平面向量教師版

1、數(shù)學(xué)：第二講 平面向量一、知識結(jié)構(gòu)二、重要知識及典型例題1、向量的相關(guān)概念a、b、c表示.（2）向量的模：就是向量的長度(或稱模)，記作.向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.（3）零向量與單位向量：長度為0的向量稱為零向量，用表示.兩個特征：一長度為0；二是方向不定.長度為1的向量稱為單位向量.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量稱為平行向量.規(guī)定：零向量與任一向量都平行.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量，若向量與向量相等，記作=.2、向量的運(yùn)算（1）向量的加法：將兩個向量的求和運(yùn)算稱為向量的加法 法則適用于“首尾相接”的兩向量之和，法則適用于“共起點(diǎn)”

2、的兩向量之和.推廣：多邊形法則： 交換律： 結(jié)合律：重要不等式：兩個非零向量與：|-|+（說明：與同向時取后“=”；與異向時取前“=”）特別地：+=（與互為相反向量）（2）向量的減法：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-) 法則：（同始連終，指向被減）作平移，共起點(diǎn)；兩尾連，指被減。重要不等式：-+（說明：與同向時取前“=”；與異向時取后“=”）3、實(shí)數(shù)與向量的積（1）實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記，它的長度與方向規(guī)定如下：=·當(dāng)0時，的方向與的方向相同；當(dāng)0時，的方向與的方向相反；當(dāng)=0時，=,方向是任意的.（2）運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么：(a)=；(+)=+

3、；(+)=+（3）共線定理：向量與非零向量共線是有且只有一個實(shí)數(shù)，使得=.4、平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)1 、2使：=1+2 （，叫做一組基底）向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，它們的結(jié)果仍為向量.5、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 和與差：±=(x1±x2,y1±y2)如果A(x1，y1)、B(x2,y2)，則= 若=(x,y),則=(x,y) 如果=(x1,y1),=(x2,y2)()則6、線段的定比分點(diǎn)：點(diǎn)P分有向線段 向量式：=· 坐標(biāo)式： 坐標(biāo)公式：(-1)

4、中點(diǎn)公式：重心：7、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 (1).概念 兩平面向量和的夾角：，是兩非零向量，.兩平面向是和的數(shù)量積(或內(nèi)積)：數(shù)量·=·規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.·=0是或，中至少一個為的充要條件幾何意義：向量的模與在的方向上投影cos的乘積.一個向量在另一向量方向上的投影：稱為向量在的方向上的投影（2）性質(zhì)：設(shè)、是兩非零向量，是單位向量，是與的夾角， ·=·=； ·=0、同向·=·,反向·=-;特別地 ·=2=2或=.= (為，的夾角)；··（3）.平面向量

5、的數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律：·=·； 分配律：(+)· =·+· 數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律：(·)=()·=·();(R)（4）兩向量的數(shù)量積與兩數(shù)之間的乘法的區(qū)別當(dāng)時，不能由·=0，推出=，因可能不為，但可能與垂直.不滿足消去律，即·=·=不滿足結(jié)合律，即 (·)(·)·， 8、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；向量的模：若=(x,y),則= 兩點(diǎn)間距離公式：=；夾角：=9、平移（1）平移公式： =+(平移向量公式) (平移的坐標(biāo)公式)；變換公式（2）題型：（一設(shè)

6、二找三代四換）（待定系數(shù)法、配湊法、逆推法）10、正弦定理 余弦定理 （1）正弦定理、三角形面積公式（為外接圓半徑）=2R；S=bcsinA=absinC=acsinB變形：；=,=,=. 應(yīng)用：求角、邊、判斷三角形的形狀（實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化）（2）余弦定理在ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；變形：=；（3）正、余弦定理應(yīng)用：求角、邊、判斷三角形的形狀（實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化）注意：A+B+C=；0A，B，C；sin=sin=；(A+B)=11、解斜三角形應(yīng)用舉例（1）常用概念：仰角、俯角；方向角（北偏東6

7、0°，西南方向）、方位角；水平距離、垂直距離、坡面距離；坡度（坡比）、坡角（2）解題步驟：根據(jù)題意作出示意圖；確定實(shí)際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元與未知元；選用正、余弦定理進(jìn)行求解，有時需綜合運(yùn)用這兩個定理，并注意運(yùn)算的正確性；給出答案.【考點(diǎn)透視】 “平面向量”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，試題多以低、中檔題為主透析高考試題，知命題熱點(diǎn)為：1向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義3兩非零向量平行、垂直的充要條件4圖形平移、線段

8、的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式5由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結(jié)合，綜合解決三角函數(shù)的化簡、求值及三角形中的有關(guān)問題，處理有關(guān)長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等6利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化，向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算等；利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題【例題解析】1. 向量的概念，向量的基本運(yùn)算(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.(4)了解平面

9、向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式.例1已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）命題意圖:本題考查能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算的能力解：故選A例2在中，M為BC的中點(diǎn)，則_.（用表示）命題意圖:本題主要考查向量的加法和減法,以及實(shí)數(shù)與向量的積.解：，所以,.例3如圖1所示，D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量( )（A）（B）（C）（D）命題意圖:本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力.解：，故選A.例4與向量=的夾解相

10、等，且模為1的向量是 ( )(A) (B) 或（C） （D）或命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問題.解：設(shè)所求平面向量為由另一方面,當(dāng)當(dāng)故平面向量與向量=的夾角相等.故選B. 例5設(shè)向量與的夾角為，且，則_命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.解:，是不平行于軸的單位向量，且，則= （） （A） （B） （C） （D） 命題意圖: 本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想解題的能力.解:設(shè)，則依題意有故選B.、的和.如果向量、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（

11、 ）（A） （B）（C） （D）命題意圖:本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.常規(guī)解法：，故把2 (i=1,2,3)，分別按順時針旋轉(zhuǎn)30后與重合，故，應(yīng)選D.巧妙解法：令=，則=，由題意知=，從而排除B，C，同理排除A，故選(D).點(diǎn)評：巧妙解法巧在取=，使問題簡單化.本題也可通過畫圖,利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決.2. 平面向量與三角函數(shù),解析幾何等問題結(jié)合(1) 平面向量與三角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問題，由于結(jié)合性強(qiáng)，因而綜合能力較強(qiáng)，所以復(fù)習(xí)時，通過解題過程，力爭達(dá)到既回顧知識要點(diǎn)，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識，將所給問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)

12、問題求解.(2)解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大.例8設(shè)函數(shù)f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，（）求實(shí)數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)的最小值及此時x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，當(dāng)時，的最小值為，由，得值的集合為例9設(shè)函數(shù).其中向量.（）求實(shí)數(shù)的值;（）求函數(shù)的最小值.解：（），得（）由（）得，當(dāng)時，的最小值為例10已知向量(sin，1)，(1，cos)，（）若，求；（）求的最大值命題意圖:本小題主要考查平面向量數(shù)量積和平面向量的模的計(jì)算方法、以及三角公

13、式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查推理和運(yùn)算能力.解：（）若，則sincos0，由此得 tan1()，所以；（）由(sin，1)，(1，cos)得，當(dāng)sin()1時，|ab|取得最大值，即當(dāng)時，|ab|最大值為1【專題訓(xùn)練】一、選擇題1已知的值為（）A6B6CD2已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且則的值是（）ABC3D03把直線按向量平移后，所得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（ A ）A39B13C21D394給出下列命題：·=0，則=0或=0. 若為單位向量且/，則=|·.··=|3. 若與共線，與共線，則與共線.其中正確的個數(shù)是（）A0B1C2D35.在以

14、下關(guān)于向量的命題中，不正確的是（ ）A.若向量a=(x，y)，向量b=(y，x)(x、y0)，則abB.四邊形ABCD是菱形的充要條件是=，且|=|C.點(diǎn)G是ABC的重心，則+=0D.ABC中，和的夾角等于180°A6.若O為平行四邊形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,則3e22e1等于（ ）A. B. C. D.y=x+2的圖象按a=（6，2）平移后，得到的新圖象的解析式為（ ）A.y=x+10B.y=x6 C.y=x+6D.y=x108.已知向量m=(a,b)，向量mn且|m|=|n|,則n的坐標(biāo)為A.（a,b）B.( a,b)C.(b,a)D.( b,a)9.給出如下

15、命題：命題（1）設(shè)e1、e2是平面內(nèi)兩個已知向量，則對于平面內(nèi)任意向量a,都存在惟一的一對實(shí)數(shù)x、y，使a=xe1+ye2成立；命題（2）若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)恒滿足f(x)=f(x),則f(x)或?yàn)槠婧瘮?shù)，或?yàn)榕己瘮?shù).則下述判斷正確的是（ ）A.命題（1）（2）均為假命題B.命題（1）（2）均為真命題C.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題D.命題（1）為假命題，命題（2）為真命題10若|a+b|=|a-b|，則向量a與b的關(guān)系是（ ）A. a=或b= B.11O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足則P的軌跡一定通過ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心12若,

16、, 則=（）A 4 B 15 C 7 D 3二、填空題1已知與的夾角為60°，則與的夾角余弦為.2已知（4,2,x），(2,1,3),且，則x.3向量，則和所夾角是4 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 點(diǎn)D滿足條件：DBAC, DCAB, AD=BC, 則D的坐標(biāo)為 .5設(shè)是直線，是平面，向量在上，向量在上，則所成二面角中較小的一個的大小為三、解答題1.ABC中，三個內(nèi)角分別是A、B、C，向量時，求.2.在平行四邊形ABCD中，A（1，1），點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P.（1）若求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，求點(diǎn)P的軌跡.3.平

17、面內(nèi)三個力，作用于同丄點(diǎn)O且處于平衡狀態(tài)，已知，的大小分別為1kg，kg，、的夾角是45°，求的大小及與夾角的大小.4.已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.5.設(shè)a=(1+cos,sin),b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a與c的夾角為1，b與c的夾角為2,且12=，求sin.6.已知平面向量a=（，1），b=（，）.(1)證明：ab；(2)若存在實(shí)數(shù)k和t，使得x=a+(t23)b,y=ka+tb,且xy，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，確定k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.【參考答案】一、選

18、擇題1.B 2D 3A4A5. 答案：C提示：若點(diǎn)G是ABC的重心，則有+=0，而C的結(jié)論是+=0，顯然是不成立的，選C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11B 12D二、填空題1 2 2 360° 4（1，1，1）或 53解：由, ,有，, 解得, 4.解：設(shè)D(x, y, z), 則，（x-1, y, z）,(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1)又DBAC-x+z=0, DCAB-x+y=0, AD=BC聯(lián)立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D點(diǎn)為（1，1，1）或。三、解答題1，2.解：（1）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（,又,即. . 即點(diǎn)C（0，6）.（2）解一：設(shè)，則. ABCD為菱形.故點(diǎn)P的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半圓去掉與直線的兩個交點(diǎn).解法二：D的軌跡方程為.M為AB中點(diǎn), 的比為 .設(shè).的軌跡方程.整理得.故點(diǎn)