“PA+kPB”最值探究(胡不歸+阿氏圓)-胡不歸解題步驟

1、PA+kPB型的最值問(wèn)題-孫洋清【問(wèn)題背景】“PA+k- PB'型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng) k值為1 時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“ PA+PB之和最短問(wèn)題，就可用我們常見的“飲馬問(wèn)題”模型 來(lái)處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理。而當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來(lái)解決問(wèn)題，貝U無(wú) 法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類，一般分為2類研究。 即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為 “胡不歸”問(wèn)題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為 “阿氏圓”問(wèn)題。本文將分別從這兩類入手與大家共同探究線段最值問(wèn)題的解決方案。

2、【知識(shí)儲(chǔ)備】線段最值問(wèn)題常用原理： 三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； 兩點(diǎn)間線段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短;【模型初探】“胡不歸”問(wèn)題（一）點(diǎn) P在直線上運(yùn)動(dòng) 如圖1-1-1所示，已知sin / MBN=k P為角/ MBN其中一邊BM上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM BN的同側(cè)，連接AP,則當(dāng)“ PA+kPB'的值最小時(shí)，P點(diǎn)的 位置如何確定？分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“ k PB'的大小，過(guò)點(diǎn)P作PQL BN垂足為Q,貝U k PB=PB sin / MBN=PQ,本題求“PA+kPB'的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+

3、PQ的最小值（如圖1-1-2），即A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D1-1-3 ），本題得解。圖 1-1-2圖 1-1-3動(dòng)態(tài)展示：見GIF格式！思考：當(dāng)k值大于1時(shí)，“ PA+k- PB'線段求和問(wèn)題該如何轉(zhuǎn)化呢?提取系數(shù)k即可哦！ !【數(shù)學(xué)故事】從前，有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原 理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑 A-B （如圖所示），而忽視了走折線雖 然路程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小 伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？

4、 胡不歸？何以歸”。這個(gè)古老的傳說(shuō)，引起了人們的思索，小伙子能否提前到 家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問(wèn)題”。吃V,、工其中 $u）a- -7"廣1【模型初探】（二）點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng) f “阿氏圓”問(wèn)題如圖所示2-1-1 ,O O的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。O外，P為。O上的動(dòng)點(diǎn)， 已知r=k OB連接PA PB則當(dāng)“ PA+kPB'的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確上截取OC使OC=kr,則可說(shuō)明厶BPO<A PCO相似，即k PB=PC本題求“ PA+k- PB'的最小值轉(zhuǎn)化為求“ PA+PC的最小值，即A P、C 三點(diǎn)共線時(shí)最小

5、（如圖2-1-3 ），本題得解。動(dòng)態(tài)展示：見GIF格式！【問(wèn)題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn) A、B,則所有滿足 PA=kP（k工1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”“阿氏圓”一般解題步驟: 第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），則連接OR 0B第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段 OR 0B長(zhǎng)度;第三步：計(jì)算這兩條線段長(zhǎng)度的比0P0B _k ；第四步：在0B上取點(diǎn)C,使得0C0ROR ；0B ；第五步：連接AC,與圓0交點(diǎn)即為點(diǎn)P.【模型類比】“胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等于小于1系數(shù)起點(diǎn)構(gòu)造所需角（k=

6、sin / CAE過(guò)終點(diǎn)作所構(gòu)角邊的垂線利用垂線段最短解決問(wèn)題葺中Sinu= ' 1圖1-2“阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造 PABA CAP推出 PA? =Ab|ac即：半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段【典型例題】1. (胡不歸問(wèn)題)如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4且/ ABC=60 , M為對(duì)角線BD (不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，則am+2bmB最小值為. 分析：如何將1BM轉(zhuǎn)化為其他線段呢？2即本題k值為2，必須轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值啊,即轉(zhuǎn)化為30°角的正弦值。思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作 MN垂直于BC則MNBM即AMBM最小轉(zhuǎn)化為 AM+M最小，本題得解。2 2詳解：如

7、圖，作AN!于BC垂足為N,四邊形ABCD是菱形且/ ABC=60，/ DBC=30，1 MN即 sin / DBC=-，2 BM *BM=M，1 1 AMBM=AM+MN卩 AMBM的最小值為 AN.在 RTABN中，AN=AB sin / ABC=5江旋=朋.2側(cè)訓(xùn)的最小值為a 5.變式思考：(1)本題如要求“ 2AM+B”的最小值你會(huì)求嗎？(2)本題如要求“ AM+BM+CM勺最小值你會(huì)求嗎？答案：(1) 6 3 (2) 6.3本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！ ！-詳見：本公眾號(hào)前文!2. （阿氏圓問(wèn)題）如圖，點(diǎn)A、B在。O上，且0A=0B=,6且0從0B點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在0吐，且

8、0D=4動(dòng)點(diǎn)P在。0上，則2PC+PD的最小值為.分析：如何將2PC轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn)，即2倍關(guān)系就出現(xiàn)了。套用“阿氏圓”模型：構(gòu)造共邊共角相似半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段詳解：連接0P,在射線0A上截取AE=6.即：OP2 =0C 0E OPC° OEP PE =2PC 2PCPD=PE PD,即P、D E三點(diǎn)共線最小.在 RT OED中, DE =：'QD2 OE2 = ：.16 144 =4 10 即2PC PD的最小值為4 ,10.B變式思考：（1）本題如要求“ PC 2pd ”的最小值你會(huì)求嗎？（2）本題如要求“ PC |pD”的最小值你會(huì)求嗎

9、?答案：(1) 2.10 (2) 3 10【變式訓(xùn)練】* （胡不歸問(wèn)題）1. 如圖，等腰 ABC中, AB=AC=3 BC=2 BC邊上的高為AQ點(diǎn)D為射線A0上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度3個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD=時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為秒.答案：L邁，-V2432. 如圖，在菱形 ABCD中, AB=6且/ ABC=150，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB+P的最小值為.答案：6.2 本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！ ！!【中考真題】> （胡不歸問(wèn)題）1. （2016?徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次

10、函數(shù) y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（0，-品）、C（2，0），其中對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D。若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD則1 PB + PD的最小值為。22. （ 2014.成都）如圖，已知拋物線y=8 3 （x 2）（4）與x軸從左至右依次交于點(diǎn)9A、B，與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y Bx，4衛(wèi)與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為33D（ -5，3.3 ）。設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF, 動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？答案：3、3，22.34課

11、外提升：2015日照、2015內(nèi)江、2016隨州多個(gè)城市均在壓軸題考察了 “胡不歸”問(wèn)題。要好好專研哦！ !【變式訓(xùn)練】> (阿氏圓問(wèn)題)（胡不歸問(wèn)題變式）只見m核線段和UflKfeCWJjK齊FWSSili耶労* XWFdixKHI 鼻卩醫(yī)申討iftflt隕禪羯*如圧林卜需艸誼齢N損和叫H 解 L A" < 0說(shuō)Z£M-3CW - Wr jft尹為中點(diǎn).M* N育期齊輸我 恥 秋卜，1«尸討i U.V購(gòu)伺小伯為丄蘇足關(guān)王鑒老叩、如檔弟電邛一蠅笙車稈士¥*岀丁糊所韋.$2A sac JtK龍羸幾 Z« - a I a *U ft L

12、 超 上0L m沖一 sc rw - i wjv (fc > 0：i 的 小1S何咗酢軽第丄 w.vZAM b5>.涓吒刖np 二衣 qavp tf霄*Q= * *i劇0%mak ' JkMLl F fl PH . HL H 足為 H-艸 FH i HA 尸V i Uy W.1. (1)【問(wèn)題提出】：如圖1，在Rt ABC中，/ AC490°, C吐4, CA6,1OC半徑為2, P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) AP, BP,求AP+ 2 BP的最小值.CH1)(圖 R個(gè) 3嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP在CB上取點(diǎn) D,使 CD- 1,

13、貝U有 CD =CP =1，又I / PCD-Z BCP/-PCSA BCP, CP CB 2PD 111 PD，二 PD- 1 BP, a AP+ 1 BP= AP+ PD.BP 2'221請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AF+ - BP的最小值為.2 1(2) .【自主探索】：在“問(wèn)題提出”的條件不變的情況下，AF+ BP的最小3值為.(3) .【拓展延伸】：已知扇形COD中/ CO- 90o, OC= 6, OA- 3, OB= 5,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，貝U 2PA+ PB的最小值為.答案：37 , 3 37 , 13.32. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)0為圓心作半徑為4的圓

14、交X軸正半軸于點(diǎn)A,1點(diǎn)M坐標(biāo)為（6,3 ），點(diǎn)N坐標(biāo)為（8,0 ），點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，求PM+- PN的最小值3. 如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC BD為切線，AC=1 BD=2 P為亦上一動(dòng)點(diǎn)，求乎PC+PD勺最小值為.答案：5, 3 *2.2（2017 甘肅蘭州）如圖，拋物線y二-x'+bx-c與直線AB交于A .4,.4 , B 0,4 兩點(diǎn)，直線人。：丫二_尹_6交y軸與點(diǎn)C ,點(diǎn)E 是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF丄x軸交AC 于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G . 求拋物線y二_x2+bx + c的表達(dá)式；連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊 形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)； 在y軸

15、上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF， 當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,F,H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn) E,H 的坐標(biāo)；在的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為OE上一動(dòng)點(diǎn)，求 -AM | CM的最小值.2 答案：（1） y= - x2 - 2x+4; （2） G （- 2, 4）; E （- 2, 0）. H （0，- 1）;鄉(xiāng)寫在最后:“胡不歸”和“阿氏圓”問(wèn)題都是一類解決最短距離問(wèn)題，即“PA+kPB'（kM 1的常數(shù)）型的最值問(wèn)題。兩類問(wèn)題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，即將 k PB這條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某條具體線段 PC的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短 或兩點(diǎn)之間線段最短”的原理構(gòu)造