平面向量教師版

1、數(shù)學：第二講 平面向量一、知識結構二、重要知識及典型例題1、向量的相關概念a、b、c表示.（2）向量的模：就是向量的長度(或稱模)，記作.向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.（3）零向量與單位向量：長度為0的向量稱為零向量，用表示.兩個特征：一長度為0；二是方向不定.長度為1的向量稱為單位向量.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量稱為平行向量.規(guī)定：零向量與任一向量都平行.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量，若向量與向量相等，記作=.2、向量的運算（1）向量的加法：將兩個向量的求和運算稱為向量的加法 法則適用于“首尾相接”的兩向量之和，法則適用于“共起點”

2、的兩向量之和.推廣：多邊形法則： 交換律： 結合律：重要不等式：兩個非零向量與：|-|+（說明：與同向時取后“=”；與異向時取前“=”）特別地：+=（與互為相反向量）（2）向量的減法：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-) 法則：（同始連終，指向被減）作平移，共起點；兩尾連，指被減。重要不等式：-+（說明：與同向時取前“=”；與異向時取后“=”）3、實數(shù)與向量的積（1）實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記，它的長度與方向規(guī)定如下：=·當0時，的方向與的方向相同；當0時，的方向與的方向相反；當=0時，=,方向是任意的.（2）運算律：設、為實數(shù)，那么：(a)=；(+)=+

3、；(+)=+（3）共線定理：向量與非零向量共線是有且只有一個實數(shù)，使得=.4、平面向量基本定理如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)1 、2使：=1+2 （，叫做一組基底）向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，它們的結果仍為向量.5、平面向量的坐標運算 和與差：±=(x1±x2,y1±y2)如果A(x1，y1)、B(x2,y2)，則= 若=(x,y),則=(x,y) 如果=(x1,y1),=(x2,y2)()則6、線段的定比分點：點P分有向線段 向量式：=· 坐標式： 坐標公式：(-1)

4、中點公式：重心：7、平面向量的數(shù)量積及運算律 (1).概念 兩平面向量和的夾角：，是兩非零向量，.兩平面向是和的數(shù)量積(或內積)：數(shù)量·=·規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.·=0是或，中至少一個為的充要條件幾何意義：向量的模與在的方向上投影cos的乘積.一個向量在另一向量方向上的投影：稱為向量在的方向上的投影（2）性質：設、是兩非零向量，是單位向量，是與的夾角， ·=·=； ·=0、同向·=·,反向·=-;特別地 ·=2=2或=.= (為，的夾角)；··（3）.平面向量

5、的數(shù)量積的運算律 交換律：·=·； 分配律：(+)· =·+· 數(shù)乘向量與數(shù)量積的結合律：(·)=()·=·();(R)（4）兩向量的數(shù)量積與兩數(shù)之間的乘法的區(qū)別當時，不能由·=0，推出=，因可能不為，但可能與垂直.不滿足消去律，即·=·=不滿足結合律，即 (·)(·)·， 8、平面向量數(shù)量積的坐標表示；向量的模：若=(x,y),則= 兩點間距離公式：=；夾角：=9、平移（1）平移公式： =+(平移向量公式) (平移的坐標公式)；變換公式（2）題型：（一設

6、二找三代四換）（待定系數(shù)法、配湊法、逆推法）10、正弦定理 余弦定理 （1）正弦定理、三角形面積公式（為外接圓半徑）=2R；S=bcsinA=absinC=acsinB變形：；=,=,=. 應用：求角、邊、判斷三角形的形狀（實現(xiàn)三角形中邊角關系轉化）（2）余弦定理在ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；變形：=；（3）正、余弦定理應用：求角、邊、判斷三角形的形狀（實現(xiàn)三角形中邊角關系轉化）注意：A+B+C=；0A，B，C；sin=sin=；(A+B)=11、解斜三角形應用舉例（1）常用概念：仰角、俯角；方向角（北偏東6

7、0°，西南方向）、方位角；水平距離、垂直距離、坡面距離；坡度（坡比）、坡角（2）解題步驟：根據(jù)題意作出示意圖；確定實際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元與未知元；選用正、余弦定理進行求解，有時需綜合運用這兩個定理，并注意運算的正確性；給出答案.【考點透視】 “平面向量”是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現(xiàn)，試題多以低、中檔題為主透析高考試題，知命題熱點為：1向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實數(shù)與向量的積2平面向量的坐標運算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義3兩非零向量平行、垂直的充要條件4圖形平移、線段

8、的定比分點坐標公式5由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合，綜合解決三角函數(shù)的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等6利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標運算方面轉化，向量模的運算轉化為向量的運算等；利用數(shù)形結合思想將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運算解決幾何問題【例題解析】1. 向量的概念，向量的基本運算(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.(4)了解平面

9、向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點間的距離公式.例1已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那么（）命題意圖:本題考查能夠結合圖形進行向量計算的能力解：故選A例2在中，M為BC的中點，則_.（用表示）命題意圖:本題主要考查向量的加法和減法,以及實數(shù)與向量的積.解：，所以,.例3如圖1所示，D是ABC的邊AB上的中點，則向量( )（A）（B）（C）（D）命題意圖:本題主要考查向量的加法和減法運算能力.解：，故選A.例4與向量=的夾解相

10、等，且模為1的向量是 ( )(A) (B) 或（C） （D）或命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標運算和用平面向量處理有關角度的問題.解：設所求平面向量為由另一方面,當當故平面向量與向量=的夾角相等.故選B. 例5設向量與的夾角為，且，則_命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標運算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關角度的問題.解:，是不平行于軸的單位向量，且，則= （） （A） （B） （C） （D） 命題意圖: 本題主要考查應用平面向量的坐標運算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想解題的能力.解:設，則依題意有故選B.、的和.如果向量、，滿足，且順時針旋轉后與同向，其中，則（

11、 ）（A） （B）（C） （D）命題意圖:本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.常規(guī)解法：，故把2 (i=1,2,3)，分別按順時針旋轉30后與重合，故，應選D.巧妙解法：令=，則=，由題意知=，從而排除B，C，同理排除A，故選(D).點評：巧妙解法巧在取=，使問題簡單化.本題也可通過畫圖,利用數(shù)形結合的方法來解決.2. 平面向量與三角函數(shù),解析幾何等問題結合(1) 平面向量與三角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問題，由于結合性強，因而綜合能力較強，所以復習時，通過解題過程，力爭達到既回顧知識要點，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點是運用向量知識，將所給問題轉化為代數(shù)

12、問題求解.(2)解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強，難度大.例8設函數(shù)f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函數(shù)y=f(x)的圖象經過點，（）求實數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)的最小值及此時x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，當時，的最小值為，由，得值的集合為例9設函數(shù).其中向量.（）求實數(shù)的值;（）求函數(shù)的最小值.解：（），得（）由（）得，當時，的最小值為例10已知向量(sin，1)，(1，cos)，（）若，求；（）求的最大值命題意圖:本小題主要考查平面向量數(shù)量積和平面向量的模的計算方法、以及三角公

13、式、三角函數(shù)的性質等基本知識，考查推理和運算能力.解：（）若，則sincos0，由此得 tan1()，所以；（）由(sin，1)，(1，cos)得，當sin()1時，|ab|取得最大值，即當時，|ab|最大值為1【專題訓練】一、選擇題1已知的值為（）A6B6CD2已知ABC中，點D在BC邊上，且則的值是（）ABC3D03把直線按向量平移后，所得直線與圓相切，則實數(shù)的值為（ A ）A39B13C21D394給出下列命題：·=0，則=0或=0. 若為單位向量且/，則=|·.··=|3. 若與共線，與共線，則與共線.其中正確的個數(shù)是（）A0B1C2D35.在以

14、下關于向量的命題中，不正確的是（ ）A.若向量a=(x，y)，向量b=(y，x)(x、y0)，則abB.四邊形ABCD是菱形的充要條件是=，且|=|C.點G是ABC的重心，則+=0D.ABC中，和的夾角等于180°A6.若O為平行四邊形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,則3e22e1等于（ ）A. B. C. D.y=x+2的圖象按a=（6，2）平移后，得到的新圖象的解析式為（ ）A.y=x+10B.y=x6 C.y=x+6D.y=x108.已知向量m=(a,b)，向量mn且|m|=|n|,則n的坐標為A.（a,b）B.( a,b)C.(b,a)D.( b,a)9.給出如下

15、命題：命題（1）設e1、e2是平面內兩個已知向量，則對于平面內任意向量a,都存在惟一的一對實數(shù)x、y，使a=xe1+ye2成立；命題（2）若定義域為R的函數(shù)f(x)恒滿足f(x)=f(x),則f(x)或為奇函數(shù)，或為偶函數(shù).則下述判斷正確的是（ ）A.命題（1）（2）均為假命題B.命題（1）（2）均為真命題C.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題D.命題（1）為假命題，命題（2）為真命題10若|a+b|=|a-b|，則向量a與b的關系是（ ）A. a=或b= B.11O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P的軌跡一定通過ABC的（）A外心B內心C重心D垂心12若,

16、, 則=（）A 4 B 15 C 7 D 3二、填空題1已知與的夾角為60°，則與的夾角余弦為.2已知（4,2,x），(2,1,3),且，則x.3向量，則和所夾角是4 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 點D滿足條件：DBAC, DCAB, AD=BC, 則D的坐標為 .5設是直線，是平面，向量在上，向量在上，則所成二面角中較小的一個的大小為三、解答題1.ABC中，三個內角分別是A、B、C，向量時，求.2.在平行四邊形ABCD中，A（1，1），點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P.（1）若求點C的坐標；（2）當時，求點P的軌跡.3.平

17、面內三個力，作用于同丄點O且處于平衡狀態(tài)，已知，的大小分別為1kg，kg，、的夾角是45°，求的大小及與夾角的大小.4.已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.5.設a=(1+cos,sin),b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a與c的夾角為1，b與c的夾角為2,且12=，求sin.6.已知平面向量a=（，1），b=（，）.(1)證明：ab；(2)若存在實數(shù)k和t，使得x=a+(t23)b,y=ka+tb,且xy，試求函數(shù)關系式k=f(t);(3)根據(jù)（2）的結論，確定k=f(t)的單調區(qū)間.【參考答案】一、選

18、擇題1.B 2D 3A4A5. 答案：C提示：若點G是ABC的重心，則有+=0，而C的結論是+=0，顯然是不成立的，選C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11B 12D二、填空題1 2 2 360° 4（1，1，1）或 53解：由, ,有，, 解得, 4.解：設D(x, y, z), 則，（x-1, y, z）,(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1)又DBAC-x+z=0, DCAB-x+y=0, AD=BC聯(lián)立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D點為（1，1，1）或。三、解答題1，2.解：（1）設點C坐標為（,又,即. . 即點C（0，6）.（2）解一：設，則. ABCD為菱形.故點P的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半圓去掉與直線的兩個交點.解法二：D的軌跡方程為.M為AB中點, 的比為 .設.的軌跡方程.整理得.故點