極限的概念與性質(zhì)

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一章 二二 、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限三三 、函數(shù)的極限的性質(zhì)、函數(shù)的極限的性質(zhì)一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限第二節(jié)第二節(jié)極限的概念與性質(zhì)極限的概念與性質(zhì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 自然界中有很多量?jī)H僅通過(guò)有限次的算術(shù)運(yùn)算自然界中有很多量?jī)H僅通過(guò)有限次的算術(shù)運(yùn)算是計(jì)算不出來(lái)的，而必須通過(guò)分析一個(gè)無(wú)限變化趨是計(jì)算不出來(lái)的，而必須通過(guò)分析一個(gè)無(wú)限變化趨勢(shì)才能求得結(jié)果，這正是極限概念和極限方法產(chǎn)生勢(shì)才能求得結(jié)果，這正是極限概念和極限方法產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)。的客觀基礎(chǔ)。引言引言目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A

2、正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS說(shuō)明：劉徽從圓內(nèi)接正六邊形，逐次邊數(shù)加倍到正說(shuō)明：劉徽從圓內(nèi)接正六邊形，逐次邊數(shù)加倍到正3072邊形得到圓周率邊形得到圓周率 的近似值為的近似值為3.1416割圓術(shù)割圓術(shù)割圓術(shù)就是極限思想在幾何上的應(yīng)用割圓術(shù)就是極限思想在幾何上的應(yīng)用目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 微積分是一門(mén)以微積分是一門(mén)以變量變量為研究對(duì)象、為研究對(duì)象、應(yīng)用極限方法研究各類(lèi)應(yīng)用極限方法研究各類(lèi)變化率問(wèn)題變化率問(wèn)題應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到以以極限方法極限方法作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科：作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科：曲線的切

3、線問(wèn)題曲線的切線問(wèn)題，微小量無(wú)窮積累微小量無(wú)窮積累的問(wèn)題，的問(wèn)題，和幾何學(xué)中和幾何學(xué)中就產(chǎn)生了就產(chǎn)生了微分學(xué)微分學(xué)；就產(chǎn)生了就產(chǎn)生了積分學(xué)積分學(xué)。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)按照一定規(guī)律排列的一列數(shù),21nxxx,21,81,41,21:21nn,1,43,32,21:1nnnn,) 1( , 1, 1, 1, 1:) 1(nn ,3, 9, 6, 3:3nn., 2 , 1),(nnfxn數(shù)列數(shù)列 可視為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)：可視為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)：nx稱(chēng)為一個(gè)數(shù)列。稱(chēng)為一個(gè)數(shù)列。nx稱(chēng)為數(shù)列通項(xiàng)，稱(chēng)為數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列簡(jiǎn)記為

4、數(shù)列簡(jiǎn)記為 。nx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nx趨向于某個(gè)確定的數(shù)趨向于某個(gè)確定的數(shù)xyO.,21,81,41,21:21nn,) 1( , 1, 1, 1, 1:) 1(nn不趨向于某個(gè)確定的數(shù)不趨向于某個(gè)確定的數(shù)nx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義：定義：.limaxnn設(shè)數(shù)列,nx極限存在的數(shù)列稱(chēng)為收斂數(shù)列收斂數(shù)列。極限不存在的數(shù)列稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列發(fā)散數(shù)列。如果通項(xiàng) nx記作)(,naxn當(dāng)項(xiàng)數(shù) 無(wú)限增大時(shí)，n則稱(chēng)a的極限。nx為數(shù)列或, a無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnx

5、nn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢(shì)不定收 斂發(fā) 散目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :,0,N正整數(shù)當(dāng) n N 時(shí), 總有記作axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxnaxn則稱(chēng)該數(shù)列nx的極限為 a ,幾何解釋 :aaa)(1Nx2Nx只有有限項(xiàng)(至多N項(xiàng))在鄰域),(aU之外。數(shù)學(xué)定義：數(shù)學(xué)定義： 英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龍 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證明證明: 1nx1) 1(nn

6、nn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, )21,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 111. N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說(shuō)明說(shuō)明: 取11N2. 利用不等式的放縮.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

7、 例例3. 設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 則當(dāng) n N 時(shí), 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為0 .1nq目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. .證明：證明：,limAann若.lim21Anaaann則記記 ,121AaAaAaMN易知易知 . 0limnMn當(dāng)當(dāng) 2Nn 時(shí)，時(shí)， .2nM,max21NNN 取取 則當(dāng)則當(dāng) Nn 時(shí)，有時(shí)，有 ,limAann由于由于, 0故故時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)1Nn ,2 Aan,1N正整數(shù)正整數(shù)于是于是,2N

8、正整數(shù)正整數(shù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21nNnnMAnaaan21nAaAaAaAaAanNN)()(12111nAaAanAaAaAanNN|12111.lim21Anaaann所以所以.22劉徽劉徽(約約225 295年年)我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家. 他撰寫(xiě)的重 差對(duì)九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評(píng) 注, 指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) .他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無(wú)所失矣則與圓合體而無(wú)所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知

9、逼近未知 , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要極限思想 . 的方法 :柯西柯西(1789 1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫(xiě)的分析教程, 無(wú)窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一, 他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書(shū) 7 本 , 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一章 1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限, )(xfy 對(duì)0)1(xx 0)2(xx0

10、)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過(guò)程的六種形式:2、左極限、右極限、左極限、右極限主要內(nèi)容主要內(nèi)容 :二、函數(shù)的極限 3、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1 . )(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 Axf)(則稱(chēng)常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xUx時(shí), 有若記作 Axf)(Axfxx)(lim0AA幾何解釋幾何解釋:OAx0 xy)(xfy 1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極

11、限設(shè)函數(shù)()目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí), 必有2112xx因此211lim21xxx1 x(注意x =1無(wú)定義)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 證明: 當(dāng)00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時(shí)00 xxxx故取,min00 xx則當(dāng)00 xx時(shí),00 xxx保證 .必有Ox0 xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 左極限與右極限左極限與右極限 (單側(cè)極限單側(cè)極限)

12、左極限 :)(0 xf)(lim0 xfxx,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf右極限 :)(0 xf)(lim0 xfxx,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf定理定理 1.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00Axf)0(0Axf)0(0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 給定函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . 解解: 利用定理 1 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .x

13、yO11 xy11 xy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 . 312lim4xx例例4. 0, 12, 0,)(xxxexfx求).(lim),(lim04xfxfxx解解: :)(lim4xfx1lim0 xxe. 112lim0 xx)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx因?yàn)樗? 1)(lim0 xfx設(shè)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 XXAAOxy)(xfy A定義定義2 . 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若,0X,)(,AxfXx有時(shí)當(dāng)則稱(chēng)常數(shù)時(shí)的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記

14、作直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線 .,0 xxf當(dāng))(A 為函數(shù)3、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 證明. 01limxx證證:01xx1取,1X,時(shí)當(dāng)Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平漸近線為xyyOxyxy1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時(shí),

15、有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，Oxyx21x21目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)1. 唯一性唯一性類(lèi)似于數(shù)列極限的唯一性（反證法）2. 局部有界性局部有界性; )(0的某去心鄰域內(nèi)有界在函數(shù)xxf: )(lim0 xfxx充分大時(shí)有界。當(dāng)函數(shù)xxf)(: )(limxfx),(0 xU(性質(zhì)適用于函數(shù)的所有極限過(guò)程)Xx 若函數(shù)極限存在，則函數(shù)極限唯一。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 局部保號(hào)性局部保號(hào)性定理定理2 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0

16、時(shí)使當(dāng)xUx. 0)(xf)0)(xf證證: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU當(dāng)時(shí), 有.)(AxfA當(dāng) A 0 時(shí), 取正數(shù),A則在對(duì)應(yīng)的鄰域上. 0)(xf( 0)(A則存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 AxfA)(:0A:0A若取,2A則在對(duì)應(yīng)的鄰域上 若,0)(lim0Axfxx則存在使當(dāng)時(shí), 有.2)(Axf推論推論1.23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目錄 上

17、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論 2 . 若在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx則. 0A)0(A思考: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx如 (反證法, 證明略)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 函數(shù)極限的兩邊夾定理函數(shù)極限的兩邊夾定理定理定理3.,),(0時(shí)當(dāng)xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 仿照數(shù)列極限的兩邊夾定理證明 )目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)

18、系定理定理4. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定義,),(0nxxnAxfnn)(lim有)(nxfxnx說(shuō)明說(shuō)明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個(gè)趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 證明xx1sinlim0不存在 .證證: 取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 4 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若極限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 設(shè)函數(shù))(xf且)(lim1xfx存在,