2015全國卷1文數(shù)精校完整解析版

1、1A12015·全國卷 已知集合Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，則集合AB中元素的個數(shù)為()A5B4C3D21D解析集合A2，5，8，11，14，17，所以AB8，14，所以AB中有2個元素2F1、F22015·全國卷 已知點A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4) B(7，4)C(1，4) D(1，4)2A解析(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)3L42015·全國卷 已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i1i，則z()A2iB2iC2iD2i3C解析設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，代入(z1)i1i得(a1bi)i1i，即b(a

2、1)i1i.根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得得a2，b1，所以復(fù)數(shù)z2i.4K22015·全國卷 如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.B.C.D.4C解析從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10種取法，其中只有(3，4，5)是一組勾股數(shù)，所以構(gòu)成勾股數(shù)的概率為.5H5、H72015·全國卷 已知橢圓E的中心為坐

3、標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|()A3B6C9D125B解析拋物線C：y28x的焦點坐標(biāo)為(2，0)，準(zhǔn)線方程為x2，即橢圓的半焦距ce，所以a4，于是b212，則橢圓的方程為1.A，B是C的準(zhǔn)線x2與E的兩個交點，把x2代入橢圓方程得y±3，所以|AB|6.6G122015·全國卷 九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖1­1，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆

4、的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()圖1­1A14斛B22斛C36斛D66斛6B解析米堆的體積即為四分之一的圓錐的體積，設(shè)圓錐底面半徑為r，則×2r8，得r，所以米堆的體積為×r2×5(立方尺)，÷22(斛)7D22015·全國卷 已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和若S84S4，則a10()A.B.C10D127B解析由S84S4，得8a1×14，解得a1，所以a10(101)×1.8C42015·全國卷 函

5、數(shù)f(x)cos(x)的部分圖像如圖1­2所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()圖1­2A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ8D解析由圖知1，所以T2，即2，所以±.因為函數(shù)f(x)的圖像過點，所以當(dāng)時，2k，kZ，解得2k，kZ；當(dāng)時，2k，kZ，解得2k，kZ.所以f(x)cos，由2k<x<2k解得2k<x<2k，kZ，故選D.9L12015·全國卷 執(zhí)行圖1­3所示的程序框圖，如果輸入的t0.01，則輸出的n()圖1­3A5B6C7D89C解析經(jīng)推理分析可知，若程序能滿足循環(huán)，則每循環(huán)一次，S的值減少

6、一半，循環(huán)6次后S的值變?yōu)椋h(huán)7次后S的值變?yōu)?，此時不再滿足循環(huán)的條件，所以結(jié)束循環(huán)，于是輸出的n7.10B6、B72015·全國卷 已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則f(6a)()ABCD10A解析因為2x12>2恒成立，所以可知a>1，于是由f(a)log2(a1)3得a7，所以f(6a)f(1)2112.11G22015·全國卷 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖1­4所示若該幾何體的表面積為1620，則r()圖1­4A1B2C4D811B解析由三視圖可知，此組合體的前半部分

7、是一個底面半徑為r，高為2r的半圓柱(水平放置)，后半部分是一個半徑為r的半球，其中半圓柱的一個底面與半球的半個圓面重合，所以此幾何體的表面積為2r·2rr2r2r·2r2r24r25r21620，解得r2.12B6、B72015·全國卷 設(shè)函數(shù)yf(x)的圖像與y2xa的圖像關(guān)于直線yx對稱，且f(2)f(4)1，則a()A1B1C2D412C解析在函數(shù)yf(x)的圖像上任設(shè)一點P(x，y)，其關(guān)于直線yx的對稱點為P(x，y)，則有解得由于點P(x，y)在函數(shù)y2xa的圖像上，于是有x2ya，得yalog2(x)，即yf(x)alog2(x)，所以f(2)f(

8、4)alog22alog242a31，所以a2.132015·全國卷 在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和若Sn126，則n_13D36解析由a12，an12an可知數(shù)列an為等比數(shù)列，公比為2，所以Sn126，得n6.14B122015·全國卷 已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖像在點(1，f(1)處的切線過點(2，7)，則a_141解析因為f(x)3ax21，所以函數(shù)在點(1，f(1)，即點(1，2a)處的切線的斜率kf(1)3a1.又切線過點(2，7)，則經(jīng)過點(1，2a)，(2，7)的直線的斜率k，所以3a1，解得a1.15E52015·全

9、國卷 若x，y滿足約束條件則z3xy的最大值為_154解析作出約束條件表示的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線平移至經(jīng)過可行域的頂點A(1，1)時，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，故zmax3×114.16H62015·全國卷 已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C的左支上一點，A(0，6) ，當(dāng)APF周長最小時，該三角形的面積為_1612解析由已知得a1，c3，則F(3，0)，|AF|15.設(shè)F1是雙曲線的左焦點，根據(jù)雙曲線的定義有|PF|PF1|2，所以|PA|PF|PA|PF1|2|AF1|217，即點P是線段AF1與雙曲線的交點時，|PA|PF|PA|PF1|2最小，即APF周長

10、最小，此時，sinOAF，cosPAF12sin2OAF，即有sinPAF.由余弦定理得|PF|2|PA|2|AF|22|PA|AF|cosPAF，即(17|PA|)2|PA|21522|PA|×15×，解得|PA|10，于是SAPF|PA|·|AF|·sinPAF×10×15×12.17C5、C82015·全國卷 已知a，b，c分別是ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B2sinAsinC.(1)若ab，求cosB; (2)若B90°，且a，求ABC的面積17解：(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22ac.又

11、ab，所以可得b2c，a2c.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)知b22ac.因為B90°，所以由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca，所以ABC的面積為1.18G52015·全國卷 如圖1­5，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE平面ABCD.(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120°，AEEC, 三棱錐E­ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積圖1­518解：(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以ACBD.因為BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AE

12、C平面BED.(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因為AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱錐E­ACD的體積VE­ACD×AC·GD·BEx3，故xAEECED，所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E­ACD的側(cè)面積為32.19I42015·全國卷 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響對

13、近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值圖1­6xyw(wiw)·(yiy)5631469其中wi，wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，yabx與ycd哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為zx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：(i)年宣傳費x49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？(ii)年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，

14、(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計分別為，vu.19解：(1)由散點圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于d68，ydw56368×6.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為100.668.(3)(i)由(2)知，當(dāng)x49時，年銷售量y的預(yù)報值100.668576.6，年利潤z的預(yù)報值×0.24966.32.(ii)根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值(100.668)20.12，所以當(dāng)6.8，即x46.24時，取得最大值故年宣傳費為46

15、.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大20H1、H3、H42015·全國卷 已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)·12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.20解：(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1.因為l與C交于兩點，所以<1，解得<k<，所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70，所以x1x2，x1x2，·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解

16、得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在直線l上，所以|MN|2.21B9，B11，B122015·全國卷 設(shè)函數(shù)f(x)e2xalnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)2aaln.21解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x>0)當(dāng)a0時，f(x)>0，f(x)沒有零點當(dāng)a>0時，因為e2x單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(a)>0，當(dāng)b滿足0<b<且b<時，f(b)<0，故當(dāng)a>0時，f(x)存在唯一零點(2)證明：由(1)可設(shè)f

17、(x)在(0，)上的唯一零點為x0.當(dāng)x(0，x0)時，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故當(dāng)a>0時，f(x)2aaln.22N12015·全國卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­7，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點E.(1)若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；(2)若OACE，求ACB的大小圖1­722解：(1)證明：連接AE，由已知得

18、，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.連接OE，則OBEOEB.又ACBABC90°，所以DECOEB90°，故OED90°，即DE是O的切線(2)設(shè)CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CE·BE，所以x2，即x4x2120，可得x，所以ACB60°.23N32015·全國卷 選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積23解：(1)因為xcos，ysin，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，故12，即|MN|.由于圓C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.24N42015·全國卷 選修4­5：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)