中考沖刺：代幾綜合問題--知識講解（提高）

1、中考沖刺：代幾綜合問題知識講解（提高）撰稿：李愛國 審稿：杜少波【中考展望】 代幾綜合題是初中數(shù)學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型近幾年的中考壓軸題多以代幾綜合題的形式出現(xiàn)解代幾綜合題一般可分為“認真審題、理解題意；探求解題思路；正確解答”三個步驟,解代幾綜合題必須要有科學的分析問題的方法數(shù)學思想是解代幾綜合題的靈魂，要善于挖掘代幾綜合題中所隱含的重要的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論的思想、方程（不等式）的思想等，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，這是學習解代幾綜合題的關(guān)鍵題型一般分為：（1）方程與幾何綜合的問題；（2）函數(shù)與幾何綜合的問題；（3）動態(tài)幾何中的函數(shù)問題；（4）直角坐標系中

2、的幾何問題；（5）幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題.題型特點：一是以幾何圖形為載體，通過線段、角等圖形尋找各元素之間的數(shù)量關(guān)系，建立代數(shù)方程或函數(shù)模型求解；二是把數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系，使之直觀化、形象化，從函數(shù)關(guān)系中點與線的位置、方程根的情況得出圖形中的幾何關(guān)系.以形導數(shù)，由數(shù)思形，從而尋找出解題捷徑. 解代幾綜合題要靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想進行數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要從題目中尋找這兩部分知識的結(jié)合點，從而發(fā)現(xiàn)解題的突破口.【方法點撥】方程與幾何綜合問題是中考試題中常見的中檔題，主要以一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系為背景，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形、解方程（組）、解不等式（組

3、）、函數(shù)等知識其基本形式有：求代數(shù)式的值、求參數(shù)的值或取值范圍、與方程有關(guān)的代數(shù)式的證明函數(shù)型綜合題主要有：幾何與函數(shù)結(jié)合型、坐標與幾何、方程與函數(shù)結(jié)合型問題，是各地中考試題中的熱點題型主要是以函數(shù)為主線，建立函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、方程等解題解題時要注意函數(shù)的圖象信息與方程的代數(shù)信息的相互轉(zhuǎn)化例如函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標即為相應方程的根；點在函數(shù)圖象上即點的坐標滿足函數(shù)的解析式等函數(shù)是初中數(shù)學的重點，也是難點，更是中考命題的主要考查對象，由于這類題型能較好地考查學生的函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，能較全面地反映學生的綜合能力，有較好的區(qū)分度，因此是各地中考的熱點題型幾

4、何綜合題考查知識點多、條件隱晦，要求學生有較強的理解能力，分析能力，解決問題的能力，對數(shù)學知識、數(shù)學方法有較強的駕馭能力，并有較強的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力1 幾何型綜合題，常以相似形與圓的知識為考查重點，并貫穿其他幾何、代數(shù)、三角等知識，以證明、計算等題型出現(xiàn)2 幾何計算是以幾何推理為基礎(chǔ)的幾何量的計算，主要有線段和弧長的計算，角的計算，三角函數(shù)值的計算，以及各種圖形面積的計算等3 幾何論證題主要考查學生綜合應用所學幾何知識的能力4 解幾何綜合題應注意以下幾點：（1） 注意數(shù)形結(jié)合，多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；（2） 注意推理和計算相結(jié)合，力求解題過程的規(guī)范化；（

5、3） 注意掌握常規(guī)的證題思路，常規(guī)的輔助線作法；（4） 注意靈活地運用數(shù)學的思想和方法【典型例題】類型一、方程與幾何綜合的問題1.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3問：線段AB上是否存在點P，使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似？若存在，這樣的總共有幾個？并求出AP的長；若不存在，請說明理由【思路點撥】由于以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似時的對應點不能確定，故應分兩種情況討論【答案與解析】解：存在ADBC，A=90，B=90，當PADPBC時，AD=2，BC=3，設AP=x，PB=7-x，則 當ADPBP

6、C時，AD=2，BC=3，設設AP=x，PB=7-x，則AP=1或AP=6 由可知，P點距離A點有三個位置：，AP=1，AP=6【總結(jié)升華】本題考查的是相似三角形的判定，解答此題時要注意分類討論，不要漏解舉一反三：【變式】有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，AD=5把這張紙片折疊，使點A落在邊BC上的點E處，折痕為MN，MN交AB于M，交AD于N（1）若BE=，試畫出折痕MN的位置，并求這時AM的長；（2）點E在BC上運動時，設BE=x，AN=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）連接DE，是否存在這樣的點E，使得AME與DNE相似？若存在，請求出這時BE的長；若不存在，請

7、說明理由【答案】(1)畫出正確的圖形（折痕MN必須與AB、AD相交）設AM=t，則ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=（2）如圖（a），BE=x，設BM=a，則a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，a=， AM=2-BM=2-=由AMNBEA，得，y=，0x2，0y5，x的取值范圍為：（3）如圖（b），若AME與DNE相似，不難得DNE=AME又AM=ME，DN=NE=NA=，解得：x=1或x=4又，故x=1或者由DEN=AEM，得AED=90，推出ABEECD，從而得BE=1類型二、函數(shù)與幾何綜合問題2.如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)

8、，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動t（t0）秒，拋物線y=x2bxc經(jīng)過點O和點P已知矩形ABCD的三個頂點為A（1，0）、B（1，5）、D（4，0）求c、b（可以用含t的代數(shù)式表示）；當t1時，拋物線與線段AB交于點M在點P的運動過程中，你認為AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出AMP的值；在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“好點”若拋物線將這些“好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍【思路點撥】（1）由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b；（2）當x=1時，y=1-t，求得M的坐標，則可

9、求得AMP的度數(shù)；（3）根據(jù)圖形，可直接求得答案【答案與解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=-t；（2）不變拋物線的解析式為：y=x2-tx，且M的橫坐標為1，當x=1時，y=1-t，M（1，1-t），AM=|1-t|=t-1，OP=t，AP=t-1，AM=AP，PAM=90，AMP=45；（3）左邊4個好點在拋物線上方，右邊4個好點在拋物線下方：無解；左邊3個好點在拋物線上方，右邊3個好點在拋物線下方：則有-4y2-3，-2y3-1，即-44-2t-3，-29-3t-1，且，解得；左邊2個好點在拋

10、物線上方，右邊2個好點在拋物線下方：無解；左邊1個好點在拋物線上方，右邊1個好點在拋物線下方：無解；左邊0個好點在拋物線上方，右邊0個好點在拋物線下方：無解；綜上所述，t的取值范圍是：【總結(jié)升華】此題考查了二次函數(shù)與點的關(guān)系此題綜合性很強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用類型三、動態(tài)幾何中的函數(shù)問題3. 如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，與軸交于A、B兩點，點B的坐標為（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標；（2）點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩部分，求出此時點的坐標；（3）點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，

11、問：點P在何處時的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標.【思路點撥】（1）拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，因此只需將點B、C的坐標代入其中求解即可 （2）先畫出相關(guān)圖示，連接OD后發(fā)現(xiàn)：SOBD：S四邊形ACDB=2：3，因此直線OM必須經(jīng)過線段BD才有可能符合題干的要求；設直線OM與線段BD的交點為E，根據(jù)題干可知：OBE、多邊形OEDCA的面積比應該是1：2或2：1，即OBE的面積是四邊形ACDB面積的，所以先求出四邊形ABDC的面積，進而得到OBE的面積后，可確定點E的坐標，首先求出直線OE（即直線OM）的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后即可確定點M的坐標（注意點M的位置） （3

12、）此題必須先得到關(guān)于CPB面積的函數(shù)表達式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求出CPB的面積最大值以及對應的點P坐標；通過圖示可發(fā)現(xiàn)，CPB的面積可由四邊形OCPB的面積減去OCB的面積求得，首先設出點P的坐標，四邊形OCPB的面積可由OCP、OPB的面積和得出【答案與解析】解：（1）由題意，得： 解得：所以，二次函數(shù)的解析式為： ，頂點D的坐標為（-1，4）. （2）畫圖由、四點的坐標，易求四邊形ACDB的面積為9.直線BD的解析式為y=2x+6. 設直線OM與直線BD 交于點E，則OBE的面積可以為3或6.當時，如圖，易得E點坐標（-2，-2），直線OE的解析式為y=-x.設M 點坐標（x，-x），

13、當時，同理可得M點坐標 M 點坐標為（-1，4）（3）如圖，連接，設P點的坐標為，點P在拋物線上， ，當時，. 的面積有最大值當點P的坐標為時，的面積有最大值，且最大值為 【總結(jié)升華】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法以及二次函數(shù)的應用等知識；（2）問中，一定先要探究一下點M的位置，以免出現(xiàn)漏解的情況舉一反三：【變式】如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E（1）記ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為

14、四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.【答案】（1）由題意得B（3，1）若直線經(jīng)過點A（3，0）時，則b若直線經(jīng)過點B（3，1）時，則b若直線經(jīng)過點C（0，1）時，則b1.若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1b，如圖1，此時點E（2b，0）.SOECO2b1b. 若直線與折線OAB的交點在BA上時，即b，如圖2，此時點E（3，），D（2b2，1）.SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3() （2）如圖3，設O1A1與CB相交于點M，C1B1與OA相交于點N，則矩

15、形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積由題意知，DMNE，DNME，四邊形DNEM為平行四邊形,根據(jù)軸對稱知，MEDNED, 又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四邊形DNEM為菱形過點D作DHOA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為a，由題可知，D（2b-2，1），E（2b，0），DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，HN=HE-NE=2-a，則在RtDHM中，由勾股定理知：，a=.S四邊形DNEMNEDH矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為 類型四、直角坐標系中的幾何問題4. 如圖所示，以矩形OABC的頂點O為原點

16、，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系已知OA3，OC2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處（1）直接寫出點E、F的坐標；（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由【思路點撥】（1）由軸對稱的性質(zhì)，可知FBD=ABD，F(xiàn)B=AB，可得四邊形ABFD是正方形，則可求點E、F的坐標；（2）已知拋物線的頂點，則可用頂點式設拋物線的解析式. 因

17、為以點E、F、P為頂點的等腰三角形沒有給明頂角的頂點，而頂角和底邊都是唯一的，所以要抓住誰是頂角的頂點進行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點；（3）求周長的最小值需轉(zhuǎn)化為利用軸對稱的性質(zhì)求解.【答案與解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)連結(jié)EF，在RtEBF中,B=90，EF=.設點P的坐標為(0,n),n0,頂點F(1,2), 設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2，(a0)如圖1，當EF=PF時，EF2=PF2，12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.P(0，4)，4=a(0-1)2+2，解得a=2，拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2如圖2，當EP=FP

18、時，EP2=FP2，(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=(舍去) 當EF=EP時，EP=3，這種情況不存在.綜上所述，符合條件的拋物線為y=2(x-1)2+2(3)存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小如圖3，作點E關(guān)于x軸的對稱點E，作點F關(guān)于y軸的對稱點F，連結(jié)EF，分別與x軸、y軸交于點M、N，則點M、N就是所求. 連結(jié)NF、ME.E(3，-1)、F(-1，2)，NF=NF，ME=ME. BF=4，BE=3.FN+NM+ME=FN+NM+ME=FE=5.又EF=，F(xiàn)N+MN+ME+EF=5+，此時四邊形MNFE的周長最小值為5+.【總結(jié)升華】本題考查了平面直角坐標系、等腰直角

19、三角形、拋物線解析式的求法、利用軸對稱求最短距離以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想. 分類討論的思想要依據(jù)一定的標準，對問題分類、求解，要特別注意分類原則是不重不漏，最簡分類常見的依據(jù)是：一是依據(jù)概念分類，如判斷直角三角形時明確哪個角可以是直角，兩個三角形相似時分清哪兩條邊是對應邊；二是依運動變化的圖形中的分界點進行分類，如一個圖形在運動過程中，與另一個圖形重合部分可以是三角形，也可以是四邊形、五邊形等. 幾何與函數(shù)的綜合題是中考常見的壓軸題型，解決這類問題主要分為兩步：一是利用線段的長確定出幾何圖形中各點的坐標；二是用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式類型五、幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題5. 如圖所示，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA，再以等