梅遜增益公式及應用

1、梅遜增益公式及應用梅遜增益公式及應用信號流圖上從輸入節(jié)點（源節(jié)點）輸出節(jié)點到信號流圖上從輸入節(jié)點（源節(jié)點）輸出節(jié)點到(匯節(jié)點匯節(jié)點)的總增的總增益公式，即益公式，即梅遜公式梅遜公式(Mason)，表達式為：，表達式為：一定要記住的公式！一定要記住的公式！ nkkkPsRsCsGT11)()()(式中：式中：TG(s)從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總增益總增益( (即傳遞函數(shù)即傳遞函數(shù)) )；n為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間前向通路前向通路的總數(shù)；的總數(shù)；P k為第為第K條前向通路的增益；條前向通路的增益； 信號流圖信號流圖特征式特征式，是信號流圖所表

2、示的代數(shù)方程組的系數(shù)，是信號流圖所表示的代數(shù)方程組的系數(shù) 行列式；行列式；式中：式中： L1信號流圖中信號流圖中所有不同回環(huán)所有不同回環(huán)的的增益之和增益之和； L2所有兩個互不接觸回環(huán)所有兩個互不接觸回環(huán)增益的增益的乘積之和乘積之和； L3所有三個互不接觸回環(huán)所有三個互不接觸回環(huán)增益的增益的乘積之和乘積之和； Lm所有所有m個互不接觸回環(huán)個互不接觸回環(huán)增益的增益的乘積之和乘積之和。 )()()(1增增益益乘乘積積之之和和所所有有三三個個互互不不接接觸觸回回路路益益乘乘積積之之和和增增所所有有兩兩個個互互不不接接觸觸回回路路所所有有不不同同回回路路增增益益之之和和 mmLLLL)1(1321 k

3、第第K條前向通路的條前向通路的信號流圖特征式的余子式信號流圖特征式的余子式，即從即從 中中除去與第除去與第K條前向通路條前向通路相接觸的閉環(huán)回路相接觸的閉環(huán)回路后余下的部分后余下的部分( (又稱為因子又稱為因子) )。 這個公式看起來是不是很難呢？實際上這個公式看起來是不是很難呢？實際上它很容易掌握的，我們來做幾個例題吧它很容易掌握的，我們來做幾個例題吧！ mmLLLL)1(1321R(s)C(s)11G2G3G4-G6G1-G5-G7試用梅遜公式計算圖試用梅遜公式計算圖示示系統(tǒng)的總增益。系統(tǒng)的總增益。解：解：輸入節(jié)點輸入節(jié)點R(s)和輸出節(jié)點和輸出節(jié)點C(s)之間只有一條前向通路之間只有一條

4、前向通路。 n=1，通路增益為：，通路增益為： P1=G1G2G3G4 三個回路：三個回路： L1 =G2G3G6 L2 =G3G4G5 L3 =G1G2G3G7 L1 = - G2G3G6 - G3G4G5 - G1G2G3G7 三個回環(huán)之間都有公共節(jié)點，流圖特征式為三個回環(huán)之間都有公共節(jié)點，流圖特征式為 ： =1- L1- L2-. =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三個回環(huán)均與前向通路三個回環(huán)均與前向通路P1接觸，所以接觸，所以 1=1 根據(jù)梅遜公式，系統(tǒng)總增益為：根據(jù)梅遜公式，系統(tǒng)總增益為：743215436324321111)()()(GGGGGGGGGGGGGGG

5、PsRsCsG R(s)C(s)11G2G3G4-G6G1-G5-G7 nkkkPsRsCsGT11)()()()(1sG)(3sGC(s)H1(s)+R(s)+H2(s)(2sGR(s)C(s)111G1G2G3-H2-H1-13211GGGP 1211HGGL 3213GGGL 3212321213111GGGHGGHGGLii 11 3212321213211111)()(GGGHGGHGGGGGPsRsCT 2322HGGL R(s)C(s)111G1G2G3-H2-H1-1例：例：求系統(tǒng)的總增益。求系統(tǒng)的總增益。)(1sG)(4sGC(s)G5(s)+R(s)+)(3sG)(7sG)

6、(2sG+G6(s)R(s)C(s)11G1G2G3-G5G4G6-G7解：解：兩條前向通路兩條前向通路: P1 = G1G2G3G4 P2 = G1G6閉環(huán)回路三條閉環(huán)回路三條: L1 = -G3G5 L2 = -G1G2G3G4G7 L3 = -G1G6G7互不接觸回路為互不接觸回路為: L1和和L3 =1- Li + Li Lj =1+G3G5+G1G2G3G4G7+G1G6G7+ G1G3G5G6G7 1=1 2= 1+G3G576531761743215365316143211)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGsGT R(s)C(s)11G1G2G3-G5G4G6

7、-G7 解：解： 首先確定信號流圖中由首先確定信號流圖中由輸入輸入節(jié)點到節(jié)點到輸出輸出節(jié)點間的前向節(jié)點間的前向通路數(shù)通路數(shù),由由圖可知：圖可知： 例例: : 試利用梅遜公式求下圖所示信號流的總增益。試利用梅遜公式求下圖所示信號流的總增益。 n= 2，且有：且有： P1=acegi P2=kgi L1=abcdef ghij kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij =1- L1+ L2- L3 =1- （ abcdef ghij kfdb ）+ （ abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij ）-

8、 abefij第一條前向通路與所有回第一條前向通路與所有回路路均有接觸，所以均有接觸，所以 1=1 第二條前向通路與第二條前向通路與回回路路cd不接觸，所以不接觸，所以 2=1-cd)()(1/ )(1)(3212211abefijkfabijefijcdijcdghabijabghabefkfabijghefcdabkgicdkgiacegiLLLPPsGT +R(s)+G1G2G3C(s)H1H2E(s)G4+求求C(s)/R(s)與與E(s)/R(s)C(s)/R(s)R(s)C(s)11G1G2G3-H2-H11-1G4 4123211GGPGGGP 前向通道：前向通道：反饋回路：反饋

9、回路：245414321323221211HGLGGLGGGLHGGLHGGL 121 24413212321211HGGGGGGHGGHGG 24413212321211HGGGGGGHGGHGG 4123211GGPGGGP 24413212321211HGGGGGGHGGHGG 121 24413212321214132111HGGGGGGHGGHGGGGGGGPsGkk R(s)1G1G2G3-H2-H11-1G4 E(s)/R(s)E(s)1前向通道：前向通道：11 P反饋回路：反饋回路：245414321323221211HGLGGLGGGLHGGLHGGL 24413212321211HGGGG