和R不全為零。由此可知，式（9-5）中系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即將上式展開(kāi)，得到如下的超越方

16、程式 （9-6）圖9-8 圖解法上式可用試算法并配合以圖解法求解。圖9-8繪出了yl和ytanl兩組線，它們的交點(diǎn)即為方程（9-6）的解，有無(wú)窮多個(gè)解。因?yàn)閺椥詨簵U有無(wú)限個(gè)變形自由度，因而有無(wú)窮多個(gè)特征荷載值，其中最小的一個(gè)是臨界荷載。由圖9-8可知，最小正根l在的左側(cè)附近，其準(zhǔn)確數(shù)值可由試算法求得。為此，先將式(b)表示為如下形式： 當(dāng)l4.5時(shí)，tanl4.637，D0.137 當(dāng)l4.4時(shí)，tanl3.096，D1.304 當(dāng)l4.49時(shí)，tanl4.422，D0.068 當(dāng)l4.491時(shí)，tanl4.443，D0.048 當(dāng)l4.492時(shí)，tanl4.464，D0.028 當(dāng)l4.49

17、3時(shí)，tanl4.485，D0.008 當(dāng)l4.494時(shí)，tanl4.506，D0.012由此求得(l)min4.493，故得 例9-2 試求圖9-9(a)所示排架的臨界荷載和柱AB的計(jì)算長(zhǎng)度。圖9-9 排架的臨界荷載（a）排架；（b）計(jì)算簡(jiǎn)圖；（c）變形狀態(tài)解：圖9-9(b)為此排架的計(jì)算簡(jiǎn)圖。這里，柱AB在B點(diǎn)具有彈性支座，它反映柱CD所起的支承作用，彈性支座的剛度系數(shù)。在臨界狀態(tài)下，桿AB的變形如圖9-9(c)所示，這時(shí)在柱頂處有未知的水平力R，彈性曲線的微分方程為可改寫為其中上式的解為常數(shù)A、B和未知力R由邊界條件確定。 當(dāng)x0時(shí)，y0，由此求得A0。當(dāng)xl時(shí)，y，y/0，由此有：由于

18、Rk，所以上式變?yōu)橐驗(yàn)閥(x)不恒等于零，故B、R不全為零。由此可知上式的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即展開(kāi)上式，并利用P2EI1化簡(jiǎn)后，得到如下的超越方程： （a）為了求解這個(gè)超越方程，需要事先給定k值（即給出I1I2的比值）。下面討論三種情形的解： I20，則k0，這時(shí)方程(a)變?yōu)楫?dāng)El1為有限值時(shí)，l，所以這個(gè)方程的最小根為因此這正是懸臂柱的情況，計(jì)算長(zhǎng)度l02l。 I2，則k，這時(shí)方程(a)變?yōu)檫@個(gè)方程的最小根為因此這相當(dāng)于上端鉸支、下端固定的情況，計(jì)算長(zhǎng)度l00.7l。 一般情況是k在0的范圍內(nèi)，l在4.493范圍內(nèi)變化。當(dāng)I2I1時(shí)，則。這時(shí)方程(a)變?yōu)橛迷囁惴ㄇ蠼?，先將上式表示為如下?/p>

19、式：當(dāng)l2.4時(shí)， tanl0.916，D1.192當(dāng)l2.0時(shí)， tanl2.185，D1.518當(dāng)l2.2時(shí)， tanl1.374，D0.025當(dāng)l2.21時(shí)， tanl1.345，D0.043由此求得l2.21，因此所以，當(dāng)I2I1時(shí)，計(jì)算長(zhǎng)度為l01.42l。 變截面壓桿工程中常見(jiàn)的變截面壓桿有兩類：一類是階形桿，另一類是截面尺寸沿桿長(zhǎng)連續(xù)變化的桿。截面尺寸沿桿長(zhǎng)連續(xù)變化的壓桿，用靜力法求解時(shí)得到的是變系數(shù)的平衡微分方程，求解較為復(fù)雜，實(shí)際計(jì)算時(shí)多采用能量法。故這里只研究階形壓桿。圖9-10 階形柱圖9-10為一階形柱，下端固定、上端自由，上部剛度為EI1，下部剛度為EI2。若以y1、

20、y2分別表示變形后上、下兩部分的撓度，則兩部分的平衡微分方程為，當(dāng)，當(dāng)上式可改寫為 （9-7）式中 式（9-7）的解為積分常數(shù)A1、B1和A2、B2由上下端的邊界條件和xl1處的變形連續(xù)條件確定。當(dāng)x0時(shí)，yl0；由此得當(dāng)xl時(shí)，；由此得當(dāng)xl1時(shí)，由此得由上式系數(shù)行列式等于零展開(kāi)后，可求得特征方程為這個(gè)方程只有當(dāng)給定和的比值時(shí)才能求解。 當(dāng)EI210EIl，時(shí)，。此時(shí)特征方程變?yōu)橛纱私獾米钚「?，從而可得?-3 試求圖9-11(a)階形柱在柱頂承受壓力P1，變截面處還作用有壓力P2時(shí)的特征方程和臨界荷載。圖9-11 兩段階形柱解：設(shè)變形后上、下兩部分的撓度分別為y1和y2，則兩部分的平衡微分

21、方程為， 當(dāng)， 當(dāng)上式可改寫為 （a）式中： 式(a)的解為積分常數(shù)A1、B1和A2、B2由上下端的邊界條件和xl1處的變形連續(xù)條件確定。當(dāng)x0時(shí)，yl0；由此得當(dāng)xl時(shí)，；由此得當(dāng)xl1時(shí)，yl2，yly2和，由此得 （b）將上第一式代人第二式，得 （c）由式(b)和(c)的系數(shù)行列式等于零：展開(kāi)后，可求得特征方程為 （d）這個(gè)方程只有當(dāng)、和的比值均給定時(shí)才能求解。 如圖9-11(b)所示階形桿，此時(shí) 特征方程式(d)變?yōu)橛纱私獾米钚「鶠閺亩傻?.3 穩(wěn)定問(wèn)題的分析方法能量法9.3.1 能量法確定體系臨界荷載的基本原理 用能量法求臨界荷載，仍是以結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)平衡的二重性為依據(jù)，應(yīng)用以能量形式

22、表示的平衡條件，尋求結(jié)構(gòu)在新的形式下能維持平衡的荷載，其中最小者即為臨界荷載。 用能量形式表示的平衡條件就是勢(shì)能駐值原理，它可表述為：對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)，在滿足支承條件及位移連續(xù)條件的一切虛位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移（因而就是真實(shí)的位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為駐值，也就是結(jié)構(gòu)勢(shì)能的一階變分等于零，即這里，結(jié)構(gòu)的勢(shì)能等于結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U與外力勢(shì)能Up之和： 仍以圖9-4所示單自由度體系為例說(shuō)明。體系的勢(shì)能為彈簧應(yīng)變能U與荷載P的勢(shì)能Up之和。彈簧應(yīng)變能為荷載勢(shì)能為這里為B點(diǎn)的豎向位移（見(jiàn)圖9-4(b)因此體系的勢(shì)能為 （9-8）應(yīng)用勢(shì)能駐值條件，得 （9-9）上式與靜力法中的式（9-2）是等價(jià)的。由此可見(jiàn)

23、，能量法與靜力法都導(dǎo)出同樣的方程。換句話說(shuō)，勢(shì)能駐值條件等價(jià)于用位移表示的平衡方程。 能量法余下的計(jì)算步驟即與靜力法完全相同，即根據(jù)位移有非零解的條件導(dǎo)出特征方 （9-10）從而求出臨界荷載 歸結(jié)起來(lái)，在分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題中，臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值，且位移有非零解。能量法就是根據(jù)上述能量特征求臨界荷載。 下面對(duì)勢(shì)能作進(jìn)一步的討論。由式（9-8）看出，勢(shì)能是位移的二次式，其關(guān)系曲線是拋物線。 如果，則關(guān)系曲線如圖9-12(a)所示。當(dāng)位移為任意非零值時(shí)，勢(shì)能恒為正值，即勢(shì)能是正定的。當(dāng)體系處于原始平衡狀態(tài)（0）時(shí)，勢(shì)能為極小，因而原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 如果，則關(guān)系曲線如圖9-12(

24、c)所示。當(dāng)位移為任意非零值時(shí)，勢(shì)能恒為負(fù)值，即勢(shì)能是負(fù)定的。當(dāng)體系處于原始平衡狀態(tài)時(shí)，勢(shì)能為極大，因而原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 如果，則關(guān)系曲線如圖9-12(b)所示。當(dāng)位移為任意值時(shí)，勢(shì)能恒為零，體系處于中性平衡狀態(tài)，即臨界狀態(tài)，這時(shí)的荷載稱作臨界荷載，即。這個(gè)結(jié)果與靜力法所得的相同。圖9-12 勢(shì)能與位移的關(guān)系曲線（a）；（b）；（c） 因此，臨界狀態(tài)的能量特征還可表述為：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能由正定過(guò)渡到非正定。對(duì)于單自由度體系，則由正定過(guò)渡到負(fù)定。 例9-4 用能量法重做例9-1，即圖9-5所示兩個(gè)變形自由度的體系。 解： 現(xiàn)在討論臨界荷載的能量特征。 在圖9-5(b)中

25、，D點(diǎn)的水平位移為彈性支座的應(yīng)變能為荷載勢(shì)能為體系的勢(shì)能為應(yīng)用勢(shì)能駐值條件： 得 （a）上式就是例9-1用靜力法導(dǎo)出的式(a)。也就是說(shuō)，勢(shì)能駐值條件等價(jià)于用位移表示的平衡方程。 能量法以后的計(jì)算步驟與靜力法完全相同。勢(shì)能駐值條件(a)的解包括全零解和非零解。求非零解時(shí)，先建立特征方程，然后求解，得出兩個(gè)特征荷載值Pl和P2，其中最小的特征值即為臨界荷載Pcr，過(guò)程和結(jié)果見(jiàn)例9-1的后一半。 歸結(jié)起來(lái)，能量法求多自由度體系臨界荷載Pcr的步驟如下：先寫出勢(shì)能表達(dá)式，建立勢(shì)能駐值條件，然后應(yīng)用位移有非零解的條件，得出特征方程，求出荷載的特征值Pi (i1、2、n)。最后，在Pi中選取最小值，即得

26、到臨界荷載Pcr。9.3.2 能量法確定無(wú)限自由度體系的臨界荷載 無(wú)限自由度體系的彈性壓桿的臨界荷載Pcr可根據(jù)下列能量特征來(lái)求：對(duì)于滿足位移邊界條件的任一可能位移狀態(tài)，可求勢(shì)能。由勢(shì)能的駐值條件0，可得包含待定參數(shù)的齊次方程組。為了求非零解，齊次方程的系數(shù)行列式應(yīng)為零，由此求出特征荷載值。臨界荷載是所有特征值中的最小值。 按單參數(shù)體系計(jì)算下面以圖9-13(a)所示壓桿為例，說(shuō)明具體做法。圖9-13 彈性壓桿的穩(wěn)定（a）彈性壓桿；（b）微段變形 設(shè)壓桿有任意可能位移，變形曲線為這里，(x)是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，a1為任意參數(shù)。這樣，原體系實(shí)際上被近似地看作只有一個(gè)自由度的體系。先求彎曲

27、應(yīng)變能U：再求與P相應(yīng)的位移（壓桿頂點(diǎn)的豎向位移）。為此，先取微段AB進(jìn)行分析（圖9-13(b)）。彎曲前，微段AB的原長(zhǎng)為dx。變形后，弧線A/B/的長(zhǎng)度不變，即dsdx。由圖可知，微段兩端點(diǎn)豎向位移的差值d為 （9-11）因此荷載勢(shì)能UP為體系的勢(shì)能為由勢(shì)能的駐值條件0，即得為了求非零解，要求a1的系數(shù)為零，得 （9-12）例9-5 圖9-14(a)所示為兩端簡(jiǎn)支的中心受壓柱，試用能量法求其臨界荷載。解：簡(jiǎn)支壓桿的位移邊界條件為當(dāng)x0和xl時(shí)，在滿足上述邊界條件的情況下，我們選取三種不同的變形形式進(jìn)行計(jì)算。圖9-14 兩端鉸支柱（a）中心受壓柱；（b）變形曲線 假設(shè)撓曲線為拋物線則求得由勢(shì)

28、能駐值條件，得為了求非零解，要求al的系數(shù)為零，得 取跨中橫向集中力Q作用下的撓曲線作為變形形式（圖9-14(b)），則當(dāng)xl2時(shí)：求得由此，可求得 假設(shè)撓曲線為正弦曲線則 求得由此，可求得 討論 假設(shè)撓曲線為拋物線時(shí)求得的臨界荷載值與精確值相比誤差為22，這是因?yàn)樗O(shè)的拋物線與實(shí)際的撓曲線差別太大的緣故。 根據(jù)跨中橫向集中力作用下的撓曲線而求得的臨界荷載值與精確值相比誤差為1.3，精度比前者大為提高。如果采用均布荷載作用下的撓曲線進(jìn)行計(jì)算，則精度還可以提高。 正弦曲線是失穩(wěn)的真實(shí)變形曲線，所以由它求得的臨界荷載是精確解。一般情況下是很難遇到這種情形的。 按多參數(shù)體系計(jì)算 設(shè)壓桿的變形曲線為

29、（9-13）其中伊i(x)是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，ai是任意參數(shù)，共n個(gè)。這樣，原彈性壓桿被近似地看作是有n個(gè)自由度的體系。 此時(shí)，彎曲應(yīng)變能為荷載勢(shì)能為體系的勢(shì)能為由勢(shì)能的駐值條件0，即 得 令 （9-14）則得 （9-15a）可簡(jiǎn)寫為 （9-15b）上式是對(duì)于n個(gè)未知參數(shù)al、a2、an的n個(gè)線性齊次方程。 根據(jù)特征值和特征向量的性質(zhì)，參數(shù)al、a2、an不能全為零，因此系數(shù)行列式應(yīng)為零，即 （9-16）其展開(kāi)式是關(guān)于P的n次代數(shù)方程，可求出n個(gè)根，由其中的最小根可確定臨界荷載。上面介紹的解法有時(shí)叫里茲法。這里將原來(lái)的無(wú)限自由度體系近似地化為n次自由度體系，所得的臨界荷載近似解是精確

30、解的一個(gè)上限。對(duì)此一現(xiàn)象可作如下解釋：求近似解時(shí)，我們從全部的可能位移狀態(tài)中只考慮其中的一部分，這就是說(shuō)，我們使體系的自由度有所減少（例如將無(wú)限自由度變?yōu)橛邢拮杂啥龋?。這種將自由度減少的作法，相當(dāng)于對(duì)體系施加某種約束。這樣，體系抵抗失穩(wěn)的能力通常就會(huì)得到提高，因而這樣求得的臨界荷載就是實(shí)際臨界荷載的一個(gè)上限。例9-6 圖9-15(a)所示等截面柱，下端固定，上端自由，試求在均勻豎向荷載作用下的臨界荷載值qcr。圖9-15 求受均勻豎向荷載的懸臂柱的臨界荷載（a）自重作用下的懸臂柱；（b）局部變形時(shí)自重所作的功 解： 壓桿承受的是均勻豎向荷載而不是柱頂集中力，故前面求的公式不能直接應(yīng)用。由于微段

31、dz傾斜而使微段以上部分的荷載向下移動(dòng)（圖9-15(b)），下降距離d仍可由前式（9-11）算出。這部分荷載為q(lx)，所作的功為因此所有外力作的功為 先按單參數(shù)體系計(jì)算取變形曲線為以下形式：上式滿足兩端位移邊界條件。先求應(yīng)變能再求外力作的功體系的總勢(shì)能為由0，可求得與精確解相比，誤差為5.88。 再按兩個(gè)參數(shù)體系計(jì)算 取變形曲線為以下形式：上式中i(x)均滿足位移邊界條件。 將上式求導(dǎo)并積分后，可求得體系的總勢(shì)能為由勢(shì)能的駐值條件 al、a2不全為零，則應(yīng)有展開(kāi)整理后得此二次方程的最小根即為臨界荷載與精確解已十分接近，誤差僅0.01。例9-7 圖9-16所示為兩端簡(jiǎn)支的變截面壓桿，任一截面

32、x處的慣性矩為，對(duì)于中間截面來(lái)說(shuō)，I為對(duì)稱分布。試求臨界荷載Pcr。 解：兩端簡(jiǎn)支桿的位移邊界條件為當(dāng)x0時(shí)， y=0當(dāng)xl時(shí)， y=0根據(jù)上述邊界條件，變形曲線可設(shè)為三角級(jí)數(shù)如下： （a）可以看出，級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)都是滿足位移邊界條件和對(duì)稱條件的。圖9-16 變截面壓桿 先取級(jí)數(shù)(a)的第一項(xiàng)作為近似的變形曲線，即設(shè) （b）由此求得由此可求得 （c）這是按單參數(shù)體系求得的結(jié)果。 再取級(jí)數(shù)(a)的前兩項(xiàng)作為近似的變形曲線，即設(shè) （d）根據(jù)式(d)，求得U和Up如下：由駐值條件 可得 （e）為了得到a1和a2，的非零解，令方程組(e)的系數(shù)行列式為零其展開(kāi)式為由此求出最小根，即得出臨界荷載如下：

33、（f）這是按兩個(gè)參數(shù)體系求得的結(jié)果。由式(c)和(f)看出，兩次計(jì)算結(jié)果已很接近，相對(duì)差值不到1，由此可以了解所得近似結(jié)果的精確程度。9.4 剪力對(duì)臨界荷載的影響 前面確定壓桿的臨界荷載時(shí)只考慮了彎矩對(duì)變形的影響。若還要計(jì)入剪力對(duì)臨界荷載的影響，則在建立撓曲線微分方程時(shí)，就應(yīng)同時(shí)考慮彎矩和剪力對(duì)變形的影響。 設(shè)用yM和yQ分別表示由于彎矩和剪力影響所產(chǎn)生的撓度，則兩者共同影響產(chǎn)生的撓度為對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)，可得曲率的近似公式 （a）由彎矩影響引起的曲率為 （b） 為了計(jì)算由于剪力引起的附加曲率，我們先來(lái)求由于剪力所引起的桿軸切線的附加轉(zhuǎn)角。由圖9-17(b)可知，這個(gè)附加轉(zhuǎn)角在數(shù)值上等于切應(yīng)變，而

34、圖9-17 剪力對(duì)臨界荷載的影響（a）壓桿彎曲變形；（b）剪力與剪切角于是可得從而有 （c）將式(b)、(c)代人式(a)，得同時(shí)考慮彎矩和剪力影響的撓曲線微分方程為 （d）對(duì)于圖9-17(a)所示兩端鉸支的等截面壓桿，有代人式(d)得即令 （e）上述微分方程的通解為由邊界條件x0、y0和xl、y0；可導(dǎo)出穩(wěn)定方程為其最小根ml。由式(e)可得 （9-17）式中 歐拉臨界荷載； 修正系數(shù)，又可寫為這里e為歐拉臨界應(yīng)力。設(shè)壓桿材料為三號(hào)鋼，臨界應(yīng)力取為e200MPa，切變模量G80×103MPa，則有可見(jiàn)在實(shí)體桿中，剪力的影響很小，通?？陕匀?。9.5 組合壓桿的穩(wěn)定 大型結(jié)構(gòu)中的壓桿，

35、如橋梁的上弦桿、廠房的雙肢柱、起重機(jī)和無(wú)線電桅桿的塔身等，常采用組合桿的形式，即由兩個(gè)主肢用若干連接件連接組成。連接件的形式有綴條式和綴板式兩種（圖9-18(a)、(b)）。組合壓桿的臨界荷載比截面和柔度相同的實(shí)體壓桿的臨界荷載要小，其原因是在組合壓桿中剪力的影響較大。當(dāng)組合壓桿的結(jié)間數(shù)目較多時(shí)（如桿長(zhǎng)l與結(jié)間d之比不小于6），其臨界荷載可用上節(jié)實(shí)體壓桿的公式（9-17）進(jìn)行近似計(jì)算，而對(duì)式中的需另行處理，以反映連接件的影響。從前面的切應(yīng)變公式可以看出，是代表在單位剪力作用下的切應(yīng)變，故只要求出組合壓桿在單位剪力作用下的切應(yīng)變，將它代替式中的即可。下面分別就綴條式和綴板式兩種情況進(jìn)行討論，導(dǎo)出

36、臨界荷載及其他實(shí)用上的有關(guān)公式。圖9-18 組合壓桿（a）綴條式；（b）綴板式9.5.1 綴條式組合壓桿 綴條式組合壓桿的兩肢通常是型鋼，綴條常采用單角鋼，兩者截面相比差別較大，故綴條兩端可視為鉸結(jié)?，F(xiàn)取一個(gè)結(jié)間來(lái)考慮（圖9-19），在單位剪力Q1作用下的切應(yīng)變，可近似地按下式計(jì)算圖9-19 綴條式組合壓桿的切應(yīng)變位移11可按下式計(jì)算由于主肢桿的截面比綴條的截面大得多，故在上式中可只考慮綴條的影響。綴條的橫桿，內(nèi)力，桿長(zhǎng)，截面積設(shè)為Ap；斜桿中，內(nèi)力，桿長(zhǎng)為，截面積設(shè)為Aq，于是有因而將上式的代替前節(jié)式（9-17）中的，即得 （9-18）式中，計(jì)算歐拉臨界荷載Pe所用的慣性矩I，為兩個(gè)主肢的截

37、面對(duì)整個(gè)截面的形心軸z的慣性矩。如用Ad表示一個(gè)主肢的截面積，Id表示一個(gè)主肢的截面對(duì)本身形心軸的慣性矩，并近似地認(rèn)為主肢形心到z軸的距離為，則有 由式（9-18）知，斜桿比橫桿對(duì)臨界荷載的影響更大。例如當(dāng)兩者EA相同而45°時(shí)，有上式分母括號(hào)中，第一項(xiàng)代表斜桿的影響，第二項(xiàng)代表橫桿的影響。若略去橫桿的影響，并考慮到在一般情況下型鋼翼緣兩側(cè)平面內(nèi)都設(shè)有綴條，則式（9-18）變成式中 Aq一根斜桿的截面積。 如果在上式中引入計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，以便將臨界荷載寫成歐拉問(wèn)題的基本形式：則其中應(yīng)為 （9-19）若用r代表兩個(gè)主肢的截面對(duì)整個(gè)截面形心軸z的回轉(zhuǎn)半徑，即此外，一般為30°60

38、°，故可取，將它代人式（9-19），并引入長(zhǎng)細(xì)比（注意，這里0是按回轉(zhuǎn)半徑為r的實(shí)腹桿計(jì)算的長(zhǎng)細(xì)比），可得 最后，綴條式組合壓桿的長(zhǎng)細(xì)比可表示為這就是鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中通常推薦的綴條式組合壓桿的計(jì)算長(zhǎng)細(xì)比的公式。9.5.2 綴板式組合壓桿 綴板式組合壓桿，沒(méi)有斜桿，綴板與主肢的連接應(yīng)視為剛結(jié)，計(jì)算簡(jiǎn)圖是單跨多層剛架。近似計(jì)算時(shí)，認(rèn)為主肢的反彎點(diǎn)在結(jié)間中點(diǎn)，且剪力是平均分配于兩主肢，于是可取圖9-20(a)所示的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)間來(lái)計(jì)算。彎矩圖如圖9-20 (b)所示，由圖乘法可得圖9-20 綴板式組合壓桿的標(biāo)準(zhǔn)單元（a）受力和變形；（b）彎矩圖因此，切應(yīng)變?yōu)橛蒙鲜酱媸剑?-17）中的，得 （9-2

39、0）由上式可知，修正系數(shù)2將隨結(jié)間長(zhǎng)度d的增大而減小。 在一般情況下，綴板的剛度要比主肢的剛度大得多，可近似地認(rèn)為EIb，于是式（9-20）可寫成 （9-21）這里，為整個(gè)組合桿的截面慣性矩。 將以下慣性矩、長(zhǎng)細(xì)比（整個(gè)桿按回轉(zhuǎn)半徑為r的實(shí)腹桿計(jì)算的長(zhǎng)細(xì)比用0表示，一個(gè)主肢在一個(gè)結(jié)間內(nèi)的長(zhǎng)細(xì)比用d表示）與回轉(zhuǎn)半徑的關(guān)系式： 代入式（9-21），得若近似地以1代替0.83，則有相應(yīng)的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)可寫成因而綴板式組合桿的長(zhǎng)細(xì)比為這就是規(guī)范中用以確定綴板式組合壓桿計(jì)算長(zhǎng)細(xì)比的公式。9.6 窄條梁的穩(wěn)定 圖9-21(a)所示為一窄而高的矩形截面懸臂梁，在荷載P作用下yz平面內(nèi)產(chǎn)生平面彎曲。當(dāng)荷載增大到某個(gè)臨界值時(shí)（此時(shí)梁截面上的壓應(yīng)力達(dá)到其臨界值），梁將在yz平面外產(chǎn)生側(cè)向變形而失穩(wěn)，如圖9-21(b)所示，此時(shí)梁已偏離原平面彎曲狀態(tài)而同時(shí)產(chǎn)生了斜彎曲和扭轉(zhuǎn)。這種問(wèn)題稱為窄條梁的穩(wěn)定或梁的側(cè)向穩(wěn)定問(wèn)題。圖9-21 窄條梁的失穩(wěn)（a）原始的平面彎曲狀態(tài)；（b）變形后的側(cè)向失穩(wěn)狀態(tài) 下面結(jié)合圖9-22(a)所示承受純彎的矩形截面簡(jiǎn)支梁，說(shuō)明窄條梁穩(wěn)定問(wèn)題的特點(diǎn)和解法。 當(dāng)梁側(cè)向失穩(wěn)時(shí)，任一截面mn的形心C在x和y軸方向產(chǎn)生位移u和v，同時(shí)截面還繞z軸產(chǎn)生轉(zhuǎn)角（圖9-22(b)）。位移u和v以沿x和y軸正方向者為正；當(dāng)朝正方向看時(shí)，轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?圖9-22(