將軍飲馬問題(講)

1、將軍飲馬問題類型一、基本模式 類型二、軸對(duì)稱變換的應(yīng)用（將軍飲馬問題）2、如圖所示，如果將軍從馬棚M出發(fā)，先趕到河OA上的某一位置P，再馬上趕到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校場(chǎng)N請(qǐng)為將軍重新設(shè)計(jì)一條路線(即選擇點(diǎn)P和Q)，使得總路程MPPQQN最短 【變式】如圖所示，將軍希望從馬棚M出發(fā)，先趕到河OA上的某一位置P，再馬上趕到河OB上的某一位置Q請(qǐng)為將軍設(shè)計(jì)一條路線(即選擇點(diǎn)P和Q)，使得總路程MPPQ最短 3、將軍要檢閱一隊(duì)士兵，要求(如圖所示)：隊(duì)伍長(zhǎng)為a，沿河OB排開(從點(diǎn)P到點(diǎn)Q)；將軍從馬棚M出發(fā)到達(dá)隊(duì)頭P，從P至Q檢閱隊(duì)伍后再趕到校場(chǎng)N請(qǐng)問：在什么位置列隊(duì)(即選擇點(diǎn)P和Q)，

2、可以使得將軍走的總路程MPPQQN最短? 4. 如圖，點(diǎn)M在銳角AOB內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最小 5已知MON內(nèi)有一點(diǎn)P，P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)分別是和，分別交OM, ON于點(diǎn)A、B，已知15，則PAB 的周長(zhǎng)為（ ）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知AOB，試在AOB內(nèi)確定一點(diǎn)P，如圖，使P到OA、OB的距離相等，并且到M、N兩點(diǎn)的距離也相等. 7、已知MON40°，P為MON內(nèi)一定點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求APB的度數(shù). 8. 如圖，在四邊形ABCD中，A90°

3、，AD4，連接BD，BDCD，ADBC.若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為_. 練習(xí)1、已知點(diǎn)在直線外，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由2、 如圖，在公路的同旁有兩個(gè)倉庫、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉庫的距離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個(gè)位置比較合理？ 3、 已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)， 在上求作一點(diǎn)，使得最小 4、如圖，正方形中，是上的一點(diǎn)，且，是上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值與最大值 5、如圖，已知AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，試分別在邊OA和OB上各找一點(diǎn)E、F，使得PEF的周長(zhǎng)最小。試畫出圖

4、形，并說明理由。6、如圖，直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A、B,在坐標(biāo)軸上找兩點(diǎn)C、D,使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小。.A. B7、如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？8、,當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最小，并求出這個(gè)最小值.9、在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，-3)、B(4，-1)、P(a,0)、N(a+2,0),當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求a的值.10、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，D=120°，點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn)，連接EF，在線段EF上找一點(diǎn)P，使BP+AP最短 練

5、習(xí)1、觀察下列銀行標(biāo)志，從圖案看既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2、以下圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）A等邊三角形 B矩形 C等腰梯形 D平行四邊形3、在下列四個(gè)圖案中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是4、在等邊三角形、正方形、菱形和等腰梯形這四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)5、把一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對(duì)稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動(dòng)對(duì)稱變換在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖甲）結(jié)合軸對(duì)稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì)，你認(rèn)為在滑動(dòng)對(duì)稱變換過

6、程中，兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形（如圖乙）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是( )(A)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直 (B)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分(C)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分 (D)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線互相平行6、對(duì)右圖的對(duì)稱性表述，正確的是（ ）A 軸對(duì)稱圖形 B中心對(duì)稱圖形 C既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 D既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形7、如圖，ABC是由ABC經(jīng)過變換得到的，則這個(gè)變換過程是（A）平移（B）軸對(duì)稱 （C）旋轉(zhuǎn) （D）平移后再軸對(duì)稱CBABBCABCC8、如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線交折線OAB于

7、點(diǎn)E（1）記ODE的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形OA1B1C1，9、探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說明理由.CDBAEO【答案】（1）由題意得B（3，1）若直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b若直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）時(shí)，則b1若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1b，如圖25-a，圖1 此時(shí)E（2b，0）SOE·CO×2b×1b若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即b，如圖2圖2此時(shí)E（3，

8、），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)×1×(52b)·()×3()（2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，OA與C1B1相交于點(diǎn)N，則矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。本題答案由無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校金楊建老師草制！圖3由題意知，DMNE，DNME，四邊形DNEM為平行四邊形根據(jù)軸對(duì)稱知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四邊形DNEM為菱形過點(diǎn)D作DHOA，垂足為H，由題易知，tanDEN，DH1，HE2，設(shè)菱形DNEM 的邊長(zhǎng)為a，則在RtDHM中，由勾股

9、定理知：，S四邊形DNEMNE·DH矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為 10如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。（1）畫出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）畫出ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的A2B2C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)；，（3）將A2B2C2平移得到 A3B3C3，使點(diǎn)A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A3，點(diǎn)B2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B3 ，點(diǎn)C2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C3（4，-1），在坐標(biāo)系中畫出 A3B3C3，并寫出點(diǎn)A3，B3的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚?）C1(-1,-3)

10、 (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)11、分別按下列要求解答：（1）在圖1中,將ABC先向左平移5個(gè)單位,再作關(guān)于直線AB的軸對(duì)稱圖形,經(jīng)兩次變換后得到A1B1 C1.畫出A1B1C1；（2）在圖2中,ABC經(jīng)變換得到A2B2C2.描述變換過程.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211121110987654321ABCA2B2C20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211121110987654321ABC【答案】(1) 如圖 (2) 將ABC先關(guān)于點(diǎn)A作中心對(duì)稱圖形,再向左平移2個(gè)單位,得到A2B2C2（變換過程不唯一）12、(1)觀察

11、發(fā)現(xiàn) 如題26(a)圖，若點(diǎn)A，B在直線同側(cè)，在直線上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小 做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P 再如題26(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小 做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這 點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為 題18(a)圖 題18(b)圖 (2)實(shí)踐運(yùn)用 如題26(c)圖，已知O的直徑CD為4，AD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值 題18(c)圖 題18(d)圖 (3)拓展延伸 如題26(d)圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使APB=APD保留作圖痕跡，不必寫出作法 【答案】解：（1）；（2）如圖：作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E正好在圓周上，連接OA、OB、OE，連接AE交CD與一點(diǎn)P，AP+BP最短，因?yàn)锳D的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，所以AEB=15°，因?yàn)锽關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，所以BOE=60°，所