線性代數(shù) 歐式空間ppt課件

1、本節(jié)主要從幾何的角度來討論向量組的性質(zhì)本節(jié)主要從幾何的角度來討論向量組的性質(zhì)對對n維向量空間維向量空間Rn中恣意兩個(gè)向量中恣意兩個(gè)向量 定義了上述內(nèi)積的向量空間稱為歐氏空間定義了上述內(nèi)積的向量空間稱為歐氏空間 1212,TTnn ,LL11( , )Tnn L( , ) 定義其內(nèi)積定義其內(nèi)積 為為1、內(nèi)積的性質(zhì)、內(nèi)積的性質(zhì)1 ( ,)( , ) 2(,)( ,)kk ,(, ),( , ) 3( , )0, 為向量為向量 的長度的長度長度：稱長度：稱 1221( , )nii 22221114( ,),()nnniiiiiiia bab 即 ( , )( , )cos( , ) ( , ) 夾

2、角：夾角：, 為向量為向量的夾角余弦，的夾角余弦，, 為其夾角為其夾角單位向量：長度為單位向量：長度為1的向量的向量.非零向量的單位化：非零向量的單位化： 01. 正交正交幾何中垂直概念的推行幾何中垂直概念的推行1、定義：設(shè)、定義：設(shè) 為歐氏空間中兩個(gè)向量，為歐氏空間中兩個(gè)向量，假設(shè)內(nèi)積假設(shè)內(nèi)積 ,那么稱那么稱 與與 正交或正交或相互垂直，記作相互垂直，記作 ,0 , . 注：注： 零向量與恣意向量正交零向量與恣意向量正交.,2 cos,0 222假設(shè)一個(gè)向量假設(shè)一個(gè)向量組組 12,m 中的向量兩兩正交，稱該中的向量兩兩正交，稱該向量組為正交向量組。假設(shè)每個(gè)向量的長度為向量組為正交向量組。假設(shè)

3、每個(gè)向量的長度為1，那么，那么稱該稱該向量組為規(guī)范規(guī)范正交向量組。向量組為規(guī)范規(guī)范正交向量組。注：注：22221212.mm LL 12,m L為規(guī)范正交向量組的充要條件是為規(guī)范正交向量組的充要條件是 1,0,ijijij 定理：假設(shè)正交向量定理：假設(shè)正交向量組組 12,m L中不含零向量，那中不含零向量，那么么 12,m L線性無關(guān)。線性無關(guān)。證明：對恣意的證明：對恣意的12,mk kkL思索如下等式：思索如下等式：11220mmkkk L等式兩端與等式兩端與j 作內(nèi)積，且作內(nèi)積，且 ,0,ijij 故有：故有： ,0,0jjjjjk 又因0,1,2,.jkjm 結(jié)論所所以以，成成立立. .

4、L注：注： Rn中不含零向量的正交組最多還有中不含零向量的正交組最多還有n個(gè)向量個(gè)向量 假設(shè)正交組含有假設(shè)正交組含有rrn個(gè)向量，可以將其擴(kuò)個(gè)向量，可以將其擴(kuò)展展為含為含n個(gè)非零向量的正交組個(gè)非零向量的正交組例：設(shè)例：設(shè)12,m L為為Rn中中mmn個(gè)非零正交向量，個(gè)非零正交向量，那么存在非零向量那么存在非零向量X，使，使X與與12,m L均正交均正交120,( )TTTmXAXAmnr Amn M為陣,的的矩矩且且提示：提示： ,0nTiiXRXX 且且，進(jìn)一步可得，進(jìn)一步可得故故A的列向量組線性相關(guān)，即存在非零的列向量組線性相關(guān)，即存在非零X滿足滿足0AX 滿足滿足0iAXX 的的 一一定

5、定與與正正交交 12,mX 組故故仍仍是是正正交交向向量量L規(guī)范正交基：規(guī)范正交基： 12,nnR 組，滿的的一一基基足足：L 1,0,ijijij 12,nnR 稱組標(biāo)的的一一準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基L設(shè)設(shè)1,2,m是一組線性無關(guān)的向量，是一組線性無關(guān)的向量，利用這組向量可構(gòu)造出正交向量組。利用這組向量可構(gòu)造出正交向量組。1、正交化、正交化(1)令令 1= 1；(2)求求2=211使使0=(2,1)=(211, 1 ) = (2, 1)1 (1, 1) .得得 1= ( 2, 1)/( 1, 1), 2122111(,);(,) (3)求求3=31122, 使使=(3,1)1(1, 1)+2(2,

6、1) 0=(3, 1)=(31122,1)=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)0=(3, 2) = (31122, 2)得得31111(,),(,) 32222(,)(,) 313233121122(,)(,)(,)(,) (4) 類似地，得：類似地，得：(i=1,2,m) 1, 2, , m 是一組正交向量組。是一組正交向量組。121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)iiiiiiiii 2、單位化：、單位化：那么那么 1, 2 , , m 是一組規(guī)范正交向量組。是一組規(guī)范正交向量組。取取1111,| 2221,| 1.|mmm 例：證明例：證明1=(1,2,1=(1

7、,2,1)T,1)T,2=(2=(1,3,1) 1,3,1) T,T,3=(4,3=(4,1,0) T,1,0) T,為為R3R3的一組基并用施密特的一組基并用施密特正交化方法構(gòu)造正交化方法構(gòu)造R3R3的一組規(guī)范正交基。的一組規(guī)范正交基。解：解：那么那么r(A)=3.r(A)=3.從而從而1,1,2,2,3 3 線性無關(guān)線性無關(guān), , 構(gòu)成構(gòu)成R3R3的一組基的一組基. .令令123TA 121131410T 1 = 1= (1,2, 1) T,(,)(,)1222111 5( 1, 1, 1) ,3T(1)正交化正交化(,)(,)(,)(,)132333121122 1=(1,2, 1) T, 2=( 1,3,1) T, 3=(4, 1,0) T, 1=(1,2, 1) T,),1 , 1 , 1(352 3=(2,0,2) T.(2)單位化單位化|111 1(1, 2,1) ,6T 222|(, , ) ,11113T|333 1(1, 0, 1) .2T那么那么 1, 2 , 3 是一組規(guī)范正交基。是一組規(guī)范正交基。那么稱那么稱 A A 為一個(gè)正交矩陣為一個(gè)正交矩陣. .假設(shè)