總結(jié)拉格朗日中值定理的應(yīng)用

1、總結(jié)拉格朗日中值定理的應(yīng)用以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)。中值定理的主要作用在于理論分析和證明，例如為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、取極值、凹凸性、拐點等項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把握函數(shù)圖像的各種幾何特征。總之，微分學(xué)中值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。而拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一個承上啟下的一個定理，我們需要對其能夠熟練的應(yīng)用，這對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著極大的意義！拉格朗日中值定

2、理的應(yīng)用主要有以下幾個方面：利用拉格朗日中值定理證明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求極限、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、估值問題、證明級數(shù)收斂。首先我想介紹幾種關(guān)于如何構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。湊導(dǎo)數(shù)法。：這種方法主要是把要證明的結(jié)論變形為羅爾定理的結(jié)論形式，湊出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)做為輔助函數(shù)，即將要證的結(jié)論中的換成X，變形后觀察法湊成F(X)，由此求出輔助函數(shù)F(x)如例1.常數(shù)值法：在構(gòu)造函數(shù)時；若表達(dá)式關(guān)于端點處的函數(shù)值具有對稱性，通常用常數(shù)k值法來求構(gòu)造輔助函數(shù)，這種方法一般選取所證等式中含的部分作為k，即使常數(shù)部分分離出來并令其為k，恒等變形使等式一端為a與f(a)構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b與f(b)構(gòu)

3、成的代數(shù)式，將所證式中的端點值(a或b)改為變量x移項即為輔助函數(shù)f(x),再用中值定理或待定系數(shù)法等方法確定k，一般來說，當(dāng)問題涉及高階導(dǎo)數(shù)時，往往考慮多次運用中值定理，更多時要考慮用泰勒公式如例3.倒推法：這種方法證明方法是欲證的結(jié)論出發(fā)，借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論如例4。乘積因子法：對于某些要證明的結(jié)論，往往出現(xiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間關(guān)系的證明，直接構(gòu)造函數(shù)往往比較困難將所證結(jié)論的兩端都乘以或除以一個恒正或恒負(fù)的函數(shù)，證明的結(jié)論往往不受影響，(為常數(shù))是常用的乘積兇子如例5.介值法：證明中，通過引入輔助函數(shù)g(x)=f(x)-x將原問題轉(zhuǎn)化為(a,b)可導(dǎo)函數(shù)g(x)的最大值或最小

4、值至少有一個在必在內(nèi)點達(dá)到，從而可通過g(x)在（a,b）可導(dǎo)條件，直接運用費馬定理，完成證明。如例6。一拉格朗日中值定理證明（不）等式在不等式的證明中，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)（）和區(qū)間（，），通過的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定（）和分式的范圍，得證。如例題7。例7例8：例9：二利用拉格朗日中值定理求極限求極限的方法有很多，常見的有利用洛必達(dá)法則,利用重要極限等，而對于一些極限也可用拉格朗日中值定理或者只能用這種方法來求解，如例10,11.例10：例11：三研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)因為拉氏中值定理溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，很多時候。我們可以借助其導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)從而了解函數(shù)在整個定義域區(qū)間上的整體認(rèn)識。比如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號、單調(diào)性、一致連續(xù)性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的結(jié)論。通過對函數(shù)局部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，這是數(shù)學(xué)研究中一種重要的方法。如例12：四估值問題證明估值問題，一般情